L2 Mathématiques Structures algébriques et arithmétique Année

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Structures alg´ ebriques et arithm´ etique
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Structures alg´ ebriques et arithm´ etique
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Ann´ ee 2008-2009
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CHAPITRE IV
CHAPITRE IV
CHAPITRE IV
CHAPITRE IV
CHAPITRE IV
CHAPITRE IV
CHAPITRE IV
Polynˆ omes ` a une ou plusieurs ind´ etermin´ ees
Polynˆ omes ` a une ou plusieurs ind´ etermin´ ees
Polynˆ omes ` a une ou plusieurs ind´ etermin´ ees
Polynˆ omes ` a une ou plusieurs ind´ etermin´ ees
Polynˆ omes ` a une ou plusieurs ind´ etermin´ ees
Polynˆ omes ` a une ou plusieurs ind´ etermin´ ees
Polynˆ omes ` a une ou plusieurs ind´ etermin´ ees
I-D
´
efinition de A[X]pour Aanneau commutatif unitaire.
I-D
´
efinition de A[X]pour Aanneau commutatif unitaire.
I-D
´
efinition de A[X]pour Aanneau commutatif unitaire.
I-D
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efinition de A[X]pour Aanneau commutatif unitaire.
I-D
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efinition de A[X]pour Aanneau commutatif unitaire.
I-D
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efinition de A[X]pour Aanneau commutatif unitaire.
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efinition de A[X]pour Aanneau commutatif unitaire.
G´ en´ eralisation.
G´ en´ eralisation.
G´ en´ eralisation.
G´ en´ eralisation.
G´ en´ eralisation.
G´ en´ eralisation.
G´ en´ eralisation.
II - Propri´ et´ es arithm´ etiques de A[X].
II - Propri´ et´ es arithm´ etiques de A[X].
II - Propri´ et´ es arithm´ etiques de A[X].
II - Propri´ et´ es arithm´ etiques de A[X].
II - Propri´ et´ es arithm´ etiques de A[X].
II - Propri´ et´ es arithm´ etiques de A[X].
II - Propri´ et´ es arithm´ etiques de A[X].
III - Fonctions polynˆ omes. Racines.
III - Fonctions polynˆ omes. Racines.
III - Fonctions polynˆ omes. Racines.
III - Fonctions polynˆ omes. Racines.
III - Fonctions polynˆ omes. Racines.
III - Fonctions polynˆ omes. Racines.
III - Fonctions polynˆ omes. Racines.
IV - Compl´ ements sur les polynˆ omes irr´ eductibles,
IV - Compl´ ements sur les polynˆ omes irr´ eductibles,
IV - Compl´ ements sur les polynˆ omes irr´ eductibles,
IV - Compl´ ements sur les polynˆ omes irr´ eductibles,
IV - Compl´ ements sur les polynˆ omes irr´ eductibles,
IV - Compl´ ements sur les polynˆ omes irr´ eductibles,
IV - Compl´ ements sur les polynˆ omes irr´ eductibles,
construction de corps (non r´ edig´ e).
construction de corps (non r´ edig´ e).
construction de corps (non r´ edig´ e).
construction de corps (non r´ edig´ e).
construction de corps (non r´ edig´ e).
construction de corps (non r´ edig´ e).
construction de corps (non r´ edig´ e).
I-D
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efinitions de A[X]pour Aanneau commutatif unitaire. G´ en´ eralisation.
I-D
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efinitions de A[X]pour Aanneau commutatif unitaire. G´
en´ eralisation.
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efinitions de A[X]pour Aanneau commutatif unitaire. G´
en´ eralisation.
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efinitions de A[X]pour Aanneau commutatif unitaire. G´
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efinitions de A[X]pour Aanneau commutatif unitaire. G´
en´ eralisation.
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efinitions de A[X]pour Aanneau commutatif unitaire. G´
en´ eralisation.
I-D
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efinitions de A[X]pour Aanneau commutatif unitaire. G´
en´ eralisation.
Dans tout le I on d´esigne par Aun anneau commutatif unitaire.
1. D´efinition de A[X].
Donner un polynˆome en une ind´etermin´ee `a coefficients dans Arevient `a donner la famille de
ses coefficients et non la “fonction polynomiale associ´ee”. On va voir les d´efinitions pr´ecises
et plus loin le lien entre ces deux notions.
D´efinition. On appelle polynˆome en une ind´etermin´ee `a coefficients dans Aune suite
(a0,a
1,...,a n...)d’´el´ements de An’ayant qu’un nombre fini de termes non nuls.
On note A[X] l’ensemble obtenu.
46

