Cours_blog.pdf (264.48 KB)
publicité
Chapitre 2 CONTINUITE, THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES Terminale S I – Compléments sur la dérivation 1) Rappels Propriété : Soit f une fonction dérivable sur D et . La tangente à Cf au point ; est la droite T passant par A qui a pour coefficient directeur …………….. Une équation est : ………………………………………………………… Remarque : Localement, on peut approximer f par la fonction affine représentée par T. ……………………………….. pour voisin de a. Ou en écrivant , …………………………………. pour h voisin de …… On dit alors que ………………………………………. est …………. ………………………………... de pour h voisin de ……… En physique, on écrit souvent ∆ ∆ pour exprimer cette approximation. ∆ représente………………………. et ∆…………………………… ∆ est parfois remplacer par ∆. Complément : ………………………. avec ………………………….. est appelé le développement limité à l’ordre 1 de f en a. 2) Règles de calculs Propriété : u et v sont deux fonctions dérivables sur D et k est un réel. Alors , , et sont dérivables sur D et : ……………… ………………… …………………….. …………………. Si, de plus, v ne s’annule pas sur D, alors et sont dérivables sur D et : ………………… fonction (constante) 1 , n entier relatif non nul √ sin cos || …………………………….. dérivée Conditions Théorème : g est une fonction dérivable sur D’, u est une fonction dérivable sur D et pour tout , %. Alors la fonction f définie par &'( est ………………….. sur………….. et pour tout , * … … … … … … … … … .. Démonstration : Il s’agit de montrer qu’en tout point a de D, la fonction t définie par - nombre …………………………………………….. ./0.1 /01 a pour limite en a le Remarque : On retrouve la formule admise en 1ère S (lorsque les hypothèses du théorème sont satisfaites) : Si & 2, alors & ………………………………. Exemples : Après avoir justifié la dérivabilité des fonctions, calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a) / 3 4/4 b) & 5 cos c) / 3 45/45 6/ 3 4/ d) 7 cos 5 Théorème : u est une fonction strictement positive et dérivable sur D. Alors la fonction f définie par 8 est …………………………………..et pour tout de D, * … … … … … .. Démonstration : Théorème : u est une fonction dérivable sur D et n est un entier relatif non nul. 1) Si 9 : 1, la fonction f définie par ;< est …………………………………et pour tout de D, * … … … … … … … … 2) Si 9 = 1 et si la fonction u ne ………………………….., alors la fonction g définie par & ;< est ………………………………….et pour tout de D, & * … … … … … … … … Exemples : Dans chacun des cas, déterminer la fonction dérivée de f. a) > b) 3 3 0/ / 46/? …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. Définition : f est une fonction dérivable sur D. Sa fonction dérivée % s’appelle fonction dérivée première (ou ………………..) de f. Lorsque f’ est dérivable sur D, sa fonction dérivée est notée %% (ou parfois 5 ) ; %% est appelée ……………. ………………….(ou ……………………) de f. Par itération, pour tout entier naturel 9 : 2, on définit la fonction …………………………(ou ……………..) comme étant la fonction dérivée de la fonction d’ordre 9 1. Pour tout 9 : 2, * … … … 3) Dérivation et sens de variations Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I inclus dans son ensemble de définition. • Si % A 0 sur I, sauf peut-être en un nombre ……………………………….où % s’annule, alors f est ……….. …………………………………………………………….. • Si C 0 sur I, sauf peut-être en un nombre ……………………………….où % s’annule, alors f est ……….. …………………………………………………………….. • Si est nulle sur I, alors f est ………………………………………………… Définition : f est une fonction définie sur un intervalle I et c un point de I. Dire que D est un maximum local de f en c signifie qu’il existe un intervalle ouvert J, contenant c tel que, pour tout de J, ………………………….. De façon analogue, on définit un minimum local ((G sur la figure). Un extremum local est ……………………………………………………… Théorème : f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, c est un point de I. 1) Si D est un extremum local, alors ………………………. 2) Si %…………………..en …………………..en changeant………………….., alors D est un extremum local. Exercice : On considère un réservoir fermé en tôle le ayant la forme d’un parallélépipède rectangle de hauteur et dont la base est un carré de côté , <0; ∞ ∞; (l’unité est le mètre). 1) Exprimer la surface de tôle du réservoir, notée F, et le volume du réservoir, noté H en fonction de et . 2) On suppose que le réservoir a une capacité de 1 IJ . a) Exprimer en fonction de 5 . K b) En déduire que l’expression de F en fonction de est F 2 5 /. c) Montrer que F est dérivable sur <0; ∞; et que, pour tout <0; ∞;, F 3 4/4( K/0'/ K /3 . d) Etudier les variations de F sur <0; ∞ ∞; et en déduire la valeur de pour que la surface de tôle soit minimale. minimale II – Notion de continuité, TVI Dans ce paragraphe, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de L. 1) Fonctions continues Définitions : • Dire que f est continue en un point a de I signifie que f admet une limite en a et que cette limite est ………………. On a donc lim/O1 …………. • Dire que f est continue sur l’intervalle I signifie que f est ………………………………………………….. Conséquence : Il résulte de cette définition et des théorèmes sur les opérations sur les limites que la somme, le produit et la composée de fonctions continues sont ………………….. Remarque : Il existe des fonctions non continues. • Voici quatre exemples. Indiquer ce qui dans la définition n’est pas vérifié. