REPRÉSENTATIONS GALOISIENNES l

REPR´ ESENTATIONS GALOISIENNES -ADIQUES ET -IND´ EPENDANCE
M2 AAG - PARIS 11, 2014-15
1. Introduction
Etant donn´e un corps kde caract´eristique p≥0, on supposera fix´ees des clotures s´eparable et alg´ebrique
k →ks→kde ket on notera Γk:= Gal(ks|k) son groupe de Galois absolu.
Fixons aussi un ensemble infini Lde nombres premiers ne contenant pas pet un Q-espace vectoriel Vde Q-
dimension finie r. Notons V`:= V⊗QQ`,∈L. Les objets auxquels nous allons nous int´eresser dans ce cours sont
les syst`emes de repr´esentations -adiques de Γki.e. les familles de morphismes continus de groupes topologiques
ρ`: Γk→GL(V`),  ∈L
v´erifiant certaines contraintes. Ici, Γkest implicitement muni de sa topologie profinie et GL(V`) de la topologie
analytique -adique (cf. Appendice 9).
Remarque 1. Plus g´en´eralement, on pourrait consid´erer des repr´esentations `a valeur dans G(Q`), o`u Gest un
groupe alg´ebrique sur Q. Mais nous n’aurons pas besoin de ce point de vue plus g´en´eral avant le Chapitre 4 donc,
pour l’instant, nous n’en parlerons pas.
En fait, les exemples que nous aurons `a l’esprit et qui dicteront les contraintes que nous allons imposer sont les
repr´esentations ’motiviques’ i.e. de la forme
ρ`: Γk→GL(Hi(Yk,Q`)),
o`u Yest un sch´ema projectif (propre suffirait) et lisse sur ket Hi(Yk,Q`) = Hi(Yk,Z`)⊗Z`Q`, o`u
Hi(Yk,Z`) := lim
←− Hi(Yk,Z`/n).
Ici, Hi(Yk,Z`/n) est le groupe de cohomologie ´etale `a coefficients dans Z`/nde Yk. Nous ´enoncerons (en les
admettant) un certain nombre de propri´et´es (r´eellement profondes) concernant la cohomologie -adique et ceux
sont elles qui d´efiniront ‘l’axiomatique’ que l’on exposera dans la partie 4.
R´ef.: [T94], [Mi80] et la bible: [SGA1, 4,41
2, 5, 7].
INTERLUDE 1: Fonctorialit´e en cohomologie ´etale
Voici deux cas particuliers importants et relativement explicites de ce type de repr´esentations. Il suffira en g´en´eral
d’avoir ces exemples en tˆete.
Exemple 2. Twists de Tate: Pour tout premier 6=p, notons
Gm[n] = ker([n] : Gm,k →Gm,k).
On sait que Gm[n]→spec(k) est un sch´ema en groupe ´etale de degr´e navec Gm[n](¯ k)'Z/net Γkagit donc
sur Gm[n](¯ k) par automorphisme de Z/-module. En outre, la multiplication par sur Gm,k induit une structure
de syst`eme projectif (:Gm[n+1]→Gm[n]), compatible `a l’action de Γk. On en d´eduit une action continue de
Γkpar automorphisme de Z`-modules sur
T`(Gm) := lim
←− Gm[n](k)'Z`.
Concr`etement le Γk-module Gm[n](¯ k) est le Γk-module Z/n(1) := µ`ndes ra¸cines n-i`eme de l’unit´e dans ket
on ´ecrit Z`(1) := T`(Gm,k). Si on choisit un syst`eme compatible (ζ`n) de ra¸cines primitives n-i`emes de l’unit´e
dans ket que l’on d´efinit χ`∞: Γk→Z×
`par χ`∞(σ)=(χ`n(σ))navec χ`n(σ)∈(Z/n)×tel que σ(ζ`n) = ζχ`n(σ) `n
Date: Version du 3/2/2015.
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alors Z`(1) est le Γk-module Z`muni de l’action d´efinie par σ·1 = χ`∞(σ)1, σ∈Γk. On dit queχ`∞: Γk→Z×
`
est le caract`ere cyclotomique -adique de Γk; il est d´efini uniquement `a multiplication par un ´el´ement de Z×
`pr`es.
Plus g´en´eralement, on note Z`(n) = Z`(1)⊗nsi n∈Z≥0et Z`(n) = HomZ`(Z`(−n),Z`) si n∈Z≤0. Si Hest un
Z`-module de de type fini muni d’une action continue de Γk, on note H(n) := H⊗Z`Z`(n) et on dit que c’est le
n-i`eme twist de Tate de H.
