Chapitre 11 : correction - La physique chimie au lycée

CORRECTION Chapitre 11 : Quantité de mouvement, travail, énergie … une histoire de
conservation
Jusque là, nous avons étudié la mécanique newtonienne, la description du mouvement en
termes de quantité de mouvement. C'était le formalisme théorique incontesté aux 18ème et
19ème siècles. Mais au cours du 19ème, une alternative puissante, basée sur la notion
d'énergie, a commencé à se développer et l'une des grandes réalisations théoriques de ce
siècle a été la formulation de la loi de conservation de l'énergie. Au vingtième siècle, après la
formulation de la théorie de la relativité, il est devenu clair que la quantité de mouvement et
l'énergie sont deux grandeurs complémentaires enracinées dans la nature même de l'espace et
du temps.
I- La propulsion par réaction : conservation de la quantité de mouvement :
1- Expérience de cours : le lance patate :
a- Réaliser un schéma de l'expérience et noter les observations.
Observation : voiture à l'arrêt au début, lorsque la patate est lancée la voiture recule. On
remarque que la patate est plus lourde que la voiture et la voiture a une vitesse 2 fois plus
importante …
Le système considéré est {catapulte+patate}. Ce système est isolé, c'est à dire que la somme
des forces extérieures est nulle.
b- A partir de la deuxième loi de Newton, énoncer le principe de conservation de la quantité de
mouvement.
2ème loi :
∑⃗
Fext=d⃗p
dt
ici somme des forces = 0 d'où :
0=d⃗p
dt
Si un système est isolé, sa quantité de mouvement se conserve.
c- Réaliser un bilan de quantité de mouvement : quantité de mouvement du système avant le
lancé ? Quantité de mouvement du système après le lancé ?
Dans notre cas : avant le lancé :
⃗
p=⃗ 0
(système voiture+patate à l'arrêt)
Après le lancé :
⃗p=mc⃗vc+mp⃗vp
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d- En déduire la relation entre la vitesse de la catapulte après lancé (vC), la vitesse de la patate
(vP), la masse de la patate (mP) et la masse de la catapulte (mC).
Comme la quantité de mouvement se conserve, qté de mvt initiale = qté de mvt après lancé :
⃗
0=mc⃗ vc+mp⃗ vp
→
⃗
vc=−mp
mc
⃗
vP
e- Retrouve-t-on les observations faites lors de l'expérience avec le principe de conservation de
l'énergie ?
On retrouve bien le fait que :
→ le vecteur vitesse de la voiture est opposé à celui de la patate : les deux partent à l'opposé
→ si
mp=2mC
alors la vitesse de la catapulte est le double de celle de la patate.
2- Application du principe de conservation de la quantité de mouvement :
Parée au décollage ...(d'après Bac Amérique du Nord 2013)
Le 23 mars 2012, un lanceur Ariane 5 a décollé du port spatial de l'Europe à Kourou (Guyane),
emportant à son bord le véhicule de transfert automatique (ATV) qui permet de ravitailler la
station spatiale internationale (ISS).
Au moment du décollage, la masse de la fusée est égale à 7,8x102 tonnes, dont environ 3,5
tonnes de cargaison : ergols, oxygène, air, eau potable, équipements scientifiques, vivres et
vêtements pour l'équipage à bord de l'ATV.
On se propose d'étudier le décollage de la fusée.
Pour ce faire, on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. A la date t=0s, le
système est immobile. A t=1s, la fusée a éjecté une masse de gaz notée mg, à la vitesse
⃗vg
.
Sa masse est alors notée mf et sa vitesse
⃗vf
.
Données :
Intensité de la pesanteur à Kourou : g=9,78N.kg-1
Débit d'éjection des gaz au décollage : D = 2,9.103kg.s-1
Vitesse d'éjection des gaz au décollage : vg = 4,0km.s-1
2.1- Modèle simplifié du décollage :
Dans ce modèle simplifié, on suppose que le système {fusée+gaz} est isolé.
a- En comparant la quantité de mouvement du système considéré aux dates t=0s et t=1s,
montrer que :
⃗
vf=−mg
mf
⃗
vg
Quelle est la conséquence de l'éjection de ces gaz sur le mouvement de la fusée ?
A t=0s :
⃗
p=⃗ 0
A t=1s :
⃗p=mg⃗vg+mf⃗vf
Conservation de la quantité de mouvement :
⃗
0=mg⃗ vg+mf⃗ vf
d'où :
⃗
vf=−mg
mf
⃗
vg
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Les gaz sont éjectés vers le bas, verticalement. Comme le vecteur vitesse de la fusée est
opposé à celui des gaz, la fusée s'élève verticalement vers le haut.
b- Après avoir montré numériquement que la variation de la masse de la fusée est négligeable
au bout d'une seconde après le décollage, calculer la valeur de la vitesse de la fusée à cet
instant.
La variation de la masse de gaz en 1s correspond à la masse de gaz éjectée durant ce laps de
temps →
il s'échappe 2,9.103kg en une seconde d'après la valeur du débit.
Δm=2,9.103kg
pour montrer que c'est négligeable on calcule le rapport :
Δm
mi
=2,9.103
7,8.105=3,71 .10−3
soit une variation de masse de 0,3%, ce qui est bien négligeable.
Calcul de la valeur de la vitesse après 1s :
vf=mg
mf
vg=2,9 .103
7,8.105×4,0.103=14,8 m.s−1=15 m.s−1
2.2- Etude plus réaliste du décollage :
a- En réalité la vitesse vf est très inférieure à celle calculée à la question 2.1.b. Quelle force
n'aurait-on pas dû négliger ?
Le système n'est en réalite pas isolé, il subit le poids qui le ralentit fortement.
