Plus Grand Commun Diviseur / Théorème de Bachet - index - mf-go

Arithmétique : Chapitre 2
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Partie A : Plus Grand Commun Diviseur / Théorème de Bachet-Bézout / Théorème de Gauss
I Le Plus Grand Commun Diviseur
1°/ Diviseurs communs à deux entiers :
a) Problème de pavage
On veut paver une pièce rectangle de dimensions 21m et 15m par des carrés de côté un nombre entier  de taille maximale.
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b) Diviseurs communs – PGCD
Définition : Soient  et  deux entiers. On note    l’ensemble des diviseurs communs à  et .
Remarques :
* Les diviseurs communs à 0 et  sont les diviseurs de pour tout  .
* Pour tout        
Proposition - Définition
      et  ont un nombre fini de diviseurs, donc il en existe un plus grand ou égal à tous les autres
Le plus grand commun diviseur à  est appelé le PGCD de  et de ,
Il est noté :       
Exemples :        
Remarque :    PGCD(a ; b).
Proposition :      si et seulement si  divise .
Démo : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
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2°/ PGCD et algorithme d’Euclide :
a) L’algorithme d’Euclide
Lemme d’Euclide
   désignent des entiers relatifs non nuls.
Si           
Démo :
Montrons que        :
Montrons que        : Soit ………………………………………………………………………………………….
Montrons que       : Soit ………………………………………………………………………………………….
Ainsi on a        et        donc        ( raisonnement par double inclusion )
On déduit ainsi que       
Remarque : dans le lemme ci-dessus on n’a pas la condition      car elle n’est pas nécessaire, mais l’écriture ressemble à celle
de la division euclidienne de  par  car c’est dans ce cadre-là qu’on va utiliser le lemme.

Arithmétique : Chapitre 2
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Algorithme d’Euclide : a  IN* et b  IN*, avec a > b.
On remplace   par des couples de nombres de plus en plus petits, qui ont le même ensemble de diviseurs communs
Opération
reste
commentaire
On divise a par b
Si r0 ≠ 0, on divise b par r0
Si r1 ≠ 0, on divise r0 par r1
Si rn – 1 ≠ 0, on divise rn – 2 par rn – 1
Si rn ≠ 0, on divise rn – 1 par rn
r0
r1
r2
rn
0
0 r0 < b et PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r0)
0 r1 < r0 et PGCD(b ; r0) = PGCD(r0 ; r1)
0 r2 < r1 et PGCD(r0 ; r1) = PGCD(r1 ; r2)
0 rn < rn – 1 et PGCD(rn – 2 ; rn – 1) = PGCD(rn – 1 ; rn)
PGCD(rn – 1 ; rn) = rn
Ci-dessus, on note rn le dernier reste non nul.
On trouve forcément un reste nul, en effet, les restes sont des entiers positifs qui vont en décroissant strictement
( 0 < 
           et :
Propriété
Si  ne divise pas , le PGCD des entiers naturels non nuls est égal au dernier reste non nul obtenu par l’algorithme
d’Euclide.
Un exemple : recherche du PGCD de 1078 et 322 à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
On écrit les divisions euclidiennes successives :
1078=322x …… + …… PGCD(1078,322)=PGCD(……,……)
…… = …… x …… + …… PGCD(……,……)=PGCD(……,……)
…… = …… x …… + …… PGCD(……,……)=PGCD(……,……)
…… = …… x …… + …… PGCD(……,……)=PGCD(……,……)
Le dernier reste non nul de l’algorithme d’Euclide est …… donc PGCD(1078,322) = ……
TICE : Algorithme d’Euclide sur la calculette : Savoir faire 5 p 49
Algorithme d’Euclide sur un tableur : Savoir faire 6 p 49
Visualisation géométrique de l’algorithme d’Euclide ( histoire ) : problème 4 p 45
b) Conséquences
Proposition : Les diviseurs communs à deux entiers relatifs non nuls  et  sont les diviseurs de   .
Preuve : En reprenant les notations de l’algorithme d’Euclide, le lemme d’Euclide nous donne les égalités suivantes :
 ( car   divise )
Proposition :
Si on multiplie deux entiers naturels non nuls  par un même entier naturel  , leur  est multiplié par  soit :
Démo :
 Si  ne divise pas  : on écrit l’algorithme d’Euclide relatif au PGCD de  et  :
    avec     et    
    avec     et    
   avec     et    
…………………………………
 avec      et   
   avec   
Le dernier reste non nul est 
 donc   
On multiplie chaque égalité de division euclidienne par  ainsi que les inégalités grâce aux règles connues ce qui donne :
  avec     et   

