LATEC-DT 96-08

LABORATOIRE D'ANALYSE
ET DE TECHNIQUES ÉCONOMIQUES
U.R.A. 342 C.N.R.S.
DOCUMENT de TRAVAIL
UNIVERSITE DE BOURGOGNE
FACULTE DE SCIENCE ECONOMIQUE ET DE GESTION
4, boulevard Gabriel - 21000 DIJON - Tél. 80395430 - Fax 80395648
ISSN
:
0292-2002
n° 9608
Estimation des modèles dynamiques à erreurs composées
avec autocorrélation par la méthode des variables instrumentales
Serge Alain MATONDZINGOUMA*
juillet 1996
*LATEC (UMR 5601 - CNRS), Université de Bourgogne
r
àcl
no?
ESTIMATION DES MODELES DYNAMIQUES
A ERREURS COMPOSEES AVEC AUTOCORRELATION
PAR LA METHODE DES VARIABLES INSTRUMENTALES
Serge Alain MATONDZINGOUMA
Tous mes remerciements au professeur Pietro BALESTRA pour ses remarques et ses conseils.
RESUME DE L’ARTICLE
Dans ce travail, nous considérons le modèle dynamique à erreurs composées avec
autocorrélation. Nous analysons les procédures d’estimation convergente du coefficient
d’autocorrélation et nous essayons de voir si toutes les conditions d’orthogonalité valides dans
le cadre du modèle dynamique sans autocorrélation sont valides lorsque le modèle comporte
l’autocorrélation.
Nous proposons deux méthodes d’estimation convergentes du coefficient d’autocorrélation en
plus de celle de Baltagi et Li (1994). Cette dernière méthode sera généralisée. Nous montrons
également que toutes les conditions d’orthogonalité du modèle sans autocorrélation ne sont pas
valides lorsque le modèle comporte l’autocorrélation.
SUMMARY
In this paper, we consider a dynamic error-components models with autocorrelated
disturbances. We analyse the efficient estimation procedure of autocorrelation parameter and we
try to find out whether moment conditions of a dynamic model without autocorrelation are valid
when the model includes autocorrelation.
We propose two efficient estimation methods of autocorrelation parameter in addition to Baltagi
and Li (1994) estimator. We show that all moment conditions of a dynamic model without
autocorrelation are not valid in dynamics errors-components models with autocorrelated
disturbances.
MOTS CLES
Modèles Dynamiques à Erreurs Composées, Autocorrélation, Conditions d’orthogonalité,
Estimation convergente, Variables instrumentales
TABLE DES MATIERES
Pages
INTRODUCTION
2
I - LE MODELE
2
II - NOTATION ET HYPOTHESES
4
4
4
4
5
2.1 Hypothèses
2.1.1 Hypothèses sur les erreurs du modèle
2.1.2 Hypothèses sur les variables explicatives
2 .2 Notation
III - LES CONDITIONS D’ORTHOGONALITE DU MODELE DYNAMIQUE A
ERREURS COMPOSEES SANS AUTOCORRELATION SONT-ELLES
6
VALIDES LORSQU’IL Y A AUTOCORRELATION ?
6
7
7
7
7
8
8
8
8
9
9
3.1 La méthode des variables instrumentales
3.2 Les conditions d’orthogonalité
3.2.1 Les conditions d’orthogonalité non pertinentes
3.2.1.1 La méthode de Anderson.T.W etHSIAO.C (1981 et 1982)
3.2.1.2 La méthode de Arellano et Bond, Holtz-Eakin, Newey et Rosen
3.2.1.3 La condition d’orthogonalité de Ahn et Schmidt ( 1993)
3.2.2 Les conditions d’orthogonalité pertinentes
3.2.2.1 La méthode de Liviatan
3.2.2.2 La méthode de Balestra - Nerlove
3.2.2.3 La condition d’orthogonalité de Ahn et Schmidt (1995)
3.2.2.4 Autre condition condition d’orthogonalité
IV - ESTIMATION DU MODELE : CAS OU LES VARIABLES EXOGENES
9
SONT PUREMENT EXOGENES
4.1 La méthode de Liviatan
4.1.1 Présentation de la méthode simple : cas où H = 3
4.1.2 Présentation générale de la méthode de Liviatan I : cas où H > 3
4.2 La méthode de Balestra - Nerlove
4.2.1 Principe de la méthode : cas simple où H = 3
4.2.2 Présentation générale de la méthode de Balestra - Nerlove : cas où H > 3
9
9
10
14
14
14
V - ESTIMATION DU MODELE : CAS OU LA VARIABLE Z, EST CORRELEE
16
AVEC L’EFFET INDIVIDUEL a,
5.1 Présentation de la méthode de Liviatan II simple
5.2 Estimateur généralisé de Liviatan II ( cas où H > 3 )
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE
17
18
20
21
INTRODUCTION
Depuis l’article pionnier de BALESTRA.P et NERLOVE.M (1966), l’étude des modèles
dynamiques à erreurs composées suscite de plus en plus d’intérêt de la part des économètres.
Une longue littérature s’est développée sur ce problème.
Les travaux de NICKELL.S (1981), SEVESTRE.P et TROGNON.A (1983 et 1985),
KIVIETJ.F. (1995), entre autres, ont permis de connaître les propriétés de grands échantillons
des estimateurs usuels (Between, Within, Moindres Carrés Ordinaires, Moindres Carrés
Généralisés) et d’étudier le comportement asymptotique des biais de ces estimateurs. D apparaît
de ces travaux que lorsque N et T — les estimateurs des MCG (GLS), MCQG et within sont
convergents et asymptotiquement équivalents alors que les autres estimateurs sont
asymptotiquement biaisés. Cependant, lorsque seul N—»«>, ces estimateurs sont tous
asymptotiquement biaisés.
Pour trouver des estimateurs convergents lorsque seul N-*», les chercheurs ont développé les
procédures d’estimation des variables instrumentales (IV) et des moments généralisés (GMM).
