2014/2015 Sidi Belabes examen 02

Dimanche 31 Mai 2015 Année 2014-2015
ANALYSE II
CORRIG ´ E DE
L′EXAMEN
No2
1•Déterminer a, b et c∈R.tels que : −2
x(x2−1) =a x+b x−1+c x+ 1·
2•Résoudre : x(x2−1)y′+ 2y=x2.
Exercice.
Solution/
1•2
x(1 −x2)=2 x−1 x−1−1 x+ 1·
2•Équation homogène associée : x(x2−1)y′+ 2y= 0,après séparation des variables, on a :
y′
y=2 x(1 −x2)=2 x−1 x−1−1 x+ 1 =⇒ln 
y
C= ln 
x2
x2−1
=⇒y=Cx2
x2−1·
Variation de la constante, posons :
y=C(x)x2
x2−1,substituant dans l’équation différentielle donnée, on trouve après calcul :
x(x2−1)C′(x)x2
x2−1=x2=⇒C′(x) = 1 x=⇒C(x) = ln |x|+k, k ∈R.
D’où la solution générale y=(ln |x|+k)x2
x2−1,ou encore pour kconstante réelle quelconque,
y=x2ln |x|
x2−1+k x2 x2−1·
1•Toutes les solutions sont continues en x= 0.
2•Pour k= 0, seule la fonction c’est à dire la fonction y=x2ln |x|
x2−1est continue sur
Rtout entier.
x2ln |x|
x2−1=
x2ln(−x)
x2−1,si x∈]− ∞,−1[∪]−1,0[,
1
2,si x=±1,
0,si x= 0,
x2ln x
x2−1,si x∈]0,1[∪]1,+∞[.
Remarque.

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Résoudre les équations différentielles suivantes :
y′=y
x+y2 x2(A)
yy′
p1−y2=π
2cos x(B)
Exercice.
Solution/
L’équation y′=y
x+y2 x2(A), peut être considérée comme différentielle HOMOGÈNE, ou de
RICATTI, ou BERNOULLI.
1ère Méthode : Équation différentielle homogène
y′=y
x+y2 x2
posons t=y
x=⇒y=xt =⇒y′=xt′+t
remplaçons dans l’équation, on trouve :
xt′=t2=⇒dt
t2=dx x=⇒ −1 t= ln x+K1=⇒−1 t=−x y= ln x+K1.
On a finalement :
y=−x
ln x+K1
=x
−ln x−K1
=x
−ln x+C·
2ème méthode : Équation de Bernoulli ( ou de RICATTI avec solution particulière y0= 0) :
y= 0 est une solution de l’équation (A), cherchons d’autres solutions non nulles.
y′=y
x+y2 x2⇐⇒ x2y′−xy =y2(A1).
Posons donc z=1
y,l’équation (A1)devient x2z′+xz =−1 (A2), c’est une équation linéaire
du premier ordre avec second membre. L’équation homogène associée est donc
x2z′+xz = 0 =⇒z′
z=−1 x=⇒ln 
z
K=−ln |x|=⇒z=K x·
Pour donner la solution générale de (A2), il suffit de faire la variation de la constante, posons
alors z=K(x)
x,en substituant dans (A2), on trouve
x2K′(x)
x=−1 =⇒K′(x) = −1 x=⇒K(x) = −ln x+C.
On a : z=−ln x+C
x=1 y,=⇒y=x −ln x+C·
Finalement les solutions de (A)sont :
y= 0,et y=x
C−ln x·
(B)yy′
p1−y2=π
2cos x=⇒ydy
p1−y2=π
2cos xdx,
par intégration on obtient :
−p1−y2=π
2sin x+C, ou encore
y2+π
2sin x+C2
= 1.

