colle11

Semaine d’interrogation no 11
du mardi 03 au samedi 07 janvier 2012
MPSI 1
Polynômes. 1. Construction de l’algèbre K[X] des polynômes à une indéterminée.
– Un polynôme à coefficients dans K est une suite d’éléments appartenant à K tous
nuls à partir d’un certain rang.
– Définition d’une addition dans l’ensemble des polynômes à coefficients dans K :
P = (ak ) , Q = (bk ) étant deux polynômes à coefficients dans K, nous définissons
la suite notée P + Q = (ck ) par :
∀k ∈ N , ck = ak + bk .
Et P + Q est un polynôme à coefficients dans K.
Plus précisément, il existe M ∈ N tel que : ∀k > M , ak = 0 et il existe N ∈ N tel
que : ∀k > N , bk = 0,
et alors : ∀k > max{M, N} , ck = 0 .
L’addition est une LCI sur l’ensemble des polynômes à coefficients dans K,
commutative et associative,
admet un élément neutre à savoir la suite nulle,
et tout polynôme P = (ak ) à coefficients dans K admet un opposé dans l’ensemble
des polynômes à coefficients dans K à savoir le polynôme Q = (bk ) défini par :
∀k ∈ N , bk = −ak et noté −P .
L’ensemble des polynômes à coefficients dans K muni de l’addition définie ci-dessus
est un groupe commutatif.
– Définition d’une multiplication dans l’ensemble des polynômes à coefficients dans
K : P = (ak ) , Q = (bk ) étant deux polynômes à coefficients dans K, nous définissons
la suite notée P × Q = (dk ) par :
∀k ∈ N , dk =
k
X
ai × bk−i =
i=0
k
X
ak−i × bi .
i=0
Et P × Q est un polynôme à coefficients dans K.
Plus précisément, il existe M ∈ N tel que : ∀k > M , ak = 0 et il existe N ∈ N tel
que : ∀k > N , bk = 0,
et alors : ∀k > M + N , dk = 0 .
La multiplication est une LCI sur l’ensemble des polynômes à coefficients dans K,
commutative et associative,
admet un élément neutre à savoir la suite (1, 0, 0, . . .),
et la multiplication est distributive par rapport à l’addition dans l’ensemble des
polynômes à coefficients dans K.
L’ensemble des polynômes à coefficients dans K muni de l’addition et de la multiplication définies ci-dessus est un anneau commutatif.
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Semaine d’interrogation no 11
du mardi 03 au samedi 07 janvier 2012
MPSI 1
– Définition d’un produit externe dans l’ensemble des polynômes à coefficients dans
K:
P = (ak ) étant un polynôme à coefficients dans K, λ appartenant à K, nous définissons la suite notée λ · P = (ek ) par :
∀k ∈ N , ek = λak .
Et λ · P est un polynôme à coefficients dans K.
Plus précisément, il existe M ∈ N tel que : ∀k > M , ak = 0,
et alors : ∀k > M , ek = 0 .
L’ensemble des polynômes à coefficients dans K muni de l’addition, de la multiplication et du produit externe définis ci-dessus est une algèbre commutative.
– Notation de l’indéterminée : X = (0, 1, 0, . . .) ,
X
puis notation définitive du polynôme P = (ak ) sous la forme : P =
ak Xk ,
k∈N
et de l’ensemble des polynômes à coefficients dans K : K[X] .
– Calculs dans K[X] ( comme par exemple X
la formule du binôme
X ).
k
bk Xk appartenant à
ak X et Q =
– Unicité de l’écriture polynômiale : P =
k∈N
k∈N
K[X], alors :
P = Q ⇔ ∀k ∈ N , ak = bk .
2. Degré d’un polynôme et ses conséquences.
X
ak Xk étant un polynôme non nul de K[X], le degré de P est le plus grand
– P=
k∈N
entier naturel n tel que an 6= 0 , an est appelé le coefficient dominant de P et se
note cd(P) .
Par convention, le degré du polynôme nul est −∞.
Le degré d’un polynôme P se note deg(P) .
P étant un polynôme non nul de K[X], P est de degré n et de coefficient dominant
a si et seulement s’il existe un polynôme Q appartenant à K[X] de degré inférieur
ou égal à n − 1 tel que :
a 6= 0 et P = aXn + Q.
– deg(P + Q) 6 max{deg(P) , deg(Q)},
et dans le cas particulier où deg(P) > deg(Q) :
deg(P + Q) = deg(P) , cd(P + Q) = cd(P) .
deg(P × Q) = deg(P) + deg(Q) ,
et das le cas où P et Q sont différents du polynôme nul : cd(P×Q) = cd(P)×cd(Q).
deg(λ · P) 6 deg(P) ,
et das le cas où λ est non nul : deg(λ · P) = deg(P) , cd(λ · P) = λ · cd(P) .
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– Conséquences importantes :
– Les polynômes inversibles sont les polynômes de degré 0.
