l1 seg math ii serie corrigee n 1 calcul matriciel

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L1 SEG (MATH II)
Série Corrigée N°1-ÉNONCÉS
Calcul Matriciel
Exercice 1 :
On donne la matrice suivante :
1) Déterminer deux réels a et b tels que .
2) Montrer que pour tout entier , il existe un réel tel que :
3) Vérifier que la suite est géométrique et donner sa raison.
4) En déduire les expressions de puis en fonction de .
Exercice 2 :
On considère le système récurrent
;
1) Ecrire le système sous la forme
Où
Et est une matrice à préciser.
2) Ecrire sous la forme où est la matrice unité d’ordre 3 et est une matrice à déterminer.
3) Calculer , , …, ;
4) En déduire .
5) Utiliser les résultats précédents pour exprimer la solution générale de
Exercice 3 :
Soit la matrice
1) Calculer et vérifier que
Où est la matrice identité d’ordre 3.
2) En déduire que est inversible et calculer
Exercice 4 :
Soit
1) Vérifier que
2) Déterminer pour tout entier , le reste de la division euclidienne de par

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3) En déduire pour tout , une expression de en fonction de et , puis en fonction de .
Exercice 5 :
On considère les matrices et
1) Déterminer deux réels a et b tels que
2) En déduire que est inversible et donner .
3) On pose et (2 )
a) Vérifier que ; exprimer en fonction de et .
b) En déduire l’expression de en fonction de et .
Exercice 6 :
On considère la matrice
1) Calculer , .
2) Soit la matrice fonction d’un réel :
Calculer la matrice produit ; montrer qu’elle est de la même forme.
Que dire de ?
3) Vérifier que et montrer que
4) En déduire que les puissances de la matrice sont toutes de la forme
, avec
Exercice 7 :
Soit la matrice identité et
on pose
a) Montrer que , et
b) Montrer que
c) Montrer que si est inversible, alors .

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L1 SEG (MATH II)
Série Corrigée N°1-CORRIGÉS
Calcul Matriciel
Corrigé 1 :
1)
Ainsi
D’où
2) On se propose de démontrer par récurrence sur l’entier que il existe une suite
de nombres réels tel que
Or Ainsi, il suffit d’avoir pour avoir
Supposons que
Et calculons :
Or par la suite :
Il suffit d’avoir une suite définie par la relation de
récurrence suivante pour enfin réaliser
On vient donc de démontrer que ; il existe une suite définie par :
3) Il s’agit donc d’une suite géométrique de premier terme et de raison
Il en découle le terme général de la suite
4) L’expression de sera par la suite :
D’où l’expression de en fonction de :
Corrigé 2 :
1) L’écriture matricielle de sous la forme

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Ou encore nous suggère l’expression de :
2)
Où
3)
Il en résulte que
4) puisque les matrices et commutent, on peut appliquer la formule du binôme ; cela donne :
Rappelons que
Par la suite
D’où l’expression de
5) On démontre que avec
Or donc supposons que
Calculons :

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Ce qui prouve que
Ou encore
D’où les termes généraux des suites
Corrigé 3 :
1)
Par la suite
Et
2)
Il en résulte que est inversible et
Calculons :
D’où
Corrigé 4 :
1)
Par la suite
Et
2)
Où et deux polynômes de degrés respectifs et
Soit or on sait que admet deux racines 1 et 2
Remplaçons par 1 dans on obtient
Puis par 2 dans on obtient
Il en résulte le système suivant : ce qui donne et
D’où le reste de la division euclidienne de par, et pour est :
3) : et comme on a