Ces procédures d’estimation ont été largement analysées par ANDERSON.T.W et HSIAO.C
(1981 et 1982), HOLTZ-EAKIN.D, NEWEY.W et ROSEN.H (1988), AHN.S.C et
SCHMIDT.P (1995), ARELLANO.M et B0VER.0 (1995).
Sur le plan de la structure des résidus ces travaux écartaient la possibilité d’une autocorrélation
des erreurs. Or cette hypothèse est de plus en plus remise en cause. Récemment,
BALTAGI.B.H et LI.Q (1991) ont introduit l’autocorrélation dans un modèle statique à erreurs
composées et ont proposé une technique d’estimation de ce modèle.
Nous proposons dans ce travail d’introduire l’autocorrélation dans le modèle dynamique à
erreurs composées. Notre objectif est, d’une part d’analyser les méthodes d’estimation du
coefficient d’autocorrélation, et d’autre part, de voir qu’elles sont les conditions d’orthogonalité
qui sont valides dans le cadre du modèle dynamique à erreurs composées avec autocorrélation.
Nous utiliserons certaines conditions valides pour proposer des méthodes d’estimation de tous
les paramètres du modèle basées sur la technique des variables instrumentales.
Cet article est tiré d’un travail plus important portant sur les modèles dynamiques à erreurs
composées avec autocorrélation. Tous les résultats présentés ici sont démontrés dans ce travail.
I
LE MODELE
Dans ce travail, nous allons considérer un modèle dynamique à erreurs composées avec
autocorrélation contenant deux variables exogènes. La première xit varie à la fois selon les
individus et les périodes, et la deuxième zi ne possède qu’une variabilité individuelle.
Ce modèle s’écrit :
jy* = 8yit_! + Px„ + <t>Zi + cti + vit
K = pvit_, +eit
La descente par récurrence jusqu’à l’instant initial nous permet d’écrire encore ce modèle
comme suit :
y. = s'y»+PI»V,+V-f1
^ + -^(
j=o
1 -0
p —o p'-5' K +7-f
1 -0
+^
^O(j=op i*‘-«‘•‘K-,
p—
( 1.2)
Cette nouvelle écriture fait apparaître l’importance des observations initiales dans le modèle et
montre que le modèle étudié est la somme des variables suivantes :
- la première, ô‘yio, dépend des observations initiales ;
2
t-1
- la deuxième, PX ôJxit_j, dépend des valeurs passées et présentes de la variable exogène xit ;
j=o
1- 8 *
- la troisième,---- —
l —o
1
, est proportionnelle à la variable z i ;
- la quatrième, — (p‘ - 5‘)vio, dépend des erreurs initiales ;
p -o
, •
1 -6 '
- la cinquième,---- —a , , est proportionnelle à l’effet individuel ;
l —o
1 1-1/
- la sixième,---- - £ ( p J+1 - ôj+1W_j, peut être interprétée comme un processus autorégréssif à
p - o j=o
données initiales fixées :
P - 0 j=o
j=i
<Yu = ^¡t-i + e u
Yio =0
(1.3)
Ainsi, nous pouvons poser :
y* = f(yit-pxit,zi,v,0,a i,eit)
(1.4)
Il apparaît de cette nouvelle écriture que les observations initiales influencent de façon non
négligeable le comportement asymptotique des estimateurs notamment lorsque la dimension
temporelle de l’échantillon est finie.
Le problème qui se pose alors est de savoir quel est le véritable statut de ces observations. Les
hypothèses qui sont faites sur le statut de ces observations peuvent être regroupées en deux
familles.
La première est composée des hypothèses qui supposent que les observations initiales sont
exogènes c ’est à dire que ces observations sont indépendantes du processus (1.1).
Dans ce cadre, nous pouvons considérer que ces observations sont soit des constantes fixes,
soit engendrées par un processus aléatoires non corrélées avec les erreurs du modèle (1.1) c’est
à dire :
plim - ^ - S X y io(a i + v io) = 0
JN1 i=it=i
(1.5)
La deuxième est celle des hypothèses qui acceptent l’existence d’une corrélation entre ces
observations et les erreurs du modèle ou de façon générale entre le modèle et les observations
initiales.
Dans cette situation, nous pouvons considérer que les observations initiales dépendent de l’effet
individuel a,, des valeurs passées de la variable exogène xit.j, de la variable exogène zx et de
l’erreur initiale vi0.
yio = f ( a i>xit_j,zi,vi0)
(1.6)
Soit de façon générale :
P ü m ^ IIy io y u * 0
NT i=u=i
(1-7)
Une bonne présentation des hypothèses sous cette deuxième famille est faite par
ANDERSON.T.W et HSIAO.C(1981 ET 1982) et SEVESTRE .P (1983).
3
REMARQUE
Les limites en probabilité (1.6) et (1.7) sont valides aussi bien lorsque N et T —><», que lorsque
N — T fini.
H NOTATION ET HYPOTHESES
2.1
HYPOTHESES
2.1.1 HYPOTHESES SUR LES ERREURS
Dans le cadre de ce travail, nous ferons les hypothèses suivantes sur les erreurs :
H,
|6| < l,|p| < 1
Ces deux conditions ne sont pas nécessaires si T est fini.
H2
E ^ /y ^ x ^ z ^ O
,
x lo i si i = i'
E fa ^ /y ^ p x ^ z ^ i .
[0 sinon
H4
E ^ /y ^ x ^ z ^ O
,
v la, sii = i 'e t t = t'
Hs
E f e .e ^ /y ^ p x ^ z ^ j
.
[0 sinon
H*
E (aieit) = E(eita i) = 0
H7 Nous supposerons en outre que vio suit un processus stationnaire :
H3
_2 A
6
v;„ -4 iid 0
’l
p
2
V
Cette hypothèse peut être élargie comme le font BALTAGI, CHANG et LI (1992) qui posent :
_2
où v est un paramètre à estimer.