On considère désormais le système {fusée}. Il est soumis à son poids
⃗
F
définie par
⃗
F=−D⃗vg
où D est la masse de gaz éjecté par seconde.
b- Montre que le produit (D.vg) est homogène à une force.
D → kg.s-1 ; vg → m.s-1 le produit des deux donne bien kg.m.s-2 donc des N (voir 2nd loi de
Newton)
c- Vérifier par une application numérique que la fusée peut effectivement décoller.
Pour que la fusée décolle il faut que la force de poussée soit supérieure au poids :
⃗
P=mf⃗g
→
P=7,8.105×9,78=7,6 .106N
⃗
F=−D⃗vg
→
F=2,9 .103×4,0.103=1,2.107N
La fusée peut décoller.
Collision : Astéroïde vs Météorite
Dans le référentiel héliocentrique, un astéroïde, de masse m1=1,0.103kg, est situé suffisamment
loin de tout corps céleste pour que leur interaction gravitationnelle soit négligeable. Il est heurté
par une météorite de 0,20kg, de vitesse 1,5km.s-1, colinéaire à sa vitesse initiale.
a- Parmi les systèmes suivants, lesquels sont isolés ? {astéroïde}, {météorite},
{astéroïde+météorite}
→ astéroïde + météorite
b- En négligeant la masse de la météorite devant celle de l'astéroïde, exprimer la quantité de
mouvement du système, avant et après la collision.
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Avant la collision :
⃗p=m1⃗v0+m2⃗v2
Après collision :
⃗
p=(m1+m2)⃗ vf
On néglige m2 par rapport à m1 →
⃗p=m1⃗vf
c- En déduire la variation de vitesse de l'astéroïde
variation de vitesse :
Δ⃗v= ⃗vf–⃗v0
Conservation de la quantité de mouvement :
m1⃗vf=m1⃗v0+m2⃗v2
m1⃗vf−m1⃗v0=m2⃗v2
m1(⃗ vf−⃗ v0)=m2⃗ v2
Δ⃗ v=m2
m1
⃗
v2
Application numérique :
Δ⃗ v=0,20
1,0 .103×1,5 .103=0,3m.s−1
II- Travail (du travail et encore du travail … ) :
1- Notion de travail :
Nous avons appris que le produit de la force et du temps pendant lequel elle agit est égal à la
variation de la quantité de mouvement (deuxième loi de Newton). Maintenant nous allons voir
que le produit de la force et de la distance sur laquelle elle agit mesure la variation de
l'énergie.
Quand cette idée a été formulée par Gaspard Coriolis en 1829, il l'a appelée travail. Ce mot est
encore employé, bien que les expressions variation mécanique de l'énergie ou le transfert
mécanique de l'énergie seraient plus adaptées.
Le travail est la variation de l'énergie d'un système, due à l'application d'une force, agissant sur
une distance.
On note le travail de la force
⃗
F
en un point A et un point B :
WAB (⃗ F)
et son unité est le
Joule (J).
Dans le cas d'une force constante, pour déterminer le travail, on réalise le produit scalaire de la
force par le vecteur déplacement :
WAB (⃗ F)=⃗ F.
⃗
AB
2- Travail d'une force constante :
Etablir l'expression du travail (et sa valeur numérique quand c'est possible) pour les situations
suivantes :
Les déménageurs bretons
F=20N , déplacement de 2,0m
WAB= F.AB=20 . 2,0=40 J
Le tire-fesse (on note d, la distance parcourue par le
skieur)
a- Travail de la tige ?
WAB (⃗ T)=⃗ T.⃗ AB=T.d.cos β
b- Travail du poids ?
WAB (⃗ P)=⃗ P.⃗ AB=P d cos(α+90)=P d sin (α)
c- Travail de la réaction du sol ?
Angle 90° → cos = 0
WAB (⃗ R)=0
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d- Travail des forces de frottements sous
les skis ?
WAB (⃗ f)= f d cos(180)=− f d
Tableau récapitulatif :
Situation
Valeur de l'angle
0°<α<90 °
α=90°
90°<α<180°
Signe du travail positif Nulle Négatif
Le travail est dit … moteur Ne travaille pas Résistif
3- Travail du poids :
On choisit pour l'ensemble de l'étude un repère orthonormé Oxyz. L'axe z est l'axe vertical
dirigé vers le haut.
Situation A : Considérons un sauteur en parachute, on s'intéresse à son mouvement avant
ouverture du parachute et lorsque les frottements sont négligeables.
a- Donner l'expression du travail du poids lorsque le sauteur passe d'une altitude zA à une
altitude zB.
WAB (⃗ P)=m g AB=m g (zA−zB)
Situation B : On considère maintenant un skieur, de masse m, qui se déplace en ligne droite
d'une point A à un point B sur une piste inclinée de α=40° par rapport à la verticale.
b- Donner l'expression du travail du poids lorsque le skieur passe de A à B en fonction de m, g,
zA et zB.
WAB(⃗ P)=⃗ P.⃗ AB=P.AB.cos α
Avec un petit dessin :
AB cos α=H=zA– zB
d'où
WAB (⃗ P)=mg (zA−zB)
Situation C : Imaginons que le skieur effectue un slalom. On décompose le déplacement selon
les axes x, y , z.
c- Que pouvez-vous dire :
→ du travail du poids selon x ?
→ du travail du poids selon y ?
→ du travail du poids selon z ?
En déduire l'expression du travail du poids du skieur dans cette situation.
On décompose le mouvement selon les 3 axes. Les déplacements selon x et y sont
perpendiculaires au poids, il ne travaille donc pas selon ces 2 axes. Par conséquent le poids ne
travaille que selon z, on retrouve l'expression :
WAB (⃗ P)=mg (zA−zB)
Généralisation :
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