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Chapitre 2 CONTINUITE, THEOREME DES VALEURS
INTERMEDIAIRES Terminale S
I – Compléments sur la dérivation
1) Rappels
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur D et   . La tangente à C
f
au point  est la droite T
passant par A qui a pour coefficient directeur ……………..
Une équation est : …………………………………………………………
Remarque :
Localement
, on peut approximer f par la fonction affine
représentée par T.
……………………………….. pour  voisin de a.
Ou en écrivant  ,
 …………………………………. pour h voisin de ……
On dit alors que ………………………………………. est ………….
………………………………... de  pour h voisin de ………
En physique, on écrit souvent    pour exprimer cette
approximation.
représente………………………. et ……………………………
est parfois remplacer par .
Complément : ……………………….  avec ………………………….. est appelé le
développement limité à l’ordre 1 de f en a.
2) Règles de calculs
Propriété : u et v sont deux fonctions dérivables sur D et k est un réel.
Alors , ,  et  sont dérivables sur D et :
……………… ………………… ……………………..
………………….
Si, de plus, v ne s’annule pas sur D, alors 
 et   sont dérivables sur D et :
…………………  ……………………………..
fonction dérivée Conditions
(constante)
, n entier relatif non nul

Théorème :
g est une fonction dérivable sur D’, u est une fonction dérivable sur D et pour tout   ,   .
Alors la fonction f définie par  est ………………….. sur………….. et pour tout   
Démonstration :
Il s’agit de montrer qu’en tout point a de D, la fonction t définie par 
 a pour limite en a le
nombre ……………………………………………..
Remarque : On retrouve la formule admise en 1
ère
S (lorsque les hypothèses du théorème sont satisfaites) :
Si  , alors ……………………………….
Exemples : Après avoir justifié la dérivabilité des fonctions, calculer les fonctions dérivées des fonctions
suivantes :
a) 
 b)   c)   d)  

Théorème : u est une fonction strictement positive et dérivable sur D.
Alors la fonction f définie par  est …………………………………..et pour tout  de D,
Démonstration :
Théorème : u est une fonction dérivable sur D et n est un entier relatif non nul.
1) Si  , la fonction f définie par  est …………………………………et pour tout  de D,
2) Si   et si la fonction u ne ………………………….., alors la fonction g définie par 
est ………………………………….et pour tout  de D,
Exemples : Dans chacun des cas, déterminer la fonction dérivée de f.
a)  b)
……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
Définition : f est une fonction dérivable sur D. Sa fonction dérivée  s’appelle fonction dérivée première (ou
………………..) de f.
Lorsque f’ est dérivable sur D, sa fonction dérivée est notée  (ou parfois ) ;  est appelée …………….
………………….(ou ……………………) de f.
Par itération, pour tout entier naturel   , on définit la fonction …………………………(ou ……………..)
comme étant la fonction dérivée de la fonction d’ordre .
Pour tout   ,   
3) Dérivation et sens de variations
Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I inclus dans son ensemble de définition.
• Si    sur I, sauf peut-être en un nombre ……………………………….où  s’annule, alors f est ………..
……………………………………………………………..
• Si  sur I, sauf peut-être en un nombre ……………………………….où  s’annule, alors f est ………..
……………………………………………………………..
• Si  est nulle sur I, alors f est …………………………………………………

Définition :
f
est une fonction définie sur un intervalle I et
Dire que  est un maximum local
de
ouvert J, contenant c
tel que, pour tout
De façon analogue, on définit un minimum local (
Un extremum local
est ………………………………………………………
Théorème : f
est une fonction dérivable sur un intervalle
1) Si 
est un extremum local, alors ……………………….
2) Si 
…………………..en changeant………………….., alors
Exercice :
On considère un réservoir fermé en tô
le ayant la forme d’un parallélépipède rectangle de hauteur
base est un carré de côté ,  
1) Exprimer la surface de tôle du réservoir, notée
2) On suppose que le réservoir a une capacité de 1
a) Exprimer  en fonction de .
b) En déduire que l’expression de 
en fonction de
c) Montrer que  est dérivable sur 
d) Etudier les variations de  sur 
est une fonction définie sur un intervalle I et
c un point de I.
de
f en c signifie qu’il existe un intervalle
tel que, pour tout
 de J, …………………………..
De façon analogue, on définit un minimum local (
sur la figure).
est ………………………………………………………
est une fonction dérivable sur un intervalle
ouvert I, c
est un point de I.
est un extremum local, alors ……………………….
…………………..en changeant………………….., alors
est un extremum local.
le ayant la forme d’un parallélépipède rectangle de hauteur
 (l’unité est le mètre).
1) Exprimer la surface de tôle du réservoir, notée
, et le volume du réservoir, noté
2) On suppose que le réservoir a une capacité de 1
.
en fonction de
 est 
.
 et que, pour tout  , 
 et en déduire la valeur de 
pour que la surface de tôle soit minimale
est un point de I.
est un extremum local.
le ayant la forme d’un parallélépipède rectangle de hauteur
 et dont la
en fonction de  et .
.
pour que la surface de tôle soit minimale
.

II – Notion de continuité, TVI
Dans ce paragraphe, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de .
1) Fonctions continues
Définitions : • Dire que f est continue en un point a de I signifie que f admet une limite en a et que cette
limite est ………………. On a donc  ………….
• Dire que f est continue sur l’intervalle I signifie que f est …………………………………………………..
Conséquence : Il résulte de cette définition et des théorèmes sur les opérations sur les limites que la somme, le
produit et la composée de fonctions continues sont …………………..
Remarque : Il existe des fonctions non continues.
• Voici quatre exemples. Indiquer ce qui dans la définition n’est pas vérifié.
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
• Un autre exemple fondamental est la fonction ………………………..
Théorème : • Si f est dérivable en a, alors f est …………………………………..
• Si f est dérivable sur I, alors f est ………………………………………………..
Démonstration.