\
v- —> iid o A
v v/
2.1.2 HYPOTHESES SUR LES VARIABLES EXPLICATIVES
Le modèle considéré comprend trois types de variables explicatives.
- La première, yit.p est la variable endogène retardée. Cette variable est corrélée avec l’effet
individuel et la deuxième erreur du modèle.
Plimw l i > i « ( a i +V» ) * 0
JN
1
i= 1
<21)
t= 1
- La deuxième, xit, est la variable explicative dont la variabilité est à la fois individuelle et
temporelle. Cette variable sera supposée purement ou doublement exogène c’est à dire qu’elle
n’est pas corrélée avec les erreurs du modèle.
plimi Z S xu(a i + v it)= 0
N 1 ¡=1 t=l
<2-2)
4
- La troisième, z i , est la variable exogène dont la variabilité est uniquement individuelle. Cette
variable sera dans un premier temps considérée comme étant doublement exogène,
(2.3)
Plim^ Ê S z*(a i + v u) = °
i i=i t=i
puis nous supposerons qu’elle est correlée avec l’effet individuel a;.
1
N
Plim—yZjCXi * 0
Nw
(2.4)
2.2 NOTATION
Sous forme matricielle le modèle étudié s’écrit :
Y = 5Y_, + ßX + <|>(IN0 ST)Z + U
(2.5)
U = (lN®ST)a +V
soit de façon compacte
Y = M
(p + U
(NTX3) (3X1)
(NTX1)
( 2 .6)
(NTX1)
avec
M = (Y_, X Z*) 9 ' = (S ß 4) Z‘ = (IN(8»ST)Z
‘V
Yj
(NTXl)
=
(TX1)
a =
Z =
Yir.
_ZN _
Yw
"ai"
T
a2
1
X =
=
YiT-i.
'V
V =
1
x2
(NTXl)
(TX1)
x, =
' x ü'
Xi2
(TX1)
.X N.
_XiT.
‘Vil‘
v2
V i2
Vi =
(TX1)
(NTXl)
_a N_
"V
" Yi0
Y„
Y n- i.
(NXl)
(NXl)
'Y ,.,'
Y«
(NTXl)
_Y n _
_zl"
Y., =
n
y2
Y =
■Y,r
Yi2
. ViT.
. V N.
INest la matrice unitaire d’ordre N.
La matrice des variances-covariances de ce modèle est définie par :
E(UU') = a = IN0 E
(2.7)
X = öX s;+ O eV p
(2 .8)
avec
1
p
V =
1-p2
>T-1
P ••
1 \
T -l
P
P
1
5
III LES CONDITIONS D’ORTHOGONALITE DU MODELE DYNAMIQUE A
ERREURS COMPOSEES SANS AUTOCORRELATION SONT-ELLES
VALIDES LORSQU’IL Y A AUTOCORRELATION?
La méthode d’estimation utilisée dans ce travail est celle des variables instrumentales. Ce choix
s’explique par le fait que les estimateurs usuels ( within, between, MCO, MCG) ne sont pas
convergents lorsque seule la dimension individuelle N tend vers l’infini et ce quel que soit le
statut des observations initiales.
Nous allons d’abord présenter cette méthode avant de nous intéresser aux conditions
d ’orthogonalité valides dans le cadre de ce modèle.
3.1 LA METHODE DES VARIABLES INSTRUMENTALES
Supposons à présent que nous disposons d’une matrice R d’ordre (NTxH) pouvant
éventuellement contenir des variables figurant dans le modèle de départ.
La matrice R est dite matrice d’instruments si :
1°)
E(R'U) = 0 ou Plim— R'U = 0
NT
(3.1)
2°)
P lim
RTl =
(3.2)
3°)
P lim
R'M = Q rm
matrice non singulière définie positive
matrice de rang complet
(3.3)
Si H<3, le nombre d’instruments est inférieur au nombre de variables explicatives, le système
comporte trop peu d’équations et la démarche n’aboutit pas.
Si H=3, la procédure conduit à une solution unique en prenant la limite en probabilité du modèle
transformé.
Le modèle transformé par la matrice d’instruments s’écrit :
R'Y = R'M(p + ROJ
(3.4)
et l’estimateur des variables instrumentales simple est donné :
<Pvj = (R'Mj^R'Y
(3.5)
Cet estimateur est convergent et suit asymptotiquement une loi normale.
V Ñ (? v i-< p )
N.!-»-
>N
0,Plim
n .t - * 4
R'M V 1R 'Q R fM 'R x_1
NT
NT v NT
(3.6)
Si H>3, la procédure conduit à un système comportant plus d’équations que d’inconnues.
Dans cette situation, deux estimateurs convergents peuvent être obtenus.
Le premier qui est obtenu en appliquant les MCG sur le modèle transformé est défini par :
(pGIV = [M,R(R'QR)'1R'M]"1M 'R (R 'fíR r1R'Y
(3.7)
et sa variance asymptotique est donné par, lorsque Net T tendent vers l’infini :
Vas(<pGIV) — P lim— M'R(R'QR)"1R'M
NT
(3.8)
6
Le deuxième est celui proposé par WHITE.H (1984) qui est obtenu en transformant le modèle
_I
_i_
par Q 2 pour le rendre sphérique et en utilisant R* = Q 2R comme matrice d’instruments.
Les composantes de R* sont des instruments puisqu’elles sont des combinaisons linéaires des
instruments. Ainsi, si la condition d’orthogonalité suivante est vérifiée :
1
1
-Plim---- R *'U = Plim---- R'Q 2U = 0
NT
NT
(3.9)
l’estimateur proposé par WHITE est défini par :
9 wgiv
= [M'Q_1R(R'Q_1R)_1R'î2-1m]_I M'Î2-1R(R'Q-1R)-1R'Q-1Y
soit
-1
v-1
9 wgmm —
V i= l
)
V-l
X
E M.'£ "‘R¡ Í Í Rí ' ,Ri I
i= l
(3.10)
m ^ - ' r / x r 'ï
i=l
i=l
V¡=1
-'r ,
y ¡=i
(3.11)
Les deux estimateurs sont équivalents si [BALESTRA.P (1970)]
QR=RB
(3.12)
M=Rrc+|i
(3.13)
où B est une matrice non singulière.