On peut montrer que
Z`(1) = Hom(H2(P1
k,Z`),Z`)
comme Γk-modules.
Exemple 3. Vari´et´es ab´eliennes (R´ef.: [GM15], [M70], [Mi86]): Soit Aune vari´et´e ab´elienne de dimension g
sur ket, pour tout premier 6=p, notons notons
A[n] := ker([n] : A→A).
On sait encore que A[n]→spec(k) est un sch´ema en groupe ´etale tel que A[n](¯ k)'(Z/n)2get donc que Γkagit
sur A[n](¯ k) par automorphismes de Z/-module. En outre, la multiplication par sur Ainduit une structure de
syst`eme projectif (:A[n+1]→A[n]) compatible `a l’action de Γk. On en d´eduit une action continue de Γkpar
automorphismes de Z`-module sur
T`(A) := lim
←− A[n](k)'Z2g
`.
On notera aussi V`(A) := T`(A)⊗Z`Q`'Q2g
`. En fait, on a (dualit´e de Cartier et pairing de Weil)
H1(Ak,Z`) = Hom(π1(Ak),Z`) = Hom(Z`(1), T`(A∨)) = T`(A∨)(−1) = Hom(T`(A),Z`)
et
Hi(Ak,Z`)=ΛiH1(Ak,Z`), i ≥1.
PLAN INDICATIF DU COURS
(sera pr´ecis´e au fur et `a mesure)
Pr´erequis: th´eorie alg´ebrique des nombres (th´eorie de Galois, th´eorie de la ramification, corps locaux et globaux),
groupes finis et profinis, groupes alg´ebriques.
Chapitre 1: Structure de l’image, propri´et´es de -ind´ependance, r´eduction au cas des corps de nombres, mise en
place de l’axiomatique de ramification dict´ee par les syst`emes de repr´esentations motiviques -adiques [finitude du
lieu de ramification, rationnalit´e, compatibilit´e, propri´et´e Hodge-Tate], l’hypoth`ese de semisimplicit´e et premiers
exemples de r´esultats de -ind´ependance.
Chapitre 1 - Interludes:
- Groupes de Lie -adiques.
- Fonctorialit´e en cohomologie ´etale et action de Galois.
- Groupe fondamental ´etale.
- Th´eor`emes de densit´e de Cebotarev (notamment versions -adiques).
Chapitre 2: -ind´ependance du rang r´eductif et du groupe des composantes connexes.
Chapitre 2 - Interludes:
- Autour des tores.
Chapitre 3: Repr´esentations ab´eliennes -adiques, repr´esentations localement alg´ebriques et Hodge-Tate. -
ind´ependance du rang semisimple.
Chapitre 3 - Interludes:
- Th´eorie du corps de classes.

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Chapitre 4: Th´eorie des motifs purs. Conjectures standard. Conjectures de pl´enitude et de semisimplicit´e (Hodge
et Tate). Preuve motivique de l’hypoth`ese de Riemann.
Chapitre 4 - Interludes:
- Cohomologies de Weil.
- Cat´egories tannakiennes.
Chapitre 5: Compl´ements.
R´ef´erences principales: [S68a], [S81b], [S81c] (Chapitres 1-3), [An06] (Chapitre 4).
