notes de cours

Physique Quantique I et II
Notes de cours
Prof. Frédéric Mila
Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
Avril 2010

Table des matières
1 La Théorie des Quanta 1
1.1 Introduction................................ 1
1.2 La Théorie de Bohr de l’Atome d’Hydrogène . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Les Règles de Bohr-Sommerfeld (1915) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 La Quantification Canonique 5
2.1 Introduction................................ 5
2.2 L’Oscillateur Harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Les Opérateurs ˆqet ˆp: la Théorie des Matrices . . . . . . . . . . . . 11
2.4 La Quantification Canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Les Relations d’Incertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 La Mécanique Ondulatoire 17
3.1 Introduction................................ 17
3.2 L’Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 L’Oscillateur Harmonique :
Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Lien avec la Quantification Canonique : . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Interprétation de la Fonction d’Onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6 Éléments de Théorie de la Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Formulation Générale de la Mécanique Quantique 31
4.1 Introduction................................ 31
4.2 LesPostulats ............................... 31
4.3 Valeur Moyenne et Relation d’Incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Evolution temporelle : Schrödinger, Heisenberg et Ehrenfest . . . . . 37
4.5 La Représentation {|pi} ......................... 44
5 Quelques Problèmes Simples en Dimension 1 47
iii

5.1 Introduction................................ 47
5.2 La Particule Libre : Paquet d’Ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Potentiel Constant par Morceau et Conditions aux Limites . . . . . . 54
5.4 Le Puits de Potentiel Carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5 La Marche de Potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.6 Barrière de Potentiel. Effet Tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 Mouvement dans un Potentiel Central 71
6.1 Introduction................................ 71
6.2 L’Opérateur Moment Cinétique
etl’Hamiltonien.............................. 72
6.3 Le Spectre de ˆ
~
L2: Considérations Algébriques . . . . . . . . . . . . . 76
6.4 Moment Cinétique Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.5 Les Harmoniques Sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.6 Le Mouvement dans un Potentiel Coulombien . . . . . . . . . . . . . 86
6.7 Moment Magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7 Spin 99
7.1 Introduction................................ 99
7.2 Le Formalisme du Spin 1
2.........................101
7.3 Les Matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.4 Matrices de Pauli et Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.5 L’électron non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.5.1 Moment cinétique orbital et spin . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8 Addition des moments cinétiques 113
8.1 Introduction................................113
8.2 Addition de deux moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2.1 Coefficients de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.3 Application : l’électron dans un atome . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.3.1 Structure fine de l’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . 121
9 Symétries 123
9.1 Introduction................................123
9.2 Les symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2.1 Transformations d’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2.2 Renversement du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.2.3 Évolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.3 Invariance et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.3.1 Symétries discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.3.2 Symétries continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.4 Éléments de théorie des groupes. Représentations . . . . . . . . . . . 139
9.4.1 Représentation d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.5 Vecteurs, tenseurs et théorème de Wigner Eckart . . . . . . . . . . . 141
9.5.1 Vecteurs..............................142
9.5.2 Tenseurs..............................142
9.5.3 Tenseurs (sphériques) irréductibles de rang k:.........144
10 Méthodes d’approximation I : Problèmes indépendants du temps 147
10.1 Approche variationelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.2 Théorie des perturbations non dégénérées . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2.1 Normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.2.2 Condition de validité du développement . . . . . . . . . . . . 153
10.2.3 Théorie de Brillouin-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.3 Théorie des perturbations dégénérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.3.1 Calcul au premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.3.2 Calcul au deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.3.3 Hamiltonien effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11 Méthodes d’approximation II : Problèmes dépendants du temps 163
11.1 Introduction-Opérateur d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.2 Les représentations de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . 165
11.2.1 Représentation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.2.2 Représentation de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.3 Représentation interaction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.4 Probabilité de transition et règle d’or de Fermi . . . . . . . . . . . . . 168
11.4.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12 Particules identiques 173
12.1Introduction................................173
12.2 Fermions. Principe de Pauli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.2.1 Energie d’un système de Nfermions sans interaction . . . . . 176
12.3Bosons...................................179
12.3.1 Bosons sans interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180