Si par contre nous pouvons écrire :
l’estimateur de WHITE sera plus efficient que celui obtenu en appliquant les MCG sur le modèle
transformé.
3.2 LES CONDITIONS D’ORTHOGONALITE
Toutes les conditions d’orthogonalité proposées dans le cadre du modèle sans autocorrélation ne
sont pas valides ici.
3.2.1 LES CONDITIONS D’ORTHOGONALITE NON PERTINENTES
Les conditions d’orthogonalité suivantes sont non pertinentes :
3.2.1.1 LA METHODE DE ANDERSON.T.W ET HSIAO.C (1981 et 1982)
Ces auteurs ont proposé deux conditions d’orthogonalité qui reposent sur le modèle en
différences premières que nous allons présenter en (5.4). Partant de ce modèle, ils proposent
d’utiliser yit.2 ou (yit.2 - yit.3) comme instrument pour la variable endogène retardée.
Ces instruments ne sont pas valides car nous avons :
(3.14)
E[y,.-2 vit*]*0
E[(yit-2 -y¡,-3)v¡t*]*o
(3.15)
OU
3.2.1.2 LA METHODE DE ARELLANO ET BOND(1991), HOLTZ-EAKIN,
NEWEY ET ROSEN (1988)
Ces auteurs élargissent la condition de ANDERSON et HSIAO et proposent la condition
d ’orthogonalité suivante :
E[yit..s y * ] avec s<t-l
(3.16)
7
Il est clair du fait de l’autocorrélation que :
E ty^u*] *0
(3-17)
3.2.1.3 LA CONDITION D’ORTHOGONALITE DE AHN ET SCHMIDT (1993)
Cette condition n’est valide que lorsque N et T tendent vers l’infini. Elle s’écrit :
Ep.ffJ,,,, - U„] = 0
avec
(3.18)
uit= a ; + vit
3.2.2.1 LES CONDITIONS D’ORTHOGONALITE PERTINENTES
3.2.2.1 LA METHODE DE LIVIATAN
Cet auteur propose d'utiliser une variable exogène retardée comme instrument pour y1(_[.
Prenons pour simplifier xit_v Les autres variables étant leurs propres instruments.
Il est clair en vertu de (2.2) que :
E[uitxit]=0
(3.19)
3.2.2.2 LA METHODE DE BALESTRA-NERLOVE
Ces auteurs dans leur article de 1966 ont développé une méthode d’estimation inspirée de celle
des doubles moindres carrés. Cette méthode se présente comme suit:
Régresser yit sur les variables explicatives en écrivant le modèle comme suit :
ya
=
+*
+ a '+
v*)
(3.20)
ou encore
yit = PiXi,+<t>iZi +a* + v*t
(3.21)
et estimer les paramètres par les moindres carrés ordinaires.
Soient et «j), les estimateurs obtenus. Nous avons :
yit =Pixit+<i>izi
(3-22)
ÿ i.-i = P i x i , - i + ^ i z i
(3.23)
Lorsque les variables exogènes sont doublement exogènes, il est clair que :
plim^^ Î1 i¡=>1 t=
i2. - . ( “ ‘ + v « )= 0
<3-24)
Ces auteurs proposent d’utiliser ÿit_, comme instrument pour la variable endogène retardée.
Lorsque la variable z( est corrélée avec l’effet individuel, elle doit être éliminée de (3.23) ; cette
méthode est alors équivalente à la méthode de LIVIATAN.
8
3.2.2.3 LA CONDITION D’QRTHOGQNALITE DE AHN ET SCHMIDT (1995)
Elle est définie par :
E[(ui t " uit-2K-i] = 0
(3.25)
3.2.2.4 AUTRE CONDITION D’ORTHOGONALITE
Partant du modèle transformé (5.4), nous pouvons utiliser x*it_, comme instrument pour y*it.j
car :
(3.26)
Nous avons aussi
(3.27)
E[ÿhvit] = 0
s<t-l
y¡»= y‘t- py*t-i et vit = v‘t - pv’t_,
avec
IV ESTIMATION DU MODELE : CAS OU LES VARIABLES EXOGENES
SONT PUREMENT EXOGENES
Nous allons utiliser les conditions d’orthogonalité présentées ci-dessus pour estimer les
paramètres du modèle.
4.1 LA METHODE DE LIVIATAN
4.1.1 PRESENTATION DE LA METHODE SIMPLE : CAS OU H=3
Tous les estimateurs sous cette condition sont égaux à l’estimateur simple.
Cette méthode en plusieurs étapes se présente comme suit :
ETAPE 1
Estimer le modèle en utilisant la technique proposée par LIVIATAN.
Cet auteur propose d'utiliser une variable exogène retardée comme instrument pour yü_v
Prenons pour simplifier
. Les autres variables étant leurs propres instruments.
La matrice d'instruments s'écrit donc :
X , Sr z,)
Cette matrice est d’ordre (Tx3).
(4.1)
L'estimateur de LIVIATAN I simple s’écrit en utilisant xit_x comme instrument pour yt., :
Ô1L-Ô
PIL- P
ÎlL -^
ix;.,vw
i=l
N
IX
X,
i=l
i=l
N
Xx-x,
i=l
fx ;.^
i=l
Îx;sTz,
i=l
ÍU stYí., Î>SX, fzfs;sT
_i=l
i=l
i=l
-1
¿XUia^ +V,)
i=l
¿X'ía^ +V,)
(4.2)
i=l
iz^ ia^ + Y )
_i=l
Cet estimateur est convergent car nous avons par hypothèse supposé l'indépendance des
variables exogènes et des erreurs. Cette indépendance est capitale pour utiliser cette méthode.