Contents
1. Introduction 1
2. Image et propri´et´es de -ind´ependance 4
2.1. Groupes profinis 5
2.2. Rigidification 5
3. Le corps de base k7
3.1. Un th´eor`eme de sp´ecialisation 7
3.2. Applications aux syst`emes de repr´esentations -adiques motiviques 9
4. Propri´et´es axiomatiques des donn´ees de ramification 9
4.1. Rappels de th´eorie de la ramification; notations 9
4.2. v∈Σk\Σk,` 12
4.3. Places de Σk,`: condition Hodge-Tate 16
4.4. Synth`ese 18
5. Semisimplicit´e - premiers r´esultats de -ind´ependance 18
5.1. Semisimplification 18
5.2. Un premier r´esultat de -ind´ependance 20
6. L’application polynome caract´eristique 21
7. Appendice: Rappels sur la structure des groupes alg´ebriques 21
7.1. D´efinition, propri´et´es ´el´ementaires 21
7.2. Repr´esentations lin´eaires 22
7.3. Quotients 23
7.4. D´evissage 23
8. 27
9. Appendice: Groupes de Lie -adiques 27
9.1. Definitions 27
9.2. Pro--groupes uniformes 27
10. Appendice: Groupe fondamental ´etale 29
11. Appendice: Fonctoriali´e en cohomologie ´etale et action de Galois 31
11.1. Fonctorialit´e en cohomologie ´etale 31
11.2. Cohomologie 31
11.3. Action de Galois par ’transport de structure’ 32
12. Appendice: Th´eor`eme de densit´e de Cebotarev 33
References 34
Chapitre 1: g´en´eralit´es, mise en place de l’axiomatique de ramification

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2. Image et propri´ et´ es de -ind´ ependance
Le fait que les repr´esentations que nous consid´erons soient continues va assurer que les images G`:= ρ`(Γk)⊂
GL(V`), ∈Lont des propri´et´es de structure remarquables. La topologie du corps des coefficients joue un rˆole
pr´epond´erant. Si au lieu de GLr(Q`) avec la topologie -adique on consid`ere GLr(C), avec sa topologie analytique,
il y a beaucoup moins de repr´esentations, comme le montre:
Exercice 4. Montrer que, si l’on munit Γkde la topologie profinie et GLr(C)de la topologie analytique complexe,
toute repr´esentation continue ρ: Γk→GLr(C)est d’image finie.
C’est une cons´equence du fait que GLr(C)n’admet pas de sous-groupes arbitrairement petits pour la topologie
analytique complexe i.e. il existe un voisinage ouvert Vde 1dans GLr(C)tel que le seul sous-groupe de GLr(C)
contenu dans Vsoit 1. En effet, rappelons que l’exponentielle de matrice induit un hom´eomorphisme exp :U0˜→V1
d’un voisinage ouvert compact U0de 0dans Mr(C)sur un voisinage ouvert V1de 1dans GLr(C). Notons U:= 1
2U0
et V:= exp(U). Montrons que Vconvient. En effet, soit 16=M∈U. Comme U0est compact, il existe n≥1tel
que nM ∈Uet (n+1)M∈U0\U. Comme exp :U0˜→V1est un hom´eomorphisme, on a alors exp(M)n+1 ∈V1\V.
Donc Vne contient pas de sous-groupes arbitrairement petits. Mais si ρ: Γk→GLr(C)est continue, ρ−1(V)⊂Γk
contient un sous-groupe ouvert donc en particulier d’indice fini qui est, d’apr`es ce qu’on vient de voir, contenu
dans ker(ρ).
Voici une autre remarque, ´el´ementaire mais utile.
Exercice 5. Soit Gun sous-groupe compact de GLr(Q`). Montrer que Gest GLr(Q`)-conjugu´e `a un sous-groupe
de GLr(Z`). (Cela montre en particulier que tout sous-groupe compact de GLr(Q`)est profini comme sous-groupe
ferm´e du groupe profini
GLr(Z`) = lim
←− GLr(Z/n).)
Notons T`:= Zr
`⊂V`:= Qr `le Z`-r´eseau standard de Qr `. Comme T`⊂V`est ouvert, le sous-groupe S:=
StabG(T`)⊂Gest lui-aussi ouvert (c’est l’image inverse de Tr
`⊂Vr `par l’application continue G→Vr `,g→
(ge1, . . . , ger)) donc ρ−1(S)⊂Γkest aussi un sous-groupe ouvert. Comme Gest compact S⊂Gest d’indice fini
(´ecrire G=tg∈G/S gS). On peut donc introduire le Z`-r´eseau
˜
T`:= X
g∈G/S
gT`
qui, lui, est G-stable. En particulier, Gs’identifie `a un sous-groupe ferm´e de StabGLV`(˜ T`)'GLr(Z`).
On peut appliquer l’observation de l’Exercice 5 aux groupes G`. Fixons nous une Q`-base de V`i.e. un isomorphisme
GL(V`)'GLr(Q`). Comme Γkest profini donc compact, que GLr(Q`) est s´epar´e et que ρ: Γk→GLr(Q`) est
continue G`⊂GLr(Q`) est un sous-groupe compact donc il existe g∈GLr(Q`) tel que gG`g−1⊂GLr(Z`) et,
quitte `a remplacer ρpar gρ(−)g−1, on peut supposer que G`⊂GLr(Z`). On peut alors parler de la r´eduction
modulo de ρ
1//1 + Mr(Z`)//GLr(Z`)//GLr(F`)//1
1//G`(1) //
?
OO
G`//
?
OO
G`//
?