– L’anneau (K[X], +, ×) est intègre,
autrement dit, P et Q appartenant à K[X] : P × Q = 0 ⇔ P = 0 ou Q = 0 .
– L’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n ( n ∈ N ) noté Kn [X]
est stable par combinaison linéaire.
3. Polynôme dérivé.
X
– P=
ak Xk appartenant à K[X], la suite Q = (bk ) définie par :
k∈N
∀k ∈ N∗ , bk−1 = kak ou ∀k ∈ N , bk = (k + 1)ak+1
appartient à K[X],
Q est appelé le polynôme dérivée de P et se note P0 .
– P étant un polynôme de degré supérieur ou égal à 1 : deg(P0 ) = deg(P) − 1,
et P étant un polynôme de degré inférieur ou égal à 0 : P0 = 0 .
Plus généralement : deg(P0 ) 6 deg(P) − 1 .
– (λP + Q)0 = λP0 + Q0 , (P × Q)0 = P0 × Q + P × Q0 ,
n
X
0
P1 × P2 × . . . × Pk−1 × P0k × . . . × Pk−1 . . . × Pn .
et : (P1 × P2 × . . . × Pn ) =
k=1
P et Q appartenant à K[X] : P0 = Q0 ⇔ ∃α ∈ K , P = Q + α .
– Dérivée nème d’un polynôme : définition récursive, notation P(n) .
P étant un polynôme de degré n : ∀k ∈ J0, nK , deg(P(k) ) = deg(P) − k,
et : ∀k ∈ N , k > n ⇒ P(k) = 0 .
Plus généralement : deg(P(k) ) 6 deg(P) − k .
n X
n (k) (n−k)
(n)
(n)
(n)
(n)
– (λP + Q) = λP + Q , (P × Q) =
P Q
.
k
k=0
4. Polynôme composé.
– Définition.
X
X
P=
ak Xk , Q appartenant à K[X], par définition : P ◦ Q =
ak Qk .
k∈N
k∈N
Introduction de la notation P(X) .
– Dans le cas où P et Q sont de degré supérieur ou égal à 1 :
deg(P ◦ Q) = deg(P) × deg(Q) .
– Dérivée du polynôme composé : (P ◦ Q)0 = Q0 × P0 ◦ Q .
5. Divisibilité dans K[X].
– Définition : B|A ⇔ ∃ Q ∈ K[X]/A = BQ .
A étant un polynôme non nul de K[X], B un diviseur de A : deg(B) 6 deg(A) .
– Propriétés usuelles ( identiques à celles vues dans Z ).
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– Polynomes associés : A et B sont dits associés si et seulement si : A|B et B|A .
Deux polynômes associés sont de même degré, la réciproque est fausse.
Deux polynômes A et B sont associés si et seulement si il existe λ ∈ K∗ tel que :
B = λA .
Deux polynômes unitaires et associés sont égaux.
– Division euclidienne dans K[X] : A et B appartenant à K[X], B étant distinct du
polynôme nul, il existe un unique couple (Q, R) tel que :
(
A = BQ + R
.
deg(R) < deg(B)
B divise A si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.
6. Fonction polynôme.
X
– P=
ak Xk appartenant à K[X], nous assosions à P la fonction polynômiale notée
∼
k∈N
P : K → K définie par :
∼
∀x ∈ K , P(x) =
X
ak x k .
k∈N
∼
∼
P appartenant à R[X] : P(a) = P(a) .
– Calcul de la valeur de la fonction polynômiale en un point selon différents algorithmes, en particulier l’algorithme de Hörner.
– Fonction polynôme associée à λP + Q et à P × Q.
∼
– Le reste de la division euclidienne de P par X − a est P(a) .
∼
Par conséquent, X − a|P si et seulement si P(a) = 0,
et cas particulier où P appartient à R[X] : X − a|P ⇔ X − a|P .
a et b appartenant à (
K distincts :
∼
∼
X − a|P
(X − a)(X − b)|P ⇔
⇔ P(a) = P(b) = 0 , généralisation à n facteurs,
X − b|P
et cas particulier où P appartient à R[X] et a à C − R :
∼
X2 − 2Re(a)X + |a|2 |P ⇔ P(a) = 0 .
Factorisation d’un polynôme P de degré n, de coefficient dominant a dont la fonction polynôme s’annule en n valeurs deux à deux distinctes α1 , . . . , αn :
P = a(X − α1 )(X − α2 ) . . . (X − αn ) .
a et b appartenant à K(distincts, i et j appartenant à N :
(X − a)i |P
(X − a)i (X − b)j |P ⇔
, généralisation à n facteurs.
(X − b)j |P
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7. Racine ( ou zéro ) d’un polynôme.
∼
– Par définition, a est racine de P si et seulement si P(a) = 0 .
Et par propriété, a est racine de P si et seulement si X − a|P .
– Un polynôme de degré inférieur ou égal à n admettant au moins n + 1 racines deux
à deux distinctes est le polynôme nul.