9
Nous avons donc :
X i ( V * , + ^ ) ' '0'
i N
Plim-‘— Y X'(STa,+V ,) = 0
J v rif
z,ST(SjCC; + V^)_ 0
(4.3)
D’où
.......
’L - S
"o'
PlimL -P
NT
(4.4)
0
0
i
r
?
1
=
Cet estimateur est convergent et suit asymptotiquement une loi normale.
-1
(4.5)
VN((p1L- < p ) - ^ - > N 0; Plimf— ¿R fA jl Ï — ¿ R ^ R i Y — ÎR 'A ;
w - A n T w ‘ M n t ÎÎ 1 ‘A n T w
ETAPE 2
Soit
(4.6)
ûit = a; + vit - (S- ôjyit_j - (¡3- p)xit + ( i - «IïJzj
le résidu de cette régression.
L’estimateur du coefficient d’autocorrélation suivant proposé dans le cadre des séries
temporelles n’est malheureusement pas un estimateur convergent de ce paramètre.
N
T
E X û itûit_,
or — j-iNT..
(4.7)
E lû t,
i=l t=2
La méthode qui permet d’obtenir une estimation convergente de p est celle proposée par
BALTAGI et LI (1994).
A partir des résidus des variables instrumentales (4.6), calculer les quantités suivantes :
N
_
*¿0 ~
T
1=1 t - 2
N
i= l
N
X"''
ao
_ 1 ri —
A>
~
T
T
a.
_______
N T
t=2
N
/s.
T
X~^ X.1^ ^
f) —
'>>¿'2
1=1 t - 2________
N T
i=l
t-2
Estimer ensuite p par :
(4.8)
p = Qi Q
Qo~~Q\
Nous proposons d’écrire cet estimateur plus simplement comme suit :
N
T
5 = _ i= l_t= 3_
r
(4.9)
NT
i=l t=3
10
De façon générale, cet estimateur convergent de p s’écrit :
N
T
5 _ _M_t=3_
NT
r
X Z ( Ûit-q -ÛH-p)ûit-
(4.10)
i—1 t=3
avec
q=p-l
ets= p+ l
4.1.2 PRESENTATION GENERALE DE LA METHODE DE LIVIATANI:
CAS OU H>3
Nous avons supposé par hypothèse que toutes les variables explicatives sont strictement ou
doublement exogènes c’est-à-dire qu’elles sont indépendantes des erreurs.
LIVIATAN propose d’utiliser une variable exogène retardée comme instrument pour la variable
endogène retardée.
Lorsque H>3, la présentation de la matrice d’instruments est assez complexe. Nous allons
commencer par un exemple pour montrer comment élaborer cette matrice en posant T=4.
Le modèle s’écrit pour un individu :
’yi2" ’y« X i2
yi3 = yi2 Xi2
_yi4_ _yi3 (3X3)
Xi2
Zi
'8'
Zi
P
Zi
(3X1)
A
■ < X i + v i 2'
+ a i + V i3
_
«i+Vi4
(3X1)
(4.11)
(3X1)
Analysons à présent le problème de façon exhaustive pour chaque période.
Pour t=2, nous aurons :
yi2 = 5yii + Pxi2+<|)zi + a i + v i2
(4.12)
xu est un instrument valide pour yn, les variables exogènes étant leurs propres instruments.
Le vecteur d’instruments est alors donné par :
R i 2 = ( x ii , x i 2, z i )
(4.13)
Pour t=3, nous aurons
yi3 = ô y i2 + p x i3 + ( l » z i + a i + v i3
(4.14)
xu et xi2 sont des instruments valides pour yi2.
Le nouveau vecteur d’instruments est alors donné par :
R i3 = ( X i l . X i 2 , X i3, Z i )
(4.15)
Pour T=4, le vecteur d’instruments est donné par :
R i4 — ( Xi l ’ Xi2’ X i3’ Xi4’ Zi)
(4.16)
Pour T=4, la matrice complète d’instruments s’écrit :
11
xil
R¡4 — 0
(3X12)
0
0
0
0
0
0
0 zi 0 0
X¡2 0
0
0 Xi3 0 0 Z¡ 0
xil 0 X¡2 0
0 xil 0 X¡2 Xi3 0
0 Xi4 0 0 Z¡
(4.17)
Pour la période T, le vecteur d’instruments s’écrit :
R iT
(4.18)
= (XiPXi2>-">XiT-l>XiT,Zi)
F
II
La matrice complète d’instruments s’écrit pour un individu donné
(T-1)X(T+4)(T_1)]
2
J
_xil 0 • • 0 0 - •• 0 ••• Xi2 0 •••
0 Xil ••• 0 Xi2 •
:
•• 0 Xi3 •••
•. o ; '
•
:
:
0
0 ••• x i. 0 • X¡2 ••• 0
0 •••
••• 0 zi ... 0 ‘
••• : o
:
•*• •
, *** •
... xiT 0 ... z¡_
(4.19)
Cette matrice contient pour chaque période les instruments potentiels.
REMARQUES
1°) Contrairement au modèle dynamique sans autocorrélation, ici, aucune variable endogène
retardée ou non ne peut être utilisée comme instrument car elles sont toutes corrélées avec vit.
2°) La formulation de cette matrice est proche de celle de AMEMIYA-MaCURDY(1986).
