Oscillateurs

Oscillateurs
Un mouvement périodique est un mouvement qui se répète à
intervalles réguliers
Ex :
- corde de guitares
- oscillation d’un pendule
- mouvement du piston d’un moteur
1er études : Galilée (1564-1642) sur les chandeliers
de la cathédrale de Pise
Oscillateurs
Les oscillations
Une oscillation est une fluctuation d’une grandeur physique au
dessus et au dessous d’une certaine valeur moyenne
Hauteur de l’accoudoir
Hmax
Valeur
moyenne
Hmin
Les oscillations
Oscillateurs
• Une oscillation harmonique simple est une oscillation qui a lieu
sans perte d’énergie
• En présence de frottements les oscillations sont amorties
• Lorsqu’une force d’entraînement extérieure est appliquée les
oscillations sont forcées et donnent lieu au phénomène de
résonance
Oscillations harmoniques
Oscillateurs
• Dans une oscillation harmonique simple la variable x est telle
que X = F(t)
•  Elle reprend la même valeur au bout d’un temps T appelé
PERIODE
F(t+T) = F (t)
•  F(t) est une fonction SINUSOIDALE
x(t) = A sin (ωt+Φ)
Oscillations harmoniques
Oscillateurs
x(t) = A sin (ωt+Φ)
x
A
t
-A
Oscillations harmoniques
Oscillateurs
x(t) = A sin (ωt+Φ)
A est l’amplitude des oscillations
ω, mesurée en rad/s, est appelée fréquence angulaire, ou
pulsation
T : période
f = 1/T : fréquence
ω = 2π/T = 2πf
Oscillateurs
Oscillations harmoniques
x(t) = A sin (ωt+Φ)
L’argument ωt+Φ est la phase, alors que Φ est la
constante de phase
Oscillateurs
Représentation de Fresnel
On peut représenter une vibration par un vecteur OA
- de norme a
- tournant à une vitesse ωo
- Φ est l’angle que fait le vecteur avec l’axe Ox à l’instant t = 0
y
P
Position d’équilibre
G
La représentation de Fresnel consiste à associer à un
oscillateur harmonique un vecteur tournant (appelé
vecteur de Fresnel) dont la projection sur l’axe Oy
reproduit le mouvement de l’oscillateur.
O
a
H
x
Oscillateurs
Représentation de Fresnel
On peut représenter une vibration par un vecteur OA
- de norme a
- tournant à une vitesse ωo
- Φ est l’angle que fait le vecteur avec l’axe Ox à l’instant t = 0
y
G
P
a
ω0t + Φ
Position d’équilibre
O
H
x
Oscillateurs
Représentation de Fresnel
y
y
P
G
O
a
H
•
x
t
Oscillateurs
Représentation de Fresnel
y
y
G
•
P
O
a
H
•
x
t
Oscillateurs
Représentation de Fresnel
y
y
•
•
G
P
O
a
H
•
x
t
Oscillateurs
Représentation de Fresnel
y
y
•
•
G
•
P
O
a
H
•
x
t
Oscillateurs
Représentation de Fresnel
y
y
•
•
P
G
O
a
H
•
x
•
•
t
Oscillateurs
Représentation de Fresnel
y
y
•
•
P
O
G
a
H
•
•
•
t
x
•
Oscillateurs
Représentation de Fresnel
y
y
•
•
P
G
O
a
H
•
•
•
•
x
•
t
Oscillateurs
