Chapitre 12 : Probabilités 1) Vocabulaire :

Chapitre 12 : Probabilités
Les probabilités servent à prévoir des résultats.
1) Vocabulaire :
Une expérience aléatoire est une expérience soumise au hasard, comme
lorsqu’on lance un dé.
Un événement est un ensemble de résultats possibles, comme « on obtient un
nombre pair ».
Un événement élémentaire est un seul résultat, comme « on obtient 3 ». On
l’appelle aussi « issue ».
La fréquence est égale à l’effectif divisé par l’effectif total (multiplié par 100
quand elle est exprimée en pourcentage).
La probabilité est la fréquence d’un événement pour une expérience aléatoire si
elle était réalisée un très grand nombre de fois.
Notation : Si A est un événement, on note P(A) la probabilité pour que
l’événement A se réalise.
2) Calculs de probabilités :
La probabilité est égale au nombre de résultats obtenus divisé par le nombre
total de résultats possibles. En pourcentage, on multiplie par 100.
Exemples :
● Le dé : Si on lance un dé, il y a 6 résultats (issues) possibles au total.
1
« On obtient 4 » est 1 résultat donc P(on obtient 4) =
6
« On obtient un nombre pair » est un ensemble de 3 résultats donc
3 1
P(on obtient un nombre pair) = P(on obtient 2 ou 4 ou 6) = = = 0,5
6 2
● La pièce : Si on lance une pièce de monnaie, il y a 2 résultats possibles au
total, pile et face.
1
« On obtient pile » est 1 résultat donc P(on obtient pile) = = 0,5
2
● Les billes : On prend une bille dans un sac contenant 2 billes rouges et 3
billes noires. Il y a 5 résultats possibles.
2
3
P(on tire une bille rouge) =
= 0,4 et P(on tire une bille noire) = = 0,6
5
5
La probabilité de tirer une bille noire est plus grande que la probabilité de
tirer une bille rouge.
3) Cas particuliers :
Un événement impossible est un événement qui a une probabilité égale à zéro.
Exemples :
● pour le dé, il est impossible d’obtenir le nombre 7.
0
P(on obtient 7) = = 0
6
● Dans un sac contenant 5 billes rouges, P(on tire une bille noire) =
0
=0
5
Un événement certain est un événement qui a une probabilité égale à 1.
Exemples :
● pour le dé, on est sûr que le nombre obtenu est toujours inférieur à 7 :
6
P(on obtient un nombre inférieur à 7) = = 1
6
5
● Dans un sac contenant 5 billes rouges, P(on tire une bille rouge) = = 1.
5
Si A est un événement, « non A » est l’événement contraire de A.
P(non A) est la probabilité pour que l’événement contraire de A se réalise.
Exemple : Quand on lance un dé, si A est l’événement « obtenir 3 », alors « non
A » est l’événement « ne pas obtenir 3 » c’est-à-dire « obtenir 1 ou 2 ou 4 ou 5
ou 6 ».
4) Propriétés :
Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1
(comme la fréquence lorsqu’elle n’est pas exprimée en pourcentage).
On divise par un nombre plus grand donc le résultat est plus petit que 1.
1
Exemple : Pour la pièce, P(on obtient pile) = = 0,5.
2
La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1
(comme la somme de toutes les fréquences est égale à 1).
Exemples :
1 1 2
+ = = l1
2 2 2
1 1 1 1 1 1 6
● Pour le dé, P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = + + + + + = = 1
6 6 6 6 6 6 6
● Pour la pièce, P(on obtient pile) + P(on obtient face) =
Pour un événement, P(A) + P(non A) = 1
On peut donc calculer avec une soustraction une probabilité manquante.
Exemple :
5
1 6 1
Pour le dé, P(on n’obtient pas 3) = 1 – P(3) = 1 - = - = l
6 6 6
6
5) On lance deux pièces :
On fait un schéma en traçant un segment pour chaque résultat possible :
1ère pièce
2ième pièce
pile
pile
face
on obtient pile-pile
P(pile-pile) =
1
4
on obtient pile-face
P(pile et face) =
face
pile
on obtient face-pile
face
on obtient face-face
P(face-face) =
2 1
=
4 2
1
4
Pour la première pièce de monnaie, il y a deux résultats possibles : pile ou face.
Pour chacun de ces résultats, il y a deux résultats possibles pour la deuxième
pièce : pile ou face.
Il y a donc quatre résultats possibles au total.
Lorsqu’on lance une seule pièce de monnaie, c’est une expérience aléatoire à une
épreuve.
Lorsqu’on lance deux pièces, c’est une expérience aléatoire à deux épreuves.
Remarques :
1 1 1
x =
2 2 4
On a multiplié les probabilités.
● P(pile-pile) = P(pile) x P(pile) =
1 1 1 1 2 1 4
+ + = + + = =1
4 2 4 4 4 4 4
La somme des probabilités est toujours égale à 1.
●
Annexe : extrait du programme officiel 2016 :
Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités
Aborder les questions relatives au hasard à partir de
problèmes simples.
Calculer des probabilités dans des cas simples.
- Notion de probabilité.
Faire le lien entre fréquence et probabilité, en
constatant matériellement le phénomène de
stabilisation des fréquences ou en utilisant un
tableur pour simuler une expérience aléatoire (à une
ou à deux épreuves).
Exprimer des probabilités sous diverses formes
- Quelques propriétés : la probabilité d'un événement
(décimale, fractionnaire, pourcentage).
est comprise entre 0 et 1 ; probabilité d'événements
certains, impossibles, incompatibles, contraires.
Calculer des probabilités dans un contexte simple
(par exemple, évaluation des chances de gain dans
un jeu et choix d'une stratégie).
Dès le début et tout au long du cycle 4 sont abordées des questions relatives au hasard, afin d'interroger les
représentations initiales des élèves, en partant de situations issues de la vie quotidienne (jeux, achats,
structures familiales, informations apportées par les médias, etc.), en suscitant des débats. On introduit et
consolide ainsi petit à petit le vocabulaire lié aux notions élémentaires de probabilités (expérience aléatoire,
issue, probabilité). Les élèves calculent des probabilités en s'appuyant sur des conditions de symétrie ou de
régularité qui fondent le modèle équiprobable. Une fois ce vocabulaire consolidé, le lien avec les
statistiques est mis en œuvre en simulant une expérience aléatoire, par exemple sur un tableur. À partir de
la 4e, l'interprétation fréquentiste permet d'approcher une probabilité inconnue et de dépasser ainsi le
modèle d'équiprobabilité mis en œuvre en 5e.