Pour l’ensemble des individus, la matrice complète des instruments s’écrit:
(4.20)
^•ÎL = (R11L’R12L’"'*R1Nl )
Considérons le modèle pour l’ensemble des individus et prémultiplions-le par la matrice
d’instruments.
r ; l y = ô rîlY .,+ p r;l x + <(>r:l (in ® sT)z + r ; l u
(4.21)
La matrice des variances-covariances des erreurs du modèle transformé s’écrit :
v ( r ;lu ) = r ;l£í rM
,L
(4.22)
Appliquons à présent les MCG sur ce modèle. L’estimateur des variables instrumentales
généralisées obtenu s’écrit :
< iw = [M'R1L(R;LaR,L)"1R;LM]‘ 1M,R 1L(R;1aR 1L)R;LY
soit
"
N
9 lGIV ~
i=l
<
/
N
-1 N
N
r 1N
y ^ R liL ^ R liL
'^i—
1
>1
S X
i=l
m
,
í
N
Z M^,ÍL Z
i=l
u=i
(4.23)
\
r*
2 r .ü.
y
i=l
et sa variance asymptotique est donnée par
-1
Vâs((pLGrv) = Plim
nT
¿ m 'R,u. ] [ n t ¿ r ;«-s r “l ) ( n t S R I ü. H
(4.25)
12
L’estimateur des variables instrumentales généralisées à la WHITE.H(1984) est donné par :
^PwGIVL —
i-i
M/Q-1R1L(R[L£2'1R1L)~ R ^ M j M'î 2-1R1l(R[lQ_1R il)r 1'lî 2"1Y
(4.26)
soit
^
^PwGIVL =
i=l
,i=l
N
N
R liL^ R 1îl1
R liL^
M,
i=l
(4.27)
V-l
J
i* l
^
i-l
et sa variance asymptotique est donnée par :
V a s ( ( p WGrvL) —
( 11 N
V 1 N
YV 1 N
Plim ——Ÿ
— Y r' ^
y m ^R ül — Ÿ r^ R ü l
NTYtt
Té 1
AnT« 1,l 1<L)
m
,
^
J
(4.28)
Si la matrice des variances-covariances n’est pas connue, elle doit être estimée dans une
première étape avant d’appliquer les deux méthodes ci-dessus.
Nous proposons de procéder comme suit pour obtenir les éléments qui composent cette
matrice des variances-covariances.
ETAPE I
Estimer le modèle par les doubles moindres carrés.
(4.29)
Vl = [m ’Pr,1M]” m ' p Rily
ou
Pr„ = R il(RilR il) R il
Soient 5, p et <j) les estimateurs compris dans cpL. Ils sont tous convergents.
EIAFEJL
Estimer ensuite les autres paramètres comme suit :
r•i _
1 -P 2
<*£ = N ( T - 1 ) - 3| { ( Y'
_ ib t*’ Î S t) (Y‘
"fc - ^ )
-T(ÿ, —Sÿ,_, —px, —0Zj) }
(4.30)
(4.31)
Soit ëit l’erreur obtenue en appliquant les doubles moindres carrés sur le modèle.
êit = y« “ (8 - ô)yit_, - (p - p )x it - (<j>-
(4.32)
Estimer ensuite p en procédant comme en (4.9) en remplaçant ut par eit.
13
Dans les expressions des estimateurs des variables instrumentales généralisées remplacer Q.
par Ù.
4.2 LA METHODE DE BALESTRA-NERLOVE
4.2.1 LE PRINCIPE DE LA METHODE : CAS OU H=3
En partant de la condition d’orthogonalité proposée par ces auteurs et que nous avons présenté
en (3.24), nous avons la matrice d’instruments suivante :
(4.33)
R™ =(*,., X.Z.S,)
et l’estimateur de BALESTRA-NERLOVE simple s’écrit :
N
«p*«
6jîN 6
P bn —ß
^BN-^
-1
A
i t - x .
ï w
i=l
Î x x ,
i=l
Ix p i,
i=l
N
i ^ x ,
i—
1
_i=l
¿ Ÿ i'-,(«IST+V,)
i=l
X Ÿ '-iV i
i=l
X x^ S
i=l
i=l
(4.34)
t + v ,)
¿ z ,S i( a ,S T+ V,)
_i=l
I z j STST
i=l
Cet estimateur est convergent et suit asymptotiquement une loi normale.
VN(9 bn- ( p) - ^ N | 0 ;
V1
t jt Î R m M,
pW
n,t-*~\NT i=i
J ( NT
S
R»n<£R bn'
X
-1
NT S R=n,M‘
(4.35)
Soit
Ûi = a sST+V, -M '( â>bn -(p)
(4.36)
estimer ensuite p comme en (4.9)
X X ( û it- û it_,)ûit_2
(4.37)
i=l t=3
L’instrument utilisé pour yit_, à savoir ÿit_, n’est pas corrélé avec xit.
Nous proposons d’utiliser ÿit au lieu de ÿit_, comme instrument pour la variable endogène
retardée.
Cela nous amène à détailler le problème pour dégager l’ensemble des instruments valides pour
chaque période.
4.2.2
PRESENTATION GENERALE DE LA METHODE DE BALESTRANERLOVE (CAS OU H>3)
Analysons à présent le problème de façon exhaustive pour chaque période.
Pour t=2, nous aurons :
y a = 8yil+ßx;2 + <j>zi + a i + v i2
(4.38)
14
Le vecteur d’instruments pour cette période est :
(4.39)
R i2BN = ( ÿ i l . ÿ i2»Xi2 .Z i )
Pour la période t=T, le vecteur d’instruments est défini par :
(4.40)
R îtbn = (ÿ îi» y i2 » **'» Yrr»x ît »z î )
La matrice complète d’instruments pour un individu en procédant comme pour les estimateurs
de LIVIATANI est définie par :
R iBN
[(T. 1)X(Zz 1KT±6)1
...
0
ÿ ii
0
;
ÿu
0
0
o
0
•••
ÿü
y ,2
0
0
ÿi2
:
0
0
...
o
0
:
•••
0
•••
0
:
0
ÿi2 ••• ÿiT
...
0
0
•
...
:
o
0
••• xiT 0
X i2
Zi 0
0 Zi
• •
•. 0
0 •• z
(4.41)
Cette matrice contient pour chaque période les instruments potentiels.