Représentation de Fresnel
Sur l’axe Ox, le point H effectue un mouvement rectiligne
sinusoïdale. Il effectue des oscillations harmoniques
y
y
•
•
•
G
P
a
•
•
ω0t + Φ
•
•
t
O
H
x
Oscillateurs
Représentation de Fresnel
Sur l’axe Ox, le point H effectue un mouvement rectiligne
sinusoïdale. Il effectue des oscillations harmoniques
y
G
a
Élongation du point G =
y = HP = OP sin (HÔP)
y = a sin (ω0t + Φ)
P
ω0t + Φ
O
H
x
Oscillateurs
Oscillateurs harmoniques
• l’Amplitude est constante
• la fréquence et la période sont indépendantes de l’amplitude : les grandes
et les petites oscillations ont la même période
y
+A
t
-A
Oscillateurs
Oscillateurs harmoniques
• la fonction du temps s’exprime par une fonction sinusoïdale
x(t) = A sin (ωt+Φ)
Les dérivées premières et secondes s’expriment :
V=
a=
d2x
dt2
dx
dt
d2x
dt2
= ωA cos (ωt+Φ)
= - ω2A sin (ωt+Φ)
+ ω2x = 0
Oscillateurs
Oscillateurs harmoniques
Pour qu’un mouvement harmonique s’établisse :
- il doit exister une position d’équilibre stable
- il ne doit pas y avoir de perte d’énergie
- l’accélération est proportionnelle et opposée à la position
x
+A
x(t) = A sin (ωt+Φ)
-A
ωA
V=
v
t
a=
-ωA
ω2A
-ω2A
a
d 2x
dt2
dx
dt
d2x
dt2
= ωA cos (ωt+Φ)
= - ω2A sin (ωt+Φ)
+ ω 2x = 0
a = ω2x
Etude du bloc ressort
Oscillateurs
Considérons un bloc situé à l’extrémité d’un ressort (masse négligeable)
A
A
F
Un bloc oscillant à l’extrémité d’un ressort. La
force de rappel est proportionnelle
déplacement par rapport à l’équilibre
x
La force F agissant sur le bloc exercée par le ressort
F = -kx (x déplacement à partir de la position d’équilibre)
Si x est positif F est négative (dirigés vers la gauche)
Si x est négatif F est positif (dirigé vers la droite)
au
Oscillateurs
Etude du bloc ressort
A
A
F = -kx
F
x
-kx = m.a
On applique la seconde loi de Newton :
d2x
dt2
+
k
m
x=0
ω=
k
m
a=-
1/2
T=
2π
ω
k
m
= 2π
x
m
k
1/2
Oscillateurs
Energie d’un oscillateur
La force exercée par un ressort est conservative. L’Energie du bloc
ressort est constante
- L’énergie potentielle U est donnée par :
x(t) = A sin (ωt+Φ)
U=
1
kx2 =
2
1
2
kA2 sin2 (ωt+Φ)
- L’énergie cinétique K est donnée par :
v (t)= ωA cos (ωt+Φ)
K=
1
2
mv2 =
1
2
mω2A2 cos2 (ωt+Φ)
- L’énergie mécanique Totale :
comme ω2 = k/m et cos2θ + sin2θ = 1
E=K+U
E=
1
2
mv2 +
1
2
kx2 =
1
2
kA2
Oscillateurs
Energie d’un oscillateur
1
ka2
E
1
2
Ec1
Ec
2
1
1
ka2
Ep
4
4
E
ka2
Ec
Ep
ka2
Ep1
-a
a
T
Tt
2
Pour un oscillateur harmonique mécanique,
les énergies cinétique et potentielle varient en
fonction de l’élongation x, leur somme E
(énergie mécanique) restant constante.
