colle11

MPSI 1 Semaine d’interrogation no11
du mardi 03 au samedi 07 janvier 2012
Polynˆomes.
1. Construction de l’alg`ebre K[X] des polynˆomes `a une ind´etermin´ee.
– Un polynˆome `a coefficients dans Kest une suite d’´el´ements appartenant `a Ktous
nuls `a partir d’un certain rang.
– D´efinition d’une addition dans l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans K:
P=(ak) , Q = (bk) ´etant deux polynˆomes `a coefficients dans K, nous d´efinissons
la suite not´ee P + Q = (ck) par :
∀k∈N, ck=ak+bk.
Et P + Q est un polynˆome `a coefficients dans K.
Plus pr´ecis´ement, il existe M ∈Ntel que : ∀k > M, ak= 0 et il existe N ∈Ntel
que : ∀k > N, bk= 0,
et alors : ∀k > max{M,N}, ck= 0 .
L’addition est une LCI sur l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans K,
commutative et associative,
admet un ´el´ement neutre `a savoir la suite nulle,
et tout polynˆome P = (ak) `a coefficients dans Kadmet un oppos´e dans l’ensemble
des polynˆomes `a coefficients dans K`a savoir le polynˆome Q = (bk) d´efini par :
∀k∈N, bk=−aket not´e −P .
L’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans Kmuni de l’addition d´efinie ci-dessus
est un groupe commutatif.
– D´efinition d’une multiplication dans l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans
K: P = (ak) , Q = (bk) ´etant deux polynˆomes `a coefficients dans K, nous d´efinissons
la suite not´ee P ×Q = (dk) par :
∀k∈N, dk=
k
X
i=0
ai×bk−i=
k
X
i=0
ak−i×bi.
Et P ×Q est un polynˆome `a coefficients dans K.
Plus pr´ecis´ement, il existe M ∈Ntel que : ∀k > M, ak= 0 et il existe N ∈Ntel
que : ∀k > N, bk= 0,
et alors : ∀k > M+N, dk= 0 .
La multiplication est une LCI sur l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans K,
commutative et associative,
admet un ´el´ement neutre `a savoir la suite (1,0,0, . . .),
et la multiplication est distributive par rapport `a l’addition dans l’ensemble des
polynˆomes `a coefficients dans K.
L’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans Kmuni de l’addition et de la multi-
plication d´efinies ci-dessus est un anneau commutatif.
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– D´efinition d’un produit externe dans l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans
K:
P = (ak) ´etant un polynˆome `a coefficients dans K,λappartenant `a K, nous d´efi-
nissons la suite not´ee λ·P=(ek) par :
∀k∈N, ek=λak.
Et λ·P est un polynˆome `a coefficients dans K.
Plus pr´ecis´ement, il existe M ∈Ntel que : ∀k > M, ak= 0,
et alors : ∀k > M, ek= 0 .
L’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans Kmuni de l’addition, de la multipli-
cation et du produit externe d´efinis ci-dessus est une alg`ebre commutative.
– Notation de l’ind´etermin´ee : X = (0,1,0, . . .) ,
puis notation d´efinitive du polynˆome P = (ak) sous la forme : P = X
k∈N
akXk,
et de l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans K:K[X] .
– Calculs dans K[X] ( comme par exemple la formule du binˆome ).
– Unicit´e de l’´ecriture polynˆomiale : P = X
k∈N
akXket Q = X
k∈N
bkXkappartenant `a
K[X], alors :
P = Q ⇔ ∀k∈N, ak=bk.
2. Degr´e d’un polynˆome et ses cons´equences.
– P = X
k∈N
akXk´etant un polynˆome non nul de K[X], le degr´e de P est le plus grand
entier naturel ntel que an6= 0 , anest appel´e le coefficient dominant de P et se
note cd(P) .
Par convention, le degr´e du polynˆome nul est −∞.
Le degr´e d’un polynˆome P se note deg(P) .
P ´etant un polynˆome non nul de K[X], P est de degr´e net de coefficient dominant
asi et seulement s’il existe un polynˆome Q appartenant `a K[X] de degr´e inf´erieur
ou ´egal `a n−1 tel que :
a6= 0 et P = aXn+ Q.
