Chapitre 3 Anneaux de polynômes - IMJ-PRG

Chapitre 3
Anneaux de polynˆomes
3.1 Crit`eres d’irr´eductibilit´e
D´efinition 3.1.1. Soit Aun anneau commutatif int`egre. Un polynˆome
P∈A[X]est primitif si et seulementsi 1est PGCD de ses coefficients (les
coefficients sontpremiers entre eux dans leur ensemble).
On note Q(A)le corps des fractions de A.L’anneau A[X]est (isomorphe `a)
un sous-anneau de Q(A)[X]
Proposition 3.1.2. Soit P∈A[X]un polynˆome non constant (de degr´e
sup´erieur ou ´egal `a 1).
1. Si Pest irr´eductible dans A[X],alors il est primitif.
2. Si Pest primitif et irr´eductible dans Q(A)[X],alors il est irr´eductible
dans A[X].
R´eduction des coefficients
Proposition 3.1.3. Soit Iun id´eal dans l’anneau commutatif A,et Jl’id´eal
engendr´epar Idans A[X].Lasurjection canonique π:A→A/I s’´etend en
un morphisme d’anneau :
Π:A[X]→A/I[X]
P=X
k
akXk7→ X
k
akXk,
et induit un isomorphisme :A[X]/J ≈A/I[X].
L’image Π(P)est appel´ee la r´eduction de Pmodulo I.Le coefficientdominant
d’un polynˆome Pest le coefficientde plus haut degr´e.
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Corollaire 3.1.4. Si Iest un id´eal premier de A,alors J=(I)est un id´eal
premier dans A[X].
Proposition 3.1.5. Soit P∈A[X]un polynˆome primitif non constant,
et Iun id´eal premier qui ne contient pas le coefficient dominant de P.
Si la r´eduction de Pmodulo Iest irr´eductible dans A/I[X],alors Pest
irr´eductible dans A[X].
3.2 Factorialit´edes anneaux de polynˆomes
D´efinition 3.2.1. Soit Aun anneau factoriel. On appelle contenude
P∈A[X]un PGCD deses coefficients. Il existe et est unique aux inver-
sibles pr`es.
On notera c(P)le contenude P:une classe d’´el´ements associ´es ou un
repr´esentant.
Remarque 3.2.2.Un polynˆome est primitif si et seulementsi son contenuest
inversible.
Proposition 3.2.3. Leproduit de deux polynˆomes primitifs `a coefficients
dans un anneau factoriel est un polynˆome primitif.
Corollaire 3.2.4. Pour Pet Qdans A[X],avecAfactoriel, on a
c(PQ)=c(P)c(Q).
Corollaire 3.2.5. Soit Aun anneau factoriel. Si P∈A[X]est divisible
dans Q(A)[X]par un polynˆome primitif Q∈A[X],alors Pest divisible par
Qdans A[X].
Proposition 3.2.6. Soit Aun anneau factoriel. Tout polynˆome irr´eductible
de A[X]est premier.
Th´eor`eme 3.2.7. a) Si Aest un anneau factoriel, alors l’anneau A[X]est
factoriel.
b) Les polynˆomes constants irr´eductibles dans A[X]sont les irr´eductibles de
A.
c) Les polynˆomes non constants irr´eductibles dans A[X]sont les polynˆomes
non constants primitifs de A[X]qui sont irr´eductibles dans Q(A)[X].
Proposition 3.2.8 (Crit`ere d’Eisenstein).Soient Aun anneau factoriel, f
un ´el´ement irr´eductible de A,et
P=
n
X
k=0
akXk
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un polynˆome non constant primitif dans A[X].
Si :f6|an,∀i<nf|ai,et f26|a0,alors Pest irr´eductible dans A[X].
Exercice3.2.9.Montrer que si Aest un anneau int`egre, les diviseurs d’un
monˆome de A[X]sontdes monˆomes. 7/10/2010
3.3 Polynˆomes en une variable :compl´ements
3.3.1 La division euclidienne ´etendue
Th´eor`eme 3.3.1. Soient U=anXn+· · · +a0et V=bmXm+· · · +b0deux
polynˆomes dans A[X],avecn≥m−1et bm6=0.Il existe un unique couple
(Q, R)de polynˆomes de A[X],tels que :
bn−m+1
mU=VQ+R,et (R=0ou deg(R)<deg(Q) ) .
3.3.2 Fonctions polynomiales et ´evaluation
L’´evaluation permet de d´efinir un morphisme d’anneau :
E:A[X]→A(A, A)
P7→ [a7→ P(a)]
L’image de ce morphisme est le sous anneau des fonctions polynomiales sur
A.
Proposition 3.3.2. a) Si Aest infini, alors Eest injective.
b) Si Aest un corps fini `a q´el´ements, alors le noyau de Eest l’id´eal engendr´e
par Xq−X.
