l1 seg math ii serie corrigee n 1 calcul matriciel

BEN AHMED MOHSEN
Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : [email protected]
L1 SEG (MATH II)
Série Corrigée N°1-ÉNONCÉS
Calcul Matriciel
Exercice 1 :
On donne la matrice
suivante :
.
tel que :
1) Déterminer deux réels a et b tels que
2) Montrer que pour tout entier , il existe un réel
3) Vérifier que la suite
est géométrique et donner sa raison.
4) En déduire les expressions de
puis
en fonction de .
Exercice 2 :
On considère le système récurrent
;
1) Ecrire le système
sous la forme
Où
Et
est une matrice à préciser.
2) Ecrire sous la forme
où est la matrice unité d’ordre 3 et
3) Calculer
, , …,
;
4) En déduire
.
5) Utiliser les résultats précédents pour exprimer la solution générale
est une matrice à déterminer.
de
Exercice 3 :
Soit la matrice
1) Calculer
et vérifier que
Où est la matrice identité d’ordre 3.
2) En déduire que est inversible et calculer
Exercice 4 :
Soit
1) Vérifier que
2) Déterminer pour tout entier
, le reste de la division euclidienne de
1
par
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3) En déduire pour tout
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, une expression de
en fonction de
et , puis en fonction de
Exercice 5 :
On considère les matrices
et
1) Déterminer deux réels a et b tels que
2) En déduire que est inversible et donner
3) On pose
et
(2
)
a) Vérifier que
b) En déduire l’expression de
.
; exprimer
en fonction de et .
en fonction de
et
Exercice 6 :
On considère la matrice
1) Calculer ,
.
2) Soit la matrice fonction d’un réel
:
Calculer la matrice produit
; montrer qu’elle est de la même forme.
Que dire de
?
3) Vérifier que
et montrer que
4) En déduire que les puissances
de la matrice sont toutes de la forme
, avec
Exercice 7 :
Soit
la matrice identité et
on pose
a) Montrer que
b) Montrer que
c) Montrer que si
,
et
est inversible, alors
.
2
.
.
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L1 SEG (MATH II)
Série Corrigée N°1-CORRIGÉS
Calcul Matriciel
Corrigé 1 :
1)
Ainsi
D’où
2) On se propose de démontrer par récurrence sur l’entier
que
il existe une suite
de nombres réels tel que
Or
Ainsi, il suffit d’avoir
pour avoir
Supposons que
Et calculons
:
Or
par la suite :
Il suffit d’avoir une suite
récurrence suivante
pour enfin réaliser
On vient donc de démontrer que
; il existe une suite
3) Il s’agit donc d’une suite géométrique de premier terme
Il en découle le terme général de la suite
4) L’expression de
sera par la suite :
D’où l’expression de
en fonction de
définie par la relation de
:
Corrigé 2 :
1) L’écriture matricielle de
sous la forme
3
définie par :
et de raison
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Ou encore
nous suggère l’expression de
:
2)
Où
3)
Il en résulte que
4) puisque les matrices et
commutent, on peut appliquer la formule du binôme ; cela donne :
Rappelons que
Par la suite
D’où l’expression de
5) On démontre que
Or
donc supposons que
Calculons
:
avec
4
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Ce qui prouve que
Ou encore
D’où les termes généraux des suites
Corrigé 3 :
1)
Par la suite
Et
2)
Il en résulte que
Calculons
:
est inversible et
D’où
Corrigé 4 :
1)
Par la suite
Et
2)
Où
et
deux polynômes de degrés respectifs
et
Soit
or on sait que
admet deux racines 1 et 2
Remplaçons par 1 dans
on obtient
Puis par 2 dans
on obtient
Il en résulte le système suivant :
D’où le reste de la division euclidienne de
3)
ce qui donne
et
, et pour
par
:
et comme on a
5
est :
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Et
L’expression de
donc
sera par conséquent :
Corrigé 5 :
1)
Calculons
:
Par la suite
Ce qui donne
2)
Il en résulte que
Calculons
:
est inversible et
3)
a)
Or la relation
Par la suite
ou encore
indique que
on démontrera facilement par récurrence que
De la même manière on vérifie bien que
Or
et comme on a
6
toujours d’après
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Cela convient à dire que
ou encore
on démontrera facilement par récurrence que :
.
Et comme on a
donc
2
D’où l’expression de en fonction de
et :
.
b) Vérifions que les deux matrices
et
commutent :

Voir relation

On pourra par la suite appliquer la formule du binôme ; cela donne :
Or
Donc
D’autre part
, ainsi
puis remplaçons
et
par leurs expressions respectifs
On obtient :
D’où l’expression de
en fonction de
et :
.
Corrigé 6 :
1)
,
Et
2)
i.
Posons
ceci nous amène à conclure que
a la même forme de
:
ii.
3)
i.
ii.
Il suffit de remplacer
par
et
4) On vérifie bien que
pour réaliser
Maintenant supposons que
Calculons
:
par
Or On vient de vérifier que
pour enfin avoir
; Il convient de prendre
7
comme premier terme de la suite
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Enfin
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d’où l’existence d’une suite
et par son premier terme
où
définie par la relation de récurrence suivante :
Corrigé 7 :
a)
i.
puisque
Or
; (
par la suite
étant une matrice diagonale)
D’où
ii.
puisque
par la suite
D’où
iii.
Par la suite
D’où
b)
or
et comme on a
ce qui donne
[
D’où
c)
Or
en effet :
donne
D’où
ainsi
Et comme on a
ce qui
.
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