Chapitre 2 CONTINUITE, THEOREME DES VALEURS
INTERMEDIAIRES Terminale S
I – Compléments sur la dérivation
1) Rappels
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur D et   . La tangente à C
f
au point  est la droite T
passant par A qui a pour coefficient directeur ……………..
Une équation est : …………………………………………………………
Remarque :
Localement
, on peut approximer f par la fonction affine
représentée par T.
……………………………….. pour voisin de a.
Ou en écrivant  ,
 …………………………………. pour h voisin de ……
On dit alors que ………………………………………. est ………….
………………………………... de  pour h voisin de ………
En physique, on écrit souvent    pour exprimer cette
approximation.
représente………………………. et
……………………………
est parfois remplacer par
.
Complément : ……………………….  avec ………………………….. est appelé le
développement limité à l’ordre 1 de f en a.
2) Règles de calculs
Propriété : u et v sont deux fonctions dérivables sur D et k est un réel.
Alors , ,  et  sont dérivables sur D et :
……………… ………………… ……………………..
………………….
Si, de plus, v ne s’annule pas sur D, alors
et
sont dérivables sur D et :
…………………
……………………………..
fonction dérivée Conditions
(constante)
, n entier relatif non nul


Théorème :
g est une fonction dérivable sur D’, u est une fonction dérivable sur D et pour tout   ,  .
Alors la fonction f définie par  est ………………….. sur………….. et pour tout  

Démonstration :
Il s’agit de montrer qu’en tout point a de D, la fonction t définie par 
 a pour limite en a le
nombre ……………………………………………..
Remarque : On retrouve la formule admise en 1
ère
S (lorsque les hypothèses du théorème sont satisfaites) :
Si  , alors ……………………………….
Exemples : Après avoir justifié la dérivabilité des fonctions, calculer les fonctions dérivées des fonctions
suivantes :
a)
 b)   c)


 d)  
Théorème : u est une fonction strictement positive et dérivable sur D.
Alors la fonction f définie par  est …………………………………..et pour tout de D,
 
Démonstration :
Théorème : u est une fonction dérivable sur D et n est un entier relatif non nul.
1) Si  , la fonction f définie par  est …………………………………et pour tout de D,

2) Si   et si la fonction u ne ………………………….., alors la fonction g définie par 
est ………………………………….et pour tout de D,

Exemples : Dans chacun des cas, déterminer la fonction dérivée de f.
a)

b)

……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
Définition : f est une fonction dérivable sur D. Sa fonction dérivée  s’appelle fonction dérivée première (ou
………………..) de f.
Lorsque f’ est dérivable sur D, sa fonction dérivée est notée  (ou parfois ) ;  est appelée …………….
………………….(ou ……………………) de f.
Par itération, pour tout entier naturel   , on définit la fonction …………………………(ou ……………..)
comme étant la fonction dérivée de la fonction d’ordre .
Pour tout   ,  
3) Dérivation et sens de variations
Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I inclus dans son ensemble de définition.
• Si    sur I, sauf peut-être en un nombre ……………………………….où  s’annule, alors f est ………..
……………………………………………………………..
• Si sur I, sauf peut-être en un nombre ……………………………….où  s’annule, alors f est ………..
……………………………………………………………..
• Si est nulle sur I, alors f est ………………………………………………
Définition :
f
est une fonction définie sur un intervalle I et
Dire que  est un maximum local
de
ouvert J, contenant c
tel que, pour tout
De façon analogue, on définit un minimum local (
Un extremum local
est ………………………………………………………
Théorème : f
est une fonction dérivable sur un intervalle
1) Si 
est un extremum local, alors ……………………….
2) Si 
…………………..en changeant………………….., alors
Exercice :
On considère un réservoir fermé en tô
le ayant la forme d’un parallélépipède rectangle de hauteur
base est un carré de côté ,  
1) Exprimer la surface de tôle du réservoir, notée
2) On suppose que le réservoir a une capacité de 1
a) Exprimer en fonction de .
b) En déduire que l’expression de
en fonction de
c) Montrer que est dérivable sur 
d) Etudier les variations de sur 
est une fonction définie sur un intervalle I et
c un point de I.
de
f en c signifie qu’il existe un intervalle
tel que, pour tout
de J, …………………………..
De façon analogue, on définit un minimum local (
sur la figure).
est ………………………………………………………
est une fonction dérivable sur un intervalle
ouvert I, c
est un point de I.
est un extremum local, alors ……………………….
…………………..en changeant………………….., alors

est un extremum local.
le ayant la forme d’un parallélépipède rectangle de hauteur
(l’unité est le mètre).
1) Exprimer la surface de tôle du réservoir, notée
, et le volume du réservoir, noté
2) On suppose que le réservoir a une capacité de 1
.
en fonction de
est 
.
et que, pour tout  ,
et en déduire la valeur de
pour que la surface de tôle soit minimale
est un point de I.
est un extremum local.
le ayant la forme d’un parallélépipède rectangle de hauteur
et dont la
en fonction de et .


.
pour que la surface de tôle soit minimale
.
II – Notion de continuité, TVI
Dans ce paragraphe, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de .
1) Fonctions continues
Définitions : • Dire que f est continue en un point a de I signifie que f admet une limite en a et que cette
limite est ………………. On a donc  ………….
• Dire que f est continue sur l’intervalle I signifie que f est …………………………………………………..
Conséquence : Il résulte de cette définition et des théorèmes sur les opérations sur les limites que la somme, le
produit et la composée de fonctions continues sont …………………..
Remarque : Il existe des fonctions non continues.
• Voici quatre exemples. Indiquer ce qui dans la définition n’est pas vérifié.
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
• Un autre exemple fondamental est la fonction ………………………..
Théorème : • Si f est dérivable en a, alors f est …………………………………..
• Si f est dérivable sur I, alors f est ………………………………………………..
Démonstration.
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