3.3.3 D´erivation
Caract´eristique d’un anneau
Si Aest un anneau commutatif, alors il existe un unique morphisme d’anneau
η:Z→A.
D´efinition 3.3.3. La caract´eristique d’un anneau Aest le g´en´erateur(entier
positif ou nul) de l’id´eal Ker(η).
Remarque 3.3.4.L’image de ηest isomorphe `a Z/Ker(η). Pour un anneau
int`egre, c’est un sous-anneau int`egre. La caract´eristique d’unanneau int`egre
est soit z´ero, soit un nombre premier.
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Proposition 3.3.5. Soit Aun anneau commutatif int`egrede caract´eristique
p>0,alors l’application
F:A→A
a7→ ap
est un morphisme d’anneau.
D´erivation
La d´erivation est l’application :
D:A[X]→A[X]
P=PkakXk7→ D.P =P′=Pk>0akkXk−1
Th´eor`eme 3.3.6. Soit Aun anneau int`egre, et P∈A[X].
1. Si la caract´eristique de Aest nulle, on a:
DP=0⇔P∈A.
2. Si la caract´eristique de Aest un nombrenon nul p(premier), alors :
DP=0⇔P∈A[Xp].
Th´eor`eme 3.3.7 (Formule de Taylor).Soit Aun anneau commutatif int`egre
de caract´eristique nulle, pour tout P∈A[X],Dk.P (0) est divisible par k!,
et :
P=X
k
DkP(0)
k!Xk.
3.4 Polynˆomes `anvariables
Soit Aun anneau commutatif et X1,...,Xndes ind´etermin´ees.On note
A[X1,...,Xn]l’ensemble des familles d’´el´ements de Aindex´ees par Nn,avec
un nombre fini de termes non nuls, not´ees comme combinaisons lin´eaires des
Xk1
1. . . Xkn
n,kj≥0:les ´el´ements de A[X1,...,Xn]s’´ecriventsous laforme :
P=X
k1,...,kn
ak1,...,knXk1
1. . . Xkn n=X
k
akXk1
1. . . Xkn n.
A[X1,...,Xn]est muni des op´erations :
(X
k
akXk1
1. . . Xkn
n)+(X
k
bkXk1
1. . . Xkn
n)=X
k
(ak+bk)Xk1
1. . . Xkn
n.
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(X
k
akXk1
1. . . Xkn
n)(X
l
blXl1
1. . . Xln
n)=X
ν
cνXν1
1. . . Xνn
n,
avec cν=X
k+l=ν
akbl,
et de l’applicationde structure :
η:A→A[X1,...,Xn]
a7→ aX0=a
Proposition 3.4.1. A[X1,...,Xn]est une alg`ebresur A.
Remarque 3.4.2.L’application qui d´efinit la structure d’alg`ebre est injec-
tive, d’image les polynˆomes constants ;Aest identifi´eau sous-anneau de
A[X1,...,Xn]form´epar les polynˆomes constants.
Proposition 3.4.3 (Propri´et´euniverselle).Soit Bune alg`ebresur l’anneau
commutatif A,et b1,...,bndes ´el´ements de B,alors il existe un unique mor-
phisme d’alg`ebreE(b1,...,bn):A[X1,...,Xn]→Bqui envoie chaque Xisur
bi.
Proposition 3.4.4. Les anneaux A[X1,...,Xn−1,Xn]et
A[X1,...,Xn−1][Xn]sont isomorphes.
Corollaire 3.4.5. Si l’anneau Aest factoriel, alors A[X1,...,Xn]est facto-
riel.
D´efinition 3.4.6. Le multidegr´ed’un monˆome ak1,...,knXk1
1. . . Xkn
nest la
suite des exposants (k1,...,kn);son degr´etotal ou simplementson degr´e
est la somme des exposants :|k|=Piki.
Le degr´ed’un polynˆome non nul est le maximum des degr´es(totaux) de ses
monˆomes.
Un polynˆome est homog`ene si et seulementsi tous ses monˆomesontmˆeme
degr´e(total).
Proposition 3.4.7. Lepolynˆome P∈A[X1,...,Xn]est homog`ene si et
seulement si P(X1T, . . . , XnT)∈A[X1,...,Xn][T]est un monˆome.
Corollaire 3.4.8. On suppose que Aest un anneau int`egre. Si le polynˆome
homog`ene P∈A[X1,...,Xn]admet une r´eduction P=QR,alors Qet R
sont homog`enes.
D´emonstration. Le polynˆome
M(T)=P(TX1,...,TXn)=Q(TX1,...,TXn)R(TX1,...,TXn)∈A[X1,...,Xn][T]
est un monˆome, donc les deux polynˆomes en T:Q(TX1,...,TXn)et
R(TX1,...,TXn), sontdes monˆomes.
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