Éléments d`algèbre de Boole

© Jacques Farré 2013 Informatique générale – éléments d'algèbre de Boole 1/12
Informatique Générale
Élements de logique et
d'algèbre de Boole
Jacques Farré
Jacques.Farr[email protected]
http://deptinfo.unice.fr/~jf/InfoGene
Licence 1 Sciences & TechnologiesUniversité de Nice – Sophia Antipolis

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La logique, pourquoi ?
Pour modéliser des ”objets”, leurs propriétés, et pour
faire des raisonnements rigoureux dessus
Par exemple la logique aristotélicienne
Raisonnement logique à 2 propositions conduisant à une
conclusion (syllogisme)
de la forme : si tous les éléments de l'ensemble E ont telle
propriété, si e est un élément de E, alors e a la propriété P
exemple classique : tous les hommes sont mortels; or
Socrate est un homme; donc Socrate est mortel
qu'on peut traduire par, en généralisant :
si [(M ⊂ P) et (S ⊂ M)] alors (S ⊂ P)
attention : si [(M ⊂ P) et (S ⊂ P)] alors (S ⊂ M) n'a pas de
sens : les hommes sont bipèdes, les autruches sont bipèdes,
donc les autruches sont des hommes

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Calcul propositionnel
Calcul propositionnel : théorie logique qui définit les lois
formelles du raisonnement
évaluation d'expressions résultant en une valeur parmi {faux,
vrai} (notées aussi {F, V} ou {0, 1})
Une proposition atomique est une affirmation susceptible d'être
vraie ou fausse : il pleut, 2009 est une année bissextile, i+j = k, ...
On peut former une proposition en utilisant des opérateurs
logiques (ou connecteurs), par exemple
➢Il pleut et il y a du soleil
➢i+j=k ou (i-j=k et k>0)
➢si x est multiple de 4 alors x est pair
➢l'année A est bissextile équivaut à l'année A a 366 jours

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Opérateurs du calcul propositionnel
Essentiellement 5 opérateurs
➢la conjonction (et) notée 
Il pleut et il y a du soleil (si a=il pleut, b=il y a du soleil, on
écrit a b)
➢la disjonction (ou) notée 
i+j=k ou (i-j=k et k>0) de la forme a  (b c)
➢l'implication (alors) notée ⇒
x est multiple de 4 alors x est pair, de la forme a ⇒ b
➢la négation (NON, PAS) notée ¬
si x n'est pas pair alors il n'est pas multiple de 4 : ¬b ⇒ ¬a
➢l'équivalence, notée ⇔
2012 est bissextile équivaut à 2012 a 366 jours, a ⇔ b
➢(a ⇒ b) ⇔ (¬b ⇒ ¬a) mais on n'a pas (a ⇒ b) ⇔ (¬a ⇒ ¬b)
(si x n'est pas multiple de 4 alors il n'est pas pair) est faux

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A quoi sert le calcul propositionnel
en mathématiques
c'est la base de toute démonstration
preuves assistées par ordinateur
pour donner des définitions inductives : par exemple
pour définir l'ensemble P des entiers pairs
0 ∈ P
n ∈ P ⇒ n + 2 ∈ P
en informatique
intelligence artificielle, bases de données ...
programmation logique (Prolog)
vérification de programme, spécification de
programme, conception sûre ...