Th´eor`eme1etd´efinition.
Pour tout (P, Q)∈A[X]×A[X] avec P=(a0,a
1,...)
Q=(b0,b
1,...).
On d´efinit P+Q=(a0+b0,a
1+b1...)
P.Q =(c0,...,c
n,...) avec ∀n∈Ncn=
p+q=n
p≥0,q≥0
apbq
Alors les lois + ·obtenues sur A[X] sont des lois de composition interne et font de A[X]
un anneau commutatif unitaire.
Cet anneau est appel´e anneau des polynˆomes en une ind´etermin´ee et `a coefficients
dans A. D´esormais A[X]d´esignera cet anneau.
D´emonstration.
1) Soient P=(a0,...)etQ=(b0,...) dans A[X].
Alors ∃N0,N
0∈Ntel que n>N 0⇒an=0 et bn=0.
On a donc pour n>N
0,a n+bn= 0 d’o`u P+Q∈A[X]
pour n>2N0,c
n=0.
(en effet si p+q=n, alors soit p>N
0soit q>N 0).
Donc on a PQ ∈A[X].
2) La v´erification que A[X] admet une structure d’anneau commutatif unitaire pour ces
lois est imm´ediate et laiss´ee en exercice. Il suffit d’utiliser les propri´et´es d’anneau de A.
L’´el´ement neutre de l’addition est (0,0,...).
L’oppos´ede P=(a0,a
1,...) est −P=(−a0,−a1,...).L’´el´ement neutre de la multi-
plication est (1,0,0,...).
Proposition 2. Avec les notations du th´eor`eme 1, l’application A→A[X] qui `a chaque
a0∈Aassocie (a0,0,...) est un morphisme injectif d’anneaux unitaires.
Notations.
1) On identifie d´esormais Aa un sous-anneau de A[X],on notera a0l’´el´ement (a0,0,...).
On dira que “a0est une constante.”
On note ´evidemment 0 l’´el´ement (0,0,...)
1l’´el´ement (1,0,...).
On a donc a0·(b0,...)=(a0,0,...)(b0,...)=(a0b0,a
0b1,...).
2) On notera Xl’´el´ement (0,1,0...).
On v´erifie qu’on a
X2=(0,0,1,0...)
.
.
.
Xn=(0,...,0,1,0...)o`u le 1 est en (n+1)
`eme composante.
47

Th´eor`eme 3. Avec ces notations.
Tout ´el´ement Ppeut s’´ecrire de fa¸con unique sous la forme :
n∈N
anXnavec an∈A
an=0 `a partir d’un certain rang.
Les termes a0,... sont les coefficients du polynˆome.
D´emonstration.
N0
n=0
anXn=a0(1,0,...)+a1(0,1,...)+...+aN0(
N0
0...1,...)
=(a0,a
1,...a N0,0...0)
D´efinition. On dira que Xest l’ind´etermin´ee de l’anneau A[X].
Remarque. Si Aest un corps, il est imm´ediat que l’application A×A[X]→A[X]
a, P → a.P
fait de A[X]unA-espace vectoriel. Le th´eor`eme pr´ec´edent s’interpr`ete alors comme le fait
que 1,X,X2,... est une base de cet espace vectoriel (qui est de dimension infinie).
Pour tout N0∈N∗fix´e, AN0[X]={P=(a0,...a
N0,0...)}(an= 0 pour n≥N0) est
un sous-espace vectoriel de base 1,X,...,XN0.
2. Degr´e dans A[X].
D´efinition. Soit P=
n∈N
anXn∈A[X].
•Si P= 0 on appelle degr´ede Ple plus grand des n∈Ntel que an=0.
•Si P= 0 on dira que degr´ede Pest −∞.
On notera d0(P) ou deg(P) le degr´ede P.
Proposition 4. Soient Pet Qdans A[X].Alors on a :
1) d0(P+Q)≤maxd0(P),d
0(Q).Si d0P=d0Qalors d0(P+Q) = maxd0(P),d 0(Q).
2) d0(P.Q)≤d0(P)+d0(Q).
D´emonstration. Si P=0 ou Q=0,alors les propri´et´es sont imm´ediates.
Supposons P=0,Q=0,P=
d0P
n=0
anXn,Q=
d0Q
n=0
bnXn.La propri´et´e1)´etant imm´ediate,
on d´emontre seulement la propri´et´e 2).
Soit k∈Ntel que k>d
0P+d0Q. Soient pet qdans Ntels que p+q=kalors on a
soit p>d
0P, soit q>d 0Qet donc ck=
p+q=k
apbq=0.
On a donc soit PQ =0,soit PQ =0 et d0PQ ≤d0P+d0Q.
Proposition 5. Si Aanneau commutatif unitaire int`egre.
Soient Pet Q´el´ements non nuls de A[X].
Alors on a d0(PQ)=d0(P)+d0(Q).
48