L’oscillateur est placé dans un puits de
potentiel harmonique car
Ep = 1/2 kx2
En fonction du temps, les énergies cinétique et
potentielle
d’un
oscillateur
harmonique
mécanique se transforment mutuellement l’une en
l’autre; leurs valeurs moyennes sont égales à la
moitié de l’énergie mécanique totale. T désigne ici
la période de l’oscillateur : les énergies cinétique
et potentielle varient avec une période T/2
Oscillateurs
Energie d’un oscillateur
L’Energie Totale d’un oscillateur est proportionnelle au carré de l’Amplitude
Quand x = +- A : - l’Energie cinétique est nulle
- l’ Energie Totale est égale à l’énergie
potentielle maximale
Quand x = 0 :
- l’Energie potentielle est nulle
- l’ Energie est purement cinétique
Le bloc est dans un puit de potentiel crée par le ressort
Energie
E
Ec
-a
Ep
a
x
Oscillateurs
Le pendule simple
C’est un système constitué d’une masse ponctuelle suspendue à l’extrémité
d’un fil de masse négligeable
L
θ
La seule force tangentielle est la composante du
poids : mg sin θ. Pour de petits angles, la force de
rappel est proportionnelle au déplacement et le
mouvement est donc un mouvement harmonique
simple
T
θ
mg sin θ
mg
mg cos θ
La distance parcourue sur l’axe est égale à S = Lθ
2eme loi de Newton dans la direction de la composante tangentielle du poids :
-mg sin θ = m
d2S
dt2
Oscillateurs
Le pendule simple
L
θ
La composante du poids agit comme une force de rappel.
L’équation ne correspond pas à l’équation d’un
mouvement harmonique simple. Cependant pour des
petites valeurs de l’angle θ : sin (θ) = θ
T
θ
mg sin θ
mg cos θ
mg
d2S
-mg sin θ = m
=L
dt2
d2θ
d2θ
dt2
dt2
+
d2S
S = Lθ
dt2
g
L
=0
Dans l’approximation des petits angles, un pendule simple effectue un mouvement
harmonique simple de fréquence :
ω=
g
L
1/2
T=
2π
ω
= 2π
L
g
1/2
Oscillateurs
Circuit RLC
L
C
La pulsation est égale à :
ω0 =
1
√(LC)
Un circuit oscillant électrique comprenant une
inductance L et un condensateur de capacité C est le
siège d’oscillations électriques de courant et de tension.
Un circuit électrique comprenant une inductance L et un
condensateur C constitue un oscillateur électrique harmonique.
Les énergies emmagasinées dans la bobine (Li2/2) et dans le
condensateur (Cv2/2) varient au cours du temps comme les
énergies cinétique et potentielle d’un oscillateur harmonique.
Energie
E
électrique
totale
Les énergies contenues dans l’inductance et
le condensateurs jouent le rôle des Ec et Ep.
Elles
subissent
entre
elles
des
transformations mutuelles. Leur somme
reste constante et égale à l’énergie électrique
totale.
½ Cv2
½ Li2
T/2
Tt
Oscillateurs
Oscillateurs amortis
Les frottements, la résistance d’un fluide provoque des pertes d’énergie.
L’amplitude d’un tel oscillateur amorti diminue avec le temps.
-γv
Dans le cas du bloc immergé dans un liquide,
on doit faire intervenir une force de résistance
-kx
F qui est proportionnelle à la vitesse :
F = -γv
v
Oscillateurs
Oscillateurs amortis
Les frottements, la résistance d’un fluide provoque des pertes d’énergie.
L’amplitude d’un tel oscillateur amorti diminue avec le temps.