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. • Un autre exemple fondamental est la fonction ……………………….. Théorème : • Si f est dérivable en a, alors f est ………………………………….. • Si f est dérivable sur I, alors f est ……………………………………………….. Démonstration. Conséquences : • Les fonctions polynômes sont ………..……………………….. Elles sont donc ……………………............... • Les fonctions rationnelles sont ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….. • Les fonctions sinus et cosinus …………………………………………………………………………………... • La fonction racine carrée est …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. • Toutes les fonctions construites par somme, produit, quotient, composition de fonctions fonct usuelles sont ………. sur tout intervalle inclus dans leur …………………………………………… Remarque : Il existe des fonctions continues mais non dérivables. Par exemple la fonction …………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. La fonction valeur absolue est …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. 2) Fonctions continues et résolution d’équation d’équations Théorème des valeurs intermédiaires (admis) : Soit f une fonction continue sur un intervalle ;; 2<. Alors, pour tout réel y compris entre et 2, il existe au moins un réel c entre a et b tel que : ……………………. 2. Remarque : Supposons que = 2 Le théorème peut s’énoncer de plusieurs façons équivalentes : • pour tout y dans l’intervalle ;; 2<, l’équation ……………d’inconnue a……………………………………………………………………………. • tout réel y de l’intervalle ;; 2<< est l’image ………………………… ………………………………………………………………………………… Si on note P l’ensemble des images de tous les nombres de I, cet énoncé peut encore e se traduite par : L’intervalle ;; 2< est inclus dans ………………… Vocabulaire : L’ensemble P est appelé ……………………………….. Le théorème suivant est énoncé pour une fonction strictement croissante. Le résultat est analogue pour une fonction strictement ement décroissante. Il suffit de remplacer ;; 2< par ;2; < Théorème : Si f est une fonction continue strictement croissante sur l’intervalle I = ;; 2<, alors : • l’image de I par f est ……………………………………… • pour tout y dans ;; 2<,, l’équation , d’inconnue ,, a ………………………………………… Démonstration 2 C 0 (c’est-à-dire …… Cas particulier : Si f est continue et strictement croissante sur I = ;; 2< et si …………………………………………………), alors l’équation ………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ;0; ∞; par J 1 2 5 . Exemple : f est la fonction définie sur ;0 Démontrer que l’équation 0 admet une unique solution R dans ;0; 1< et donner un encadrement de R d’amplitude 100. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. Extension du théorème : Lorsque f est une fonction continue et strictement monotone, le résultat du théorème précédent s’étend à un intervalle I quelconque. L’image d’un intervalle I par f est encore un intervalle J et pour tout réel y de J, l’équation , d’inconnue , a ………………………………………………………….. ; continue et strictement décroissante sur <0; ∞;. Exemple : La fonction inverse est continu L’image de <0; ∞; par la fonction inverse est ……………………………… Donc, pour tout réel y de ………………………, l’équation……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………... Définitions : f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I quelconque. Posons Q P.. J est un intervalle. Alors, • pour tout réel dans I, est dans …………….. . • pour tout réel y dans J, il existe ………………………………………….tel que Lorsque ces deux conditions sont réunies, on dit que f est une ……………………de I sur J. On peut alors définir une fonction g sur J de la façon suivante : Pour tout y de J, on note & le réel tel que . Ainsi et & = ……… On dit que l’on a défini sur J, la fonction ……………………..de f. Exemple : Déterminer une valeur approchée à 10 /S 1. J/ 3 4T …………………………………………………………………………………………………………………….. 05 près des éventuelles solutions de l’équation …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………… 3) Fonctions continues et suites Propriété : f est une fonction définie sur un intervalle I ; est une suite dont tous les termes appartiennent à I. b est un réel. Si lim 2 et si f est continue en b, alors la suite définie par …………………………… O4U …………………………………………………………………………………………………………………….. Exemple : Déterminer la limite de la suite définie par >2 . ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et une suite vérifiant : - Pour tout 9 V, P et 4 . - Si converge vers W P et si f est continue en l, alors l vérifie ………………………………………. Exemple : Soit la suite définie par : X 2 et 4 2 1, pour tout entier naturel 9. a) Si converge, quelle est la limite R possible ? b) Montrer que la suite définie par 1, pour tout entier naturel 9, est géométrique. c) En déduire l’expression de en fonction de 9, ainsi que la limite de la suite .