Pour l’ensemble des individus, la matrice complète des instruments s’écrit :
(4.42)
R bn = ( R ib n ’ R 2b n » '" » R n b n )
L’estimateur des variables instrumentales généralisées simple obtenu s’écrit :
9 bngi
= [m Rbn(Rbn£2Rbn) Rbnm] M,Rbn(Rbn£2Rbn)RbnY
(4.43)
et sa variance asymptotique est définie par :
1
Vas(cpBNGi ) —
N
Plim
(4.44)
plim l i F i RéNM,
™1 ¡=1
L’estimateur issu de la transformation suggérée par WHITE est défini par :
N
9BNG2
(
N
=
>_1 N
-i
^iBN
i=l
\i = l
>
i=l
N
/^ N
\ -1 N
i=l
'<i=l
(4.45)
^ ^iBN^ ^iBN
)
i=l
et sa variance asymptotique est donnée par :
-1
Vas((pBNG2) =
(4.46)
REMARQUE
Si la matrice des variances-covariances n’est pas connue, elle doit être estimée dans une
première étape. Pour ce faire, il suffit de procéder comme pour l’estimateur de LIVIATAN I.
15
V ESTIMATION DU MODELE: CAS OU LA VARIABLE Z, EST CORRELEE
AVEC L’EFFET INDIVIDUEL g,
Dans la section précédente, nous avons supposé que les variables explicatives étaient purement
exogènes.
Malheureusement, il peut arriver que l’effet aléatoire individuel soit coirélé avec la variable
explicative zr Dans cette situation, pour obtenir des estimateurs convergents, il suffit d’éliminer
cette variable en travaillant sur un modèle en différences premières.
Soit H la matrice ((T-l)XT) des différences premières.
'-1
0
H= 0
•
1
-1
\
...
0
0
1
-1
0
... 0'
•
•t
1
-1
(5.1)
0
0
1
Posons :
(5.2)
H = In ®H
Transformons le modèle en le multipliant par H .
(5.3)
HY = HM<p + HU
L’élément typique de cette expression s’écrit :
(ya - yu-i ) = s(yit-i - y* -2 )+P(xu-
xi.-i)+K - vu-i)
(5.4)
soit
(5.5)
y*it =ÔyVi +PX*. +v*u
où
v*it =vit - vit.j est un MA(1) à racine unitaire.
Le modèle en différences premières supprime zt et a,.
La matrice des variances-covariances de ce nouveau modèle s’écrit :
(5.6)
E(V *' y *) = Og(lN® £*)
ou
2
-(1 -p )
- p ( l- p )
a
[(T-2)X(T-2)]
-(1 -p )
2
-(1 -p )
- p T- 3( l - p )
- p ( l- p )
-(1 -P )
1+ P
-P T"3(1 -P )
- p ( l-p )
-(1 -p )
-P d -P )
-(1 -P )
2
(5.7)
REMARQUE
Cette matrice est une généralisation de la matrice des variances-covariances des modèles en
différences premières. En effet, si nous posons p=0, nous retrouvons la matrice simple
présentée par ARELLANO.M et BOND.S (1991).
16
A partir du nouveau modèle, nous allons appliquer la technique de LIVIATAN. Nous
qualifierons cette méthode de méthode de LIVIATAN II. Les variables xit étant indépendantes
des erreurs, elles peuvent donc être utilisées comme instruments.
5.1. PRESENTATION DE LA METHODE DE LIVIATAN II SIMPLE
Estimer les paramètres ô et P par la méthode des variables instrumentales en utilisant les
instruments de LIVIATAN c’est-à-dire, prendre x*t_j comme instrument pour y*_r
Le vecteur d’instruments s’écrit alors :
(5.8)
R*t = (x‘t-i **«)
L’estimateur de LIVIATAN II simple s’écrit alors
N
L2
8
i=l
N
-1
r*
N
N
I x w X*
N
'
N
(5.9)
'
lx*v*
. ¡=1
i=l
Cet estimateur est convergent.
En effet, nous avons :
Y Y v*
i-1 ï i - l
i=l
PlimN
'
NT I K Y-_,
. i=l
'
i=l
i=l
'
L i=i
Plim-
*
IX* Y*, IX* X*
IÂ 2-P .
'N
'
z x ;.,yw xxwx,
'
* Y
V Y*
i-1 A i
i=l
N
= a;
'
(3(2-6)
S X - X-
-P
-1
(5.10)
2.
i=l
'
xx;., v*
N
'
IX* v*
i=l
NT
(5.11)
. i=l
La variance asymptotique de cet estimateur est donnée par
Vas(\j/L2) =
soit
Î
i
N
n
/
V
1/
y :Y
— Ÿ r * M*
n t£
-1
— Y R* Z*R* — Y R* M*
i
N
N
'
1 ') [ m t i
K = vÛ- (8 - 8)y’«-i - (P - P)xÛ
Y
1
N
'
^
(5-12)
'A NTÎr
(5.13)
Nous proposons d’estimer le coefficient d’autocorrélation dans le nouveau modèle de deux
manières :
N
T
^*
2 ,2 ,v
ôH= i=i
t=3
NT
2 , 2 . vitvit-i
(5.14)
i—1 t=3
p = 2r + l
(5.15)
avec
17
N T
Z IV w
r = izî r T ------~*2
V.
XI
(5-16)
v it
i=l t=3
De façon générale nous avons
N
T
'V"'' /v *
yv*
2 , 2 , Vit-qVi.-S
P = W ---------X -'' ^ ♦
a
(5.17)
*
i=l t=3
N T
/V*
/V*
V. p
S I v V.; t_sv*t.
-p
>• = ^
1
-----------
(5-18)
U v u 2.
i=l t=3
avec
q=p- let s=p+ 1
5.2
ESTIMATEUR GENERALISE DE LIVIATANII
(CAS OU H>3)
Comme pour la méthode de LIVIATAN I, c’est par un exemple que nous commencerons car
l’élaboration de la matrice d’instruments est assez fastudieuse.