OO
1
Cette d´ecomposition met trois sous-probl`emes (le troisi`eme englobant a priori les deux premiers) en ´evidence:
- comparer les groupes G`, qui sont des sous-groupes finis de GLr(F`) avec qui varie mais rfix´e (c’est
important);
- comparer les groupes G`(1), qui sont des pro-sous-groupes de GLr(Z`).
- comparer les groupes G`, qui sont des sous-groupes de GLr(Z`).
Remarque 6. Signalons que la r´eduction modulo telle que nous l’avons introduite n’est pas canonique et d´epend
du r´eseau T`fix´e. Dans les repr´esentations motiviques, on a un r´eseau privil´egi´e, qui est la partie libre du Z`-module
Hi(Yk,Z`)(Hi(Yk,Z`)est d’aileurs libre pour 0). Ce choix peut ˆetre important si on veut obtenir des r´esultats
vraiment fins sur la -ind´ependance des groupes G`.

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2.1. Groupes profinis. On peut ´evidemment s’int´eresser `a des propri´et´es (P) des groupes abstraits comme, par
exemple, ˆetre fini, ab´elien, parfait, nilpotent, r´esoluble etc. ou des propri´et´es (P) des groupes donn´es avec une
repr´esentation lin´eaire de dimension finie comme, par exemple, agir de fa¸con unipotente, irr´eductible, semisimple
etc.. Notons que la donn´ee de la repr´esentation est importante. Par exemple, les groupes
1 + λ0
0 1 , λ ∈Z`,1λ 0 1 , λ ∈Z`0
’se ressemblent’ comme groupes profinis: ils sont isomorphes `a Zppour p=ou 0. Mais, donn´es avec leur
repr´esentation, ils ne se ’ressemblent’ pas du tout: le premier agit de fa¸con semisimple et le second de fa¸con
unipotente. En fait, le point de vue ‘groupe profini’ ou ‘groupe profini avec une repr´esentation lin´eaire de dimension
finie’ est trop na¨ıf pour deux raisons: d’abord, on ne sait pas bien classifier ces objets et il faudrait donc combiner
nombre de propri´et´es pour arriver `a dire pr´ecis´ement que G`⊂GLr(Q`) et G`0⊂GLr(Q`0) se ’ressemblent’.
Ensuite, ce point de vue ne distingue pas clairement certains ’invariants cach´es’ qui apparaissent lorsqu’on ‘rigidifie’
la situation.
2.2. Rigidification. Par ’rigidifier’, on entend associer au groupe G`des invariants classifiables ind´ependemment
de et qui, id´ealement, permettraient de reconstruire G`⊂GLr(Q`).
2.2.1. Deux fa¸cons naturelles de ’rigidifier’.
-Structure de groupe de Lie -adique, lin´earisation
INTERLUDE 2: Groupes de Lie -adiques
Le groupe G`⊂GL(V`) est un sous-groupe compact donc ferm´e de GL(V`); c’est donc automatiquement
un groupe de Lie -adique . Cela permet d’attacher `a G`son alg`ebre de Lie g`:= Lie(G`), qui est une
sous-Q`-alg`ebre de Lie de gl(V`).
-Passage `a l’adh´erence de Zariski. G`est un sous-groupe du groupe des Q`-points du groupe alg´ebrique
GLV`; on peut donc consi´erer l’adh´erence de Zariski G`⊂GLV`de G`dans GLV`. On v´erifie facilement
que G`est alors automatiquement un sous-groupe alg´ebrique de GLV`.
Soit kun corps de caract´eristique 0. La classification des k-alg`ebres de Lie de k-dimension finie et celle des groupes
alg´ebriques sur ksont tr`es proches (R´ef. [H72], [S87],[Bor91], [Bourbaki: Lie], cf. aussi les notes de D. Allcock
https://www.ma.utexas.edu/users/allcock/lag/lag14.pdf). Dans les deux cas, on a des d´evissages:
g⊃R(g)⊃Rn(g)
G ⊃ G◦⊃R(G)⊃Ru(G)
avec
Alg`ebres de Lie
R(g) : rad. (r´esoluble) s:= g/R(g) : quotient semisimple
= plus grand id´eal r´esoluble
g=R(g)os+ unicit´e du scindage (Levi)
Rn(g) : rad. nilpotent r:= g/Rn(g) : quotient r´eductif
=\
V:simple
ker(g→gl(V))
R(g)/Rn(g) = Z(r), [r,r] semisimple
r=Z(r)o[r,r].
Groupes alg´ebriques