Par conséquent, un polynôme non nul de degré inférieur ou égal à n admet au plus
n racines deux à deux distinctes.
Un polynôme admettant une infinité de racines est le polynôme nul.
– Deux polynômes de degré inférieur ou égal à n dont les fonctions polynômes associées prennent la même valeur en n + 1 points deux à deux distincts sont égaux.
Deux polynômes dont les fonctions polynômes associées prennent la même valeur
en une infinité de points deux à deux distincts sont égaux.
∼
∼
– Et : P = Q ⇔ P = Q , par conséquent, nous pouvons « confondre » le polynôme
∼
P et la fonction polynôme P ...
8. Formule de Taylor dans K[X] et ses conséquences.
∼
– Démonstration par récurrence sur le degré du polynôme : P =
X P(k) (a)
k∈N
k!
(X − a)k .
– Expression du reste de la division euclidienne par (X − a)k .
n
X
–
λk (X − a)k = 0 ⇔ ∀k ∈ J0, nK , λk = 0 .
k=0
Par conséquent : (X − a)k |P ⇔ P(a) = P0 (a) = . . . = P(k−1) (a) = 0 ,
Dans le cas particulier où P appartenant à R[X] : (X − a)k |P ⇔ (X − a)k |P .
a et b étant distincts :
(
P(a) = P0 (a) = . . . = P(k−1) (a) = 0
(X − a)k (X − b)l |P ⇔
,
P(b) = P0 (b) = . . . = P(l−1) (b) = 0
Dans le cas particulier où P appartenant à R[X] et a à C − R :
(X2 − 2Re(a)X + |a|2 )k |P ⇔ P(a) = P0 (a) = . . . = P(k−1) (a) = 0
9. Racine multiple d’un polynôme.
– Définition : (X − a)k divise P et (X − a)k+1 ne divise pas P .
(
P = (X − a)k Q
a est racine multiple d’ordre k de P si et seulement si : ∃ Q ∈ K[X] ,
Q(a) 6= 0
– Caractérisation à l’aide des polynômes dérivés :
a est racine multiple d’ordre k de P si et seulement si :
(
P(a) = P0 (a) = . . . = P(k−1) (a) = 0
P(k) (a) 6= 0
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.
.
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– Un polynôme non nul de degré inférieur ou égal à n admet au plus n racines, chaque
racine étant comptée avec son ordre de multiplité.
Cas particulier où la somme des ordres de multiplicité est égale au degré, factorir
Y
sation du polynôme : P = a (X − αi )ki .
i=1
10. Factorisation d’un polynôme dans C[X] ou dans R[X] .
– Tout polynôme de C[X] de degré supérieur ou égal à 1 admet au moins une racine
( admis ).
– Par conséquent, factorisation d’un polynôme de C[X] de degré supérieur ou égal à
1, en un produit de polynômes de degré 1 :
P=a
r
Y
(X − αi )ki ,
i=1
où : a = cd(P) , α1 , . . . , αr sont les racines deux à deux distinctes de P, k1 , . . . , kr
r
X
leur ordre de multiplcité respectif avec :
ki = deg(P) ,
i=1
factorisation unique à l’ordre des facteurs près.
– En regroupant les racines conjuguées, factorisation d’un polynôme de R[X] de degré
supérieur ou égal à 1, en un produit de polynômes de degré 1 et/ou de degré 2 à
discriminant strictement négatif :
r
s
Y
Y
ki
P = a (X − αi )
(X2 − sj X + pj )lj ,
i=1
j=1
où : a = cd(P) , α1 , . . . , αr sont les racines réelles deux à deux distinctes de P,
r
s
X
X
k1 , . . . , kr leur ordre de multiplcité respectif avec :
ki + 2 ∗
lj = deg(P) ,
i=1
j=1
factorisation unique à l’ordre des facteurs près.
11. Relations coefficients-racines d’un polynôme scindé.
– Définition d’un polynôme scindé : P est dit scindé sur K si et seulement si P s’écrit :
r
Y
P = a (X − αi )ki , α1 , ... , αr étant deux à deux distincts,
i=1
ou aussi : P = a
n
Y
(X − αi ) où α1 , ... , αn n’étant pas nécessairement deux à deux
i=1
distincts.
Tout polynôme de C[X] est scindé sur C .
– Relations
X coefficients -racines d’un polynôme scindé.
P=
ak Xk étant de degré n > 1 et scindé sur K,
k∈N
il s’écrit : P = an (X − α1 )(X − α2 ) . . . (X − αn ) .
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Et pour tout k appartenant à J1, nK, notons : σk =
Alors par « développement » : ∀k ∈ J1, nK , σk =
P
α1 α2 . . . αk .
(−1)k an−k
,
an
et ainsi : P = an (Xn − σ1 Xn−1 + σ2 Xn−2 + . . . + (−1)n σn ) .
Prochain programme : Limites et continuité.
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