Logique du Premier Ordre: R solution partie 2: pas de coupure, correction, complétude, ind cidabilit de la logique du premier ordre.

INFO-F-302, Cours d’Informatique Fondamentale
Logique pour l’Informatique
Emmanuel Filiot
D´epartement d’Informatique
Facult´e des Sciences
Universit´e Libre de Bruxelles
Ann´ee acad´emique 2011-2012
Bas´e sur le cours Logique Informatique du Pr. J.-F. Raskin
1- INFO-F-302 - /

R`egle de la r´esolution
Etant donn´ee une clause C, les formules atomiques de Capparaissant sans
n´egation sont dites positives et celles apparaissant pr´ec´ed´ees d’une
n´egation sont dites n´egatives. La clause Cpeut ˆetre not´ee (N,P)o`u N,
respectivement P, est l’ensemble des formules atomiques n´egatives,
respectivement positives de C.
La r`egle de r´esolution permet de d´eduire une nouvelle clause `a partir de
deux clauses C1et C2. Elle op`ere en deux temps
1d’abord unification d’un ensemble de formules atomiques n´egatives de
C1et positives de C2,
2puis coupure sur la formule atomique obtenue.
2- INFO-F-302 - La Logique des Pr´edicats / R´esolution

R`egle
Soit C1= (N1,P1)et C2= (N2,P2)deux clauses s´epar´ees , c’est-`a-dire
sans variables communes (il suffit de renommer des variables dans une des
clauses si n´ecessaire).
S’il existe P0
1⊆P1et N0 2⊆N2tels que l’ensemble des formules atomiques
P0
1∪N0 2soit unifiable et si σest un unificateur principal, la nouvelle clause
C, d´eduite des deux clauses C1,C2par r´esolution, est d´efinie par
N=σ(N1)∪σ(N2\N0
2)et
P=σ(P1\P0
1)∪σ(P2)
La clause Cest dite d´eduite par r´esolution des clauses C1et C2
relativement `a l’unificateur σ(et P0
1,N0 2). On dit que la clause Cest un
r´esolvant de C1et C2relativement `a σ.
3- INFO-F-302 - La Logique des Pr´edicats / R´esolution

Exemple
Soit Lun langage comportant les symboles de pr´edicats p,q,sunaires, r
binaire, fun symbole de fonction unaire et les clauses :
C1≡ ¬s(z)∨p(z)∨q(z)
C2≡ ¬p(f(y)) ∨r(x,y)
4- INFO-F-302 - La Logique des Pr´edicats / R´esolution

Exemple
On consid`ere les sous-ensembles de C1et C2suivants :
P1={p(z)},N2={¬p(f(y))}
Nous allons unifier {p(f(y)),p(z)}
On consid`ere donc le syst`eme S={(z,f(y))}de hauteur z´ero qui est
unifi´e par σ(z) = f(y).
Nous pouvons maintenant calculer C3(la clause r´esolvante) comme :
C3≡ ¬s(f(y)) ∨q(f(y)) ∨r(x,y)
5- INFO-F-302 - La Logique des Pr´edicats / R´esolution