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Soit l’équation différentielle du premier ordre :
xy′−y−xy2=−9x3,(F);
1•Déterminer a > 0pour que y0=ax soit une solution particulière de (F)
2•Soit le changement de fonction inconnue :
y=y0−1
u·
Montrer que (F)se transforme en
xu′+ (6x2+ 1)u=x(G)
3•Résoudre (G)sur ]0,∞[.
4•En déduire les solutions de (F)sur ]0,∞[.
Exercice.
Solution/
1•Soit y0=ax, substituant dans (F), on a :
x(a)−(ax)−x(a2x2) = −a2x3=−9x3⇐⇒ a2= 9 comme a > 0, donc a= 3.
2•Soit y= 3x−1
u,en substituant dans (F), on a
x3 + u′
u2−3x−1 u−x9x2+1 u2−6x u=−9x3
=⇒xu′+ (6x2+ 1)u=x. (G)
3•Résolution de (G)sur ]0,∞[.
Soit xu′+ (6x2+ 1)u= 0 (G.H), l’équation homogène associée. On a
u′
u=−6x2+ 1 x=−6x−1 x
=⇒ln 
u
K=−3x2−ln x=⇒u=Ke−3x2 x·
On a donc la solution générale de l’équation homogène. Pour résoudre (G), utilisons la variation
de la constante, posons :
u=K(x)e−3x2
x,dérivons et remplaçons dans (G), on obtient :
xK′(x)e−3x2
x=x=⇒K′(x) = xe3x2=⇒K(x) = e3x2 6+C1.
D’où la solution générale de (G) :
u=K(x)e−3x2
x= e3x2 6+C1!e−3x2 x=1 6x+C1
e−3x2
x·
4•La solution générale de (F) est donnée par
y= 3x−1
u= 3x−1
1
6x+C1
e−3x2
x
= 3x−6x
1 + Ce−3x2= 3xC−e3x2 C+e3x2·
Il y’a aussi la fonction y0= 3xqui est une solution particulière, (cas où C−→ ∞).
Pour le cas où C= 0, on a l’autre solution particulière y0=−3x.

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Soient l’équation différentielle du deuxième ordre,
x2y′′ −2xy′+ 2y= 3x2−5x, (E);
et l’équation différentielle homogène associée :
x2y′′ −2xy′+ 2y= 0,(E.H.).
1•Trouver toutes les valeurs n∈Npour que y0=xnsoit une solution de l’équation
(E.H.).
2•En déduire la solution générale de l’équation différentielle (E.H.).
3•Dans (E), on pose y=x.z, où zest une fonction de x. Donner l’équation diffé-
rentielle que
vérifie z, puis donner sa solution générale.
4•En déduire la solution générale de l’équation différentielle (E).
Exercice.
Solution/
1•Soit y0=xn, remplaçons dans (E.H.), on obtient
n(n−1)xn−2nxn+ 2xn= 0 ⇐⇒ (n2−3n+ 2)xn= 0,donc ndoit vérifier n2−3n+ 2 = 0,
équation qui a pour racines n0= 1 et n1= 2.
2•Les deux fonctions xet x2, sont donc solutions de l’équation homogène, comme elles sont
linéairement indépendantes, la solution générale de l’équation différentielle linéaire homogène
de deuxième ordre (E.H) est donc
Y=c1x+c2x2.
3•Posons y=xz =⇒y′=xz′+z=⇒y′′ =xz′′ + 2z′, remplaçons dans (E), on obtient :
x2(xz′′ + 2z′)−2x(xz′+z) + 2xz = 3x2−5x
x3z′′ = 3x2−5x
z′′ =3
x−5 x2(K)
La solution générale de l’équation différentielle (K) est donc :
z′= 3 ln |x|+5
x+C1=⇒z= 3(xln |x| − x) + 5 ln |x|+xC1+A= (3x+ 5) ln |x|+xB +A.
4•La solution générale de (E), est donc :
y=xz =x(3x+ 5) ln |x|+xB +A) = (3x2+ 5x) ln |x|+Ax +Bx2.