– deg(P + Q) 6max{deg(P) ,deg(Q)},
et dans le cas particulier o`u deg(P) >deg(Q) :
deg(P + Q) = deg(P) ,cd(P + Q) = cd(P) .
deg(P ×Q) = deg(P) + deg(Q) ,
et das le cas o`u P et Q sont diff´erents du polynˆome nul : cd(P×Q) = cd(P)×cd(Q).
deg(λ·P) 6deg(P) ,
et das le cas o`u λest non nul : deg(λ·P) = deg(P) ,cd(λ·P) = λ·cd(P) .
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– Cons´equences importantes :
– Les polynˆomes inversibles sont les polynˆomes de degr´e 0.
– L’anneau (K[X],+,×) est int`egre,
autrement dit, P et Q appartenant `a K[X] : P ×Q = 0 ⇔P = 0 ou Q = 0 .
– L’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n(n∈N) not´e Kn[X]
est stable par combinaison lin´eaire.
3. Polynˆome d´eriv´e.
– P = X
k∈N
akXkappartenant `a K[X], la suite Q = (bk) d´efinie par :
∀k∈N∗, bk−1=kakou ∀k∈N, bk= (k+ 1)ak+1
appartient `a K[X],
Q est appel´e le polynˆome d´eriv´ee de P et se note P0.
– P ´etant un polynˆome de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 1 : deg(P0) = deg(P) −1,
et P ´etant un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 0 : P0= 0 .
Plus g´en´eralement : deg(P0)6deg(P) −1 .
– (λP + Q)0=λP0+ Q0,(P ×Q)0= P0×Q+P×Q0,
et : (P1×P2×. . . ×Pn)0=
n
X
k=1
P1×P2×. . . ×Pk−1×P0
k×. . . ×Pk−1. . . ×Pn.
P et Q appartenant `a K[X] : P0= Q0⇔ ∃α∈K,P = Q + α.
– D´eriv´ee n`eme d’un polynˆome : d´efinition r´ecursive, notation P(n).
P ´etant un polynˆome de degr´e n:∀k∈J0, nK,deg(P(k)) = deg(P) −k,
et : ∀k∈N, k > n ⇒P(k)= 0 .
Plus g´en´eralement : deg(P(k))6deg(P) −k.
– (λP + Q)(n)=λP(n)+ Q(n),(P ×Q)(n)=
n
X
k=0 n
kP(k)Q(n−k).
4. Polynˆome compos´e.
– D´efinition.
P = X
k∈N
akXk, Q appartenant `a K[X], par d´efinition : P ◦Q = X
k∈N
akQk.
Introduction de la notation P(X) .
– Dans le cas o`u P et Q sont de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 1 :
deg(P ◦Q) = deg(P) ×deg(Q) .
– D´eriv´ee du polynˆome compos´e : (P ◦Q)0= Q0×P0◦Q .
5. Divisibilit´e dans K[X].
– D´efinition : B|A⇔ ∃ Q∈K[X]/A = BQ .
A ´etant un polynˆome non nul de K[X], B un diviseur de A : deg(B) 6deg(A) .
– Propri´et´es usuelles ( identiques `a celles vues dans Z).
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– Polynomes associ´es : A et B sont dits associ´es si et seulement si : A|B et B|A .
Deux polynˆomes associ´es sont de mˆeme degr´e, la r´eciproque est fausse.
Deux polynˆomes A et B sont associ´es si et seulement si il existe λ∈K∗tel que :
B = λA .
Deux polynˆomes unitaires et associ´es sont ´egaux.
– Division euclidienne dans K[X] : A et B appartenant `a K[X], B ´etant distinct du
polynˆome nul, il existe un unique couple (Q,R) tel que :
(A = BQ + R
deg(R) <deg(B) .
B divise A si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.
6. Fonction polynˆome.
– P = X
k∈N
akXkappartenant `a K[X], nous assosions `a P la fonction polynˆomiale not´ee
∼
P : K→Kd´efinie par :
∀x∈K,
∼
P(x) = X
k∈N
akxk.
