Calcul int gral

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CALCUL INTÉGRAL
1. Définition de l'intégrale dans le cas d'une fonction continue positive sur un segment [a, b]
1.1. Définition L'unité d'aire
Soit P un plan muni d'un repère orthogonal (O ; ,ij
rr
).
Soient I, J et K les points définis par :
OI
uur = i r, OJ uuur =jr et OK uuur =i r+j r
On appelle unité d'aire (notée en abrégé u.a.) l'unité de mesure des aires telle que :
Aire(rectangle OIKJ) = 1 u.a.
Remarques :
· OIKJ peut être un carré lorsque le repère (O ; ,ij
rr
) est orthonormé.
· Si l'on a, par exemple, OI = 3 cm et OJ = 2 cm, alors une unité d'aire correspond à 6 cm2.
1.2. Définition Notion d'intégrale d'une fonction continue positive en tant qu'aire
Soit P un plan muni d'un repère orthogonal (O ; ,ij
rr
).
Soient :
· a et b deux réels avec a  b.
· ¦ une fonction continue (ou continue par morceaux(1)) et positive sur le segment(2) [a, b].
On appelle intégrale de ¦ de a à b l'aire, exprimée en u.a., du domaine D suivant :
D = {M(x, y) Î P tels que a  x  b et 0  y  ¦(x)}
(D est le domaine délimité par la courbe de ¦, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équations x = a et x = b)
On note cette quantité : ¦
ò()t t
a
bd ou ()d
b
axx¦
ò
Les réels a et b s'appellent les bornes de l'intégrale.
Illustration :
Remarques :
La variable t (ou x ou autre) figurant dans l'intégrale est "muette" ; elle peut être notée par toute autre lettre. Le
symbole dt (ou dx) ne joue aucun rôle pour le moment, si ce n'est de préciser quelle est la variable.
(1) Cette hypothèse est indispensable pour définir l'intégrale d'une fonction en escalier.
(2) Un segment est un intervalle fermé borné.
j
r
i
r
i
r
y
J
K
x
I
O
1 u.a.
y
C¦
x
b
D
1
O1
a
1 u.a. = une unité d'aire
L'aire de D est de mesure
FINIE. En effet, ¦ est continue
sur le segment [a, b] donc
majorée. Il existe donc un
rectangle contenant D.

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Premiers exemples :
Rapportons le plan à un repère orthonormé (O ; ,ij
rr
) avec || i
r|| = || j r|| = 1 cm. (Ainsi 1 u.a. correspond à 1 cm2)
Cas d'une fonction ¦ égale à une constante positive (notée k Î +) sur [a, b] alors :
¦
ò()t t
a
bd= d
b
akt
ò= (b - a)k u.a .
(On a simplement appliqué la formule longueur ´ largeur pour calculer l'aire d'un rectangle !)
En particulier, si ¦ est nulle sur [a, b] alors : ¦
ò()t t
a
bd= 0
Cas d'une fonction ¦ affine (notons ¦(x) = mx + p) supposée positive sur [a, b] alors :
¦
ò()t t
a
bd= Aire du trapèze ABB'A' = (petite base + grande base) hauteur
2
´
¦
ò()t t
a
bd= ()
2
AABBAB
¢¢
+= ()()
2
mapmbpba+++-
=
1
2
m(b
2
- a
2
) + p(b - a)
Cas de la parabole. Soit ¦ la fonction définie sur  par :
¦(x) = x2
On a vu (voir le DM 1 sur la quadrature de la parabole) qu'alors :
12
0dxx
ò=
1
3
Cas d'une fonction en escalier (toujours supposée positive) sur [a, b] :
Il s'agit des fonctions pour lesquelles il existe des réels a0, a1, ..., an vérifiant :
a = a0 < a1 < ... < an = b
tels que ¦ soit constante sur chacun des intervalles ouverts ]ai, ai+1[ (0  i  n - 1)
b
a
k
y
J
x
C¦
D
1 u.a.
I
O
b
a
mb + p
ma + p
y
J
x
C¦
D
1 u.a.
I
O
A'
B'
B
A
L'ensemble {a0 ; a1 ; ... ; an} est
appelé une subdivision adaptée à ¦.
La formule ci-contre
n'est pas à connaître
par cœur.

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En notant li la valeur constante de ¦ sur ]ai, ai+1[, on a alors :
¦
ò()t t
a
bd=
( )
1
1
0
n
iii
i
aa
-
+
=
-l
å
(Pas de panique, cette formule n'est qu'une somme d'aires de rectangles !)
Illustration avec n = 4.
Remarques :
· ¦ peut prendre n'importe quelle valeur en chacun des points ai ; cela ne modifie pas l'aire.
· La formule donnée ci-dessus pour les fonctions en escaliers en fondamentale. C'est cette formule
(généralisée à des li réels quelconques) qui sera prise en définition plus tard (classes post-bac). En effet,
d'une part, il est facile de prouver les propriétés (telle que la linéarité) des intégrales pour les fonctions en
escaliers. D'autre part, il y a un résultat très fort qui est que "toute fonction continue sur un segment peut
être approchée par des fonctions en