γ est la constante d’amortissement, si on
néglige la poussée du fluide, en appliquant la
2eme loi de Newton
d2x
∑F = - kx - γv = m
dt2
-γv
-kx
dx
d2x
- kx - γ
=m
dt
dt2
v
m
d 2x
dt2
+ γ
dx
dt
+ kx = 0
Oscillateurs
Oscillateurs amortis
m
d2x
dt2
+ γ
dx
dt
+ kx = 0
Cette équation différentielle a pour solution :
x (t) = A0 exp (-γt/2m) sin (ω’t + Φ)
exp (-γt/2m)
La pulsation amortie inférieure à
la pulsation propre est égale à :
ω=
ω02
-
γ
2m
2
T
Dans une oscillation sous-amortie, le système oscille
avec une amplitude qui décroit exponentiellement
Oreille interne
Oscillateurs
Equilibre: met en jeu :
- des muscles
- des centres nerveux
Ils utilisent les informations provenant de l’oreille interne et de la vision
Dans l’oreille interne les éléments suivant interviennent :
- L’utricule : est un petit sac tapissé de cellules ciliées reliées à des terminaisons
nerveuses
Oreille interne
Oscillateurs
Dans l’oreille interne les éléments suivant interviennent :
- Les canaux semi-circulaires contiennent un liquide aqueux et sont terminés par
la cupule. Ils sont dans trios plans (horizontal, 2 plans inclinés de 45° par rapport à
l’axe du corps)
Le déplacement de la cupule sert à mesurer les angles de rotation de la tête
selon trois directions perpendiculaires entre elles
Les otolithes sont sensibles aux accélérations linéaires
Les cupules sont sensibles aux accélérations angulaires
Ils prennent un mouvement oscillatoire (pulsation dépendant de la masse des
corps et raideur des cellules ciliées) amorti (par le liquide aqueux)
Les otolithes ont un mouvement pseudopériodique
Les cupules ont un mouvement apériodique (amortissement très fort) et
retournent à leur position d’équilibre en 10-20 secondes.
Oscillateurs
Oscillations forcées
La fillette peu continuer a se balancer si on la pousse aux
moments appropriés.
En plus de sa force de rappel et sa force
d’amortissement l’oscillateur harmonique est
soumis à une force extérieure destinée à guider
son mouvement. L’idée est d’entretenir le
mouvement en fournissant de l’énergie avec la
force extérieure. Il faut que la force extérieure soit
périodique et sinusoïdale.
Fext = F0cos (ωt)
Oscillateurs
Oscillations forcées
Equation du mouvement
L’équation fondamentale de la dynamique devient alors :
∑F = - kx – f
dx
dt
+ F0 cos ωt = m
et l’équation différentielle dont x est la solution s’écrit :
m
d2x
dt2
+f
dx
dt
+ kx = F0 cos ωt
d2x
dt2
Oscillateurs
Oscillations forcées
Nous avons à résoudre une équation diférentielle de second ordre :
m
d2x
dt2
+f
dx
dt
+ kx = F0 cos (ωt)
- premier membre : elle contient la dérivée seconde de x(t) à
coefficients constant (m, f, k)
- second membre : la fonction explicite du temps F0 cos (ωt)
La solution générale de cette équation s’obtient en ajoutant la solution
générale de l’équation sans second membre avec une solution particulière de
l’équation complète.
Oscillateurs
Acuité de la résonance :
On définit un facteur de qualité du résonateur Q :
Q=
ω0
Δω
- Si Q est grand : l’amortissement est faible, la bande passante est étroite, la résonance
est aiguë. Le résonateur est très sélectif, il vibre préférentiellement selon sa fréquence
propre.
- Si Q est petit : l’amortissement est important, la bande passante est large, la
résonance est floue. Le résonateur n’est pas sélectif (intéressant pour les microphones
haut-parleurs dans lesquels les résonances sont à éviter).
A
A
Q est grand
Q est petit
ω0
ω
ω0
ω
Exemple de résonance :
Oscillateurs
En Juillet 1940, le pont de Tacoma se mit à osciller sous l’action du vent. Au
bout de quelques heures, la travée centrale s’écroula.
Exemple de résonance :
Oscillateurs
Le corps humain peut aussi constituer un système susceptible de vibrer sous
l’action d’une force extérieure (passagers d’une auto…). En fonction des
fréquences les vibrations de certaines parties du corps peuvent devenir
dangereuses. On peut modéliser le corps humain en le décomposant en divers
partie reliées entre elles par des ressorts et des amortisseurs. Chacun des
systèmes possède une fréquence propre (2-80 Hz), les plus dangereuses se situent
entre 5 et 10 Hz. On cherche à se protéger grâce à des suspensions et des
amortisseurs.