P appartenant `a R[X] :
∼
P(a) =
∼
P(a) .
– Calcul de la valeur de la fonction polynˆomiale en un point selon diff´erents algo-
rithmes, en particulier l’algorithme de H¨ orner.
– Fonction polynˆome associ´ee `a λP + Q et `a P ×Q.
– Le reste de la division euclidienne de P par X −aest
∼
P(a) .
Par cons´equent, X −a|P si et seulement si
∼
P(a) = 0,
et cas particulier o`u P appartient `a R[X] : X −a|P⇔X−a|P .
aet bappartenant `a Kdistincts :
(X −a)(X −b)|P⇔(X−a|P
X−b|P⇔
∼
P(a) =
∼
P(b) = 0 , g´en´eralisation `a nfacteurs,
et cas particulier o`u P appartient `a R[X] et a`a C−R:
X2−2Re(a)X + |a|2|P⇔
∼
P(a)=0.
Factorisation d’un polynˆome P de degr´e n, de coefficient dominant adont la fonc-
tion polynˆome s’annule en nvaleurs deux `a deux distinctes α1, . . . , αn:
P = a(X −α1)(X −α2). . . (X −αn).
aet bappartenant `a Kdistincts, iet jappartenant `a N:
(X −a)i(X −b)j|P⇔((X −a)i|P
(X −b)j|P, g´en´eralisation `a nfacteurs.
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7. Racine ( ou z´ero ) d’un polynˆome.
– Par d´efinition, aest racine de P si et seulement si
∼
P(a) = 0 .
Et par propri´et´e, aest racine de P si et seulement si X −a|P .
– Un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a nadmettant au moins n+ 1 racines deux
`a deux distinctes est le polynˆome nul.
Par cons´equent, un polynˆome non nul de degr´e inf´erieur ou ´egal `a nadmet au plus
nracines deux `a deux distinctes.
Un polynˆome admettant une infinit´e de racines est le polynˆome nul.
– Deux polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a ndont les fonctions polynˆomes asso-
ci´ees prennent la mˆeme valeur en n+ 1 points deux `a deux distincts sont ´egaux.
Deux polynˆomes dont les fonctions polynˆomes associ´ees prennent la mˆeme valeur
en une infinit´e de points deux `a deux distincts sont ´egaux.
– Et : P = Q ⇔
∼
P =
∼
Q , par cons´equent, nous pouvons «confondre »le polynˆome
P et la fonction polynˆome
∼
P ...
8. Formule de Taylor dans K[X] et ses cons´equences.
– D´emonstration par r´ecurrence sur le degr´e du polynˆome : P = X
k∈N
∼
P(k)(a)
k!(X −a)k.
– Expression du reste de la division euclidienne par (X −a)k.
–
n
X
k=0
λk(X −a)k= 0 ⇔ ∀k∈J0, nK, λk= 0 .
Par cons´equent : (X −a)k|P⇔P(a) = P0(a) = . . . = P(k−1)(a) = 0 ,
Dans le cas particulier o`u P appartenant `a R[X] : (X −a)k|P⇔(X −a)k|P .
aet b´etant distincts :
(X −a)k(X −b)l|P⇔(P(a) = P0(a) = . . . = P(k−1)(a) = 0
P(b) = P0(b) = . . . = P(l−1)(b) = 0 ,
Dans le cas particulier o`u P appartenant `a R[X] et a`a C−R:
(X2−2Re(a)X + |a|2)k|P⇔P(a) = P0(a) = . . . = P(k−1)(a) = 0
9. Racine multiple d’un polynˆome.
– D´efinition : (X −a)kdivise P et (X −a)k+1 ne divise pas P .
aest racine multiple d’ordre kde P si et seulement si : ∃Q∈K[X] ,(P = (X −a)kQ
Q(a)6= 0 .
– Caract´erisation `a l’aide des polynˆomes d´eriv´es :
aest racine multiple d’ordre kde P si et seulement si :
(P(a) = P0(a) = . . . = P(k−1)(a) = 0
P(k)(a)6= 0 .
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