Pour ce faire, nous allons analyser de façon détaillée le problème pour dégager l’ensemble des
instruments valides pour chaque période en posant T=4.
Pour t=2, nous avons :
(yi2- y i3) = S(y;i - y i0) + P(xi2- x n) + (vi2 - v u)
(5.19)
Pour cette période les variablesxip x*2 sont des instruments valides pour (yi2 - y ü). Elles ne
sont pas corrélées avec (v i2 - vü). x*2 est son propre instrument.
Le vecteur d’instrument pour cette période est :
Kl
= ( x ii>x *2’ x i2)
(5.20)
Pour t=3
(y ¡3 - y ¡2) = s(yi2 - y J + P ^ - xi2) + ( v i3 - vit2)
(5 .2 1)
Pour cette période, les variablesxü, xi2, xi3, xi2- x ü, xi3- x i2 sont des instruments valides.
Elles ne sont pas corrélées avec (vi3- v i2) mais seules xu, xi2, xi2 - x ü,xi3 - x i2 sont
corrélées avec (yi2 - yu). Nous ne garderons que ces dernières comme instruments pour cette
période. Le vecteur d’instruments pour cette période est alors :
R *2 = ( XiPXi2>Xi2.Xi3’ Xi3)
(5-22)
Pour t=4 les variablesxn, xi2, xi3, xi2- x u, xi3 - x i2,xi4 - x i3 sont des instruments valides
pour la variable endogène retardée et le vecteur d’instruments est :
R i2 = ( XiPXi2’ Xi3>Xi2>X*3>Xi4’ Xi4)
(5-23)
18
La matrice complète d’instruments pour un individu est :
o
0
0
o
o
=
0
1*
r;
(3X15)
0
0
xu 0 x12 0
0 xu 0 xi2
0
0
0
0
0
0
X*2 0 x’3 0
0 x*2 0 X*3 X*4
x ,3
0
0
x*2
Xi2
0
0
Xi3
0
0
0'
0
x*4_
(5.24)
Pour t=T, les instruments valides pour la variable endogène retardée sont : x,„ xi2 ,
xi2,---,xiT.
La matrice d’instruments général s’écrit alors :
...
*
xu
X >1
R iL
0
0
;
.)]
0
•••
0
0
o
• ..
o
-
• ..............
0
:
••• •..............
••• •..............
:
#
X i2
;
0
xit
\
•"
0
0
X i2
-
•
• ••
4
0
•
0
:
••
X iT—1
0
•••
0
:
0
XiT-l’
X i2
...
(
...
(
•••
X
0
:
:
0
4 -1
(5.25)
Pour l’ensemble des individus, la matrice d’instruments est :
r*
(5.26)
= ( r ;l, r ; l, - , r ^ )
L’estimateur des variables instrumentales généralisées simple de Liviatan II est alors donné par :
/
N
(
VL2 — I M I
N
\ ~l
!
2 X
¿ R i ï ’R'o.
U= 1
J
i= l
-1 N
N
m;
(
/
i=l
i=l
N
X X Rl X X
r
r 1n
X X *
>
ï -r ;l
>1
\i= l
(5.27)
i= l
et sa variance asymptotique est définie par :
-1
v as(VL2) =
(5.28)
plK ï ï ? l M''RiI ï ïF lRi'ii;RiJ'(ïïF lRÏM'
L’estimateur obtenu en rendant le modèle sphérique comme le suggère WHITE.H (1984) est
défini par :
-i
\
A
V w G IV L 2 =
N
i M
i=l
(
'
- a
N
r x
-1 N
'
Î X
Vi=l
.
I R
i=l
j
^
M
*
(5.29)
N
x £ m *o
i=l
r x j ¿ R i n*RL ] S
\i= l
o r r
i=l
et sa variance asymptotique est donnée par :
-1
Vas(ÿL2) =
piK ^ I M 'n r R L I ^ I RL,ar,R0 " f e l R W ‘
'M : )
(5.30)
19
REMARQUE
Si la matrice des variances-covariances n’est pas connue, nous proposons d’estimer les
éléments qui la composent comme suit :
ETAPE 1
Estimer le modèle en utilisant la méthode des variables instrumentales simples ou des doubles
moindres carrés.
Pour la méthode simple nous obtenons :
v
=î|
x
'm :1 i x V
(5-3 i>
V
i=i
J
Soit v*t = y*t - m*ty Terreur calculée de cette régression.
ETAPE 2
2
.
Estimer alors p comme précédemment par (5.14) ou (5.15) et <7e comme suit:
/
^ = T ^ f n^
2 ^ î y ’ _ m *ÿ > iYl* ~ Mr* )
(5-32)
Remplacer ensuite dans les expressions des estimateurs les éléments inconnus par leurs
estimateurs pour obtenir les estimateurs des variables instrumentales généralisées réalisables.
CONCLUSION
La prise en compte de l’autocorrélation dans les modèles dynamiques à erreurs composées est
assez récente. Elle montre cependant qu’il faut définir d’autres conditions d’orthogonalité car
seules quelques conditions basées en général sur l’exogéneité des variables explicatives peuvent
être utilisées pour estimer les paramètres du modèle par la méthode des variables instrumentales.
Ces conditions d’orthogonalité peuvent être divisées en deux familles.
La première est celle des conditions qui s’appliquent au modèle sans transformation. Pour cette
famille le coefficient d’autocorrélation est estimée de façon convergente par la méthode de
Baltagi et Li que nous avons ensuite généralisée.
La deuxième famille est celle des conditions qui s’appliquent au modèle en différence première.
Pour cette famille le coefficient d’autocorrélation est estimée de façon convergente par les
méthodes que nous avons présentées dans ce travail.
20
i=i
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21