Complexité Topologique

Complexit´ e Topologique
Lucile Vandembroucq
Centro de Matem´ atica - Universidade do Minho - Portugal
3` eme GeToϕMa
CRMEF-Rabat 6-8 Juin 2013

Motivation
Motivation- Probl` eme de la planification des mouvements d’un
syst` eme m ´ ecanique en robotique.
Espace de configuration du syst` eme- Espace topologique Xde
tous les ´ etats possibles du syst` eme.
Plan de mouvements pour le syst` eme- section s:X×X→XIde
l’application d’ ´ evaluation des chemins:
π=ev0,1:XI→X×Xπ◦s=id
γ7→ (γ(0), γ(1))

Motivation
Si Xest connexe par arcs, π:XI→X×Xadmet une section mais
celle-ci n’est, en g´ en ´ eral, pas continue (moralement: donn ´ ee par
une unique formule).
π:XI→X×Xadmet une section continue ssi Xest contractile.
Xest contractile s’il existe un point a∈Xet une homotopie
H:X×I→Xtels que H(x,0) = xet H(x,1) = a.
En g´ en ´ eral, on aura besoin de plusieurs formules pour d´ ecrire un
plan de mouvements.

Premi` ere d´ efinition
Definition. (M. Farber) (Complexit´ e Topologique, 1` ere version)
Soit Xun espace topologique. On d ´ esigne par TC1(X)le plus petit
entier ntel que
X×X=F1∪... ∪Fn
o`u
pour i6=j,Fi∩Fj=∅,
Fi⊂X×Xest ENR (Euclidian Neighborhood Retract),
sur chaque Fiil existe une section locale continue de π, i.e, une
application continue si:Fi→XItelle que πsiest Fi֒→X×X.
S’il n’existe pas de tel entier, on pose TC1(X) = ∞.

ENR
Un espace topologique Xest ENR s’il est hom ´ eomorphe ` a un
sous-espace Y⊂Rnqui est r ´ etracte d’un ouvert, i.e, pour lequel il
existe un ouvert U⊂Rnet une application r:U→Ytels que
Y⊂Uet r|Y=id.
Toute vari´ et´ e compacte (avec ou sans bord) est ENR.
Tout CW-complexe fini est ENR.
Si F⊂Zsont tous deux ENR, alors il existe un voisinage ouvert Vde
Fdans Zet une r ´ etraction r:V→Ftels que les applications
Vr →F֒→Z V ֒→Z
sont homotopes.