D´emonstration. On reprend le raisonnement et les notations de la d´emonstration pr´ec´edente,
dans le cas P=0,Q=0
P=
d0P
n=0
anXn,Q=
d0Q
n=0
bnXn.
Pour k=d0P+d0Q, si p+q=k, on a soit p≥d0P, soit q≥d0Q, on en d´eduit que
ck=
p+q=k
apbq=ad0P·bd0Q.
Comme Aest int`egre, que ad0Pet bd0Qsont non nuls, on obtient d0(P.Q)=d0P+d0Q.
Remarque. Le r´esultat est ´evidemment faux si An’est plus int`egre.
Ex. dans Z/6Z[X],(2X2−1)(3X)=−3X.
Corollaire 6. Si Aest un anneau commutatif unitaire int`egre, les ´el´ements inversibles de
l’anneau A[X] sont les ´el´ements inversibles de A.
D´emonstration.
1) Soit P∈A[X],P inversible. Alors il existe Q∈A[X] tel quee P.Q =1.
On a donc P=0,Q=0,d
0P=d0Q=0,P=a0∈A, Q =b0∈Aet a0b0=1.
2) La r´eciproque est imm´ediate.
Remarque. Le r´esultat n’est plus vrai si An’est pas int`egre, exemple dans (Z/18Z)[X]
on a (6X−1)(6X+1)=−1.
Th´eor`eme 7. Soit Aest un anneau commutatif unitaire int`egre. Alors l’anneau A[X]
est int`egre.
D´emonstration. D’apr`es la proposition pr´ec´edente, si Pet Qsont non nuls, on a
d0(PQ)=d0P+d0Q≥0.Donc PQ =0.
3. G´en´eralisation.
On peut d´efinir par r´ecurrence l’anneau A[X1,...,X
n] des polynˆomes en nind´etermin´ees
`a coefficients dans A.
On pose A[X1]=A[X].
Si n≥2siB=A[X1,...,X
n−1] est d´efini, on pose A[X1,...,X n]=B[Xn] (on note
Xnla nouvelle ind´etermin´ee au lieu de X).
On peut v´erifier que tout ´el´ement de A[X1,...,X
n]s’´ecrit de fa¸con unique comme combi-
naison lin´eaire finie `a coefficients dans Ades monˆomes de base : {Xα1
1...Xαn
n/∀iα
i∈N}.
On peut obtenir le th´eor`eme suivant :
Corollaire 8. Soit Aun anneau commutatif unitaire int`egre, soit n∈N,n≥1.Alors
l’anneau A[X1,...,X
1] est int`egre.
D´efinition. Soit P∈A[X1,...,X
n],on peut ´evidemment d´efinir le degr´e partiel par rapport
`a chaque variable Xi,c’est le degr´ede Pconsid´er´e comme ´el´ement de A[X1,...,X
i−1,X i+1,...,X n][Xi].
49

Exemple : P=2X2
1X3+X1+4∈R[X1,X
2,X 3] le degr´een X1est 2, le degr´een X3
est 1, le degr´een X2est 0.
On peut aussi d´efinir le degr´e total de P( par rapport `a l’ensemble des ind´etermin´ees),
note dt(P).
Pour P=0 dt(P)=−∞
Pour P=0 P=
α1,...,αn
aα1...αnXα1
1...Xαn
navec aα1−αn∈A
On pose dt(P) = max{α1+...+αn/a
α1,...,αn=0}.
par exemple : P=2X2
1X3+X1+4
dt(P)=3.
Proposition 9. Soit Aun anneau commutatif unitaire.
Soient Pet Qdans A[X1,...,X
n].Alors n≥1.
1) dt(P+Q)≤maxdt(P),dt(Q)
2) dt(P.Q)≤dt(P)+dt(Q).
3) Si Aest int`egre
dt(P.Q)=dt(P)+dt(Q).
D´emonstration. Les parties 1) et 2) sont imm´ediates. D´emontrons 3). On suppose
P=0,Q=0.On a P=P0+P1+...+Pro`ur=dt(P),P
iest la somme des monˆomes
de Pde degr´e total i.
Q=Q0+...+Qso`us=dt(Q)Qjest la somme des monˆomes de Qdegr´e total j.
Il est imm´ediat que pour tout iet jon a PiQjnul ou form´e de monˆomes tous de degr´e
total i+j.
D’autre part on a Pr=0,Q
s=0.Donc Pr.Qs= 0 car A[X1,...,X n] est int`egre.
On en d´eduit : dt(PQ)=r+s.
Corollaire 10. Soit Aun anneau commutatif unitaire int`egre. Soit n∈N,n≥1.Alors
les ´el´ements inversibles de A[X1,...,X
n] sont les ´el´ements inversibles de A.
D´emonstration. Analogue au cas n=1.
II - Propri´ et´ es arithm´ etiques de K[X1,...,X
n].
II - Propri´ et´ es arithm´ etiques de K[X1,...,X
n].
II - Propri´ et´ es arithm´ etiques de K[X1,...,X
n].
II - Propri´ et´ es arithm´ etiques de K[X1,...,X
n].
II - Propri´ et´ es arithm´ etiques de K[X1,...,X
n].
II - Propri´ et´ es arithm´ etiques de K[X1,...,X
n].
II - Propri´ et´ es arithm´ etiques de K[X1,...,X
n].
1. Division euclidienne dans K[X].
Th´eor`eme 1 (division euclidienne). Soit Kun corps commutatif.
Soit B∈K[X]\{0},soit A∈K[X].
Alors il existe des polynˆomes Qet Runiques tels que :
A=BQ +R
d0R<d
0B.
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