Arithmétique : Chapitre 2
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    avec     et    
 avec     et    
…………………………………
 avec      et   
   avec   
Conclusion : ……………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
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 Si  divise  : ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
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Un exemple :
Corollaire :
Si  est un entier naturel non nul, diviseur commun à  et , alors :
Un exemple :
3°/ PGCD et décomposition en facteurs premiers
Proposition : a et b désignent deux entiers supérieurs ou égaux à 2.
p1, p2, …, Pn sont des facteurs premiers figurant dans l’une ou l’autre des décompositions de a et b :
a = 
 …   et b =   …   , avec α1, α2, …, αn, β1, β2, …, βn entiers naturels.
Le PGCD de a et b est égal au produit des facteurs premiers communs aux décompositions de a et b, chacun d’eux étant affecté du
plus petit exposant avec lequel il figure dans la décomposition de a et b.
Ex :
Si a = 22 × 52 × 7 et b = 23 × 5 × 11, alors PGCD(a ; b) =
II Le théorème de Bachet- Bézout
1) Un problème de chiffrement : 6 p 51
Sur feuille annexe
2) Théorème de Bachet-Bézout
a) Nombres premiers entre eux
Définition : Dire que deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux signifie que leur PGCD est égal à 1.
Exemples : 25 et 27 , 7 et 5
Proposition : (Quotient de deux entiers non nuls par leur PGCD)
 désignent deux entiers relatifs non nuls.
Si    , alors il existe des entiers relatifs  et  premiers entre eux tels que     
( Les nombres 
 et   sont premiers entre eux)
Démo : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
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Arithmétique : Chapitre 2
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Corollaire : Si on divise numérateur et dénominateur d’une fraction 
 par   on obtient une fraction irréductible.
b) Le théorème
Deux entiers relatifs non nuls  sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe des entiers relatifs  tels
que     
Démo :
 : supposons qu’ il existe des entiers relatifs  tels que     Soit     alors  divise  et  divise
 donc ……………………….………………………………………………………………………………
 : Supposons   
     donc    ou   .
     donc    ou   .
 Si  et  sont des entiers naturels, on suppose par exemple que      et  ne divise pas. ( l’autre cas est identique à
traiter)
L’algorithme d’Euclide s’écrit :
           …….    
 avec           .
D’où, r0 =  q0 =  u0 +  v0 avec u0 = 1 et v0 = – q0
r1 =  – r0 q1 = + (  q0) × (– q1) =  × (– q1) + × (1 + q0 q1) = u1 +  v1 avec u1 = – q1 et v1 = 1 + q0 q1
En réitérant ce procédé, on montre que tous les restes rk, avec 0    , obtenus dans l’algorithme d’Euclide s’écrivent sous la
forme rk =  uk +  vk, où uk et vk sont des entiers relatifs qui s’expriment en fonction de q0, q1, …, qk, et en particulier le dernier
reste non nul rn qui est égal à 1.
 Les autres cas, par exemple    et    se ramènent aux cas précédents :   et  étant entiers naturels,
il existe un couple    d’entiers relatifs tels que     
Il existe donc des entiers relatifs    et    tels que     
Remarque :
Le couple    n’est pas unique.
Par exemple, pour    et   , on obtient PGCD(3 ; 2) = 1.
Or, 1 = 3 × 1 + 2 × (– 1) d’où   et   ou 1 = 3 × (– 1) + 2 × 2 d’où   et  
Exemple:
Déterminer un couple    d’entiers tels que     .
1/ on écrit l’algorithme d’Euclide ; 2/ on isole les restes ( on exprime chaque reste en fonction de 29 et 11
(feuille annexe)
Exemple:
 désigne un entier naturel non nul. Appliquer le théorème à  et    , puis à    et   .
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…………
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Arithmétique : Chapitre 2
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3) Identité de Bézout
Proposition :  désignent deux entiers relatifs non nuls.
Si    , alors il existe des entiers relatifs  tels que     
Preuve : D’après ce qui a été vu précédemment si on pose 
 et   alors   . Donc
……..…..…..…..…..…..…..…..…
…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..
…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..
Histoire : Etienne Bézout rédige en 1763 un cours de mathématiques qui deviendra le Cours de mathématiques à l'usage des gardes
du pavillon et de la marine. En 1768, il devient examinateur des élèves du corps de l'artillerie et rédige un manuel de
mathématiques qui devient le livre de chevet des candidats au concours de l'École Polytechnique
III Théorème de Gauss
1) Théorème
  et  désignent trois entiers relatifs non nuls.
Si  divise le produit  et si  est premier avec , alors  divise 
Démo : …..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..……….
…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..
…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..
…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..
Remarque :
Vérifier que  est premier avec  car  peut diviser  en ne divisant ni , ni 
Par exemple, 6 divise 300 , or 300 = 15 × 20 et
Un problème : Dans une classe de moins de 38 élèves, la moyenne des notes des filles est 11,375 ; celle des notes des garçons est
10,5 et la moyenne de la classe est 10,8. L’objectif est de déterminer le nombre d'élèves dans cette classe.
1. On note  le nombre de garçons et  le nombre de filles, montrer que le couple   vérifie l'équation   .
2. Calculer , en déduire que   vérifie l'équation   . En utilisant le théorème de Gauss, montrer que
 est un multiple de 23 et que  est un multiple de 12.
3. En déduire la solution du problème.
Histoire : Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) surnommé le prince des mathématiciens est considéré comme l'un des plus
grands mathématiciens de tous les temps. Il n'a publié de son vivant qu'une partie infime de ses découvertes, la postérité découvrit
la profondeur et l'étendue de son œuvre grâce à son journal intime, en 1898.
2) Conséquences
Propriété :
 et désignent des entiers relatifs non nuls et  un nombre premier.
Si  divise le produit  alors  divise  ou  divise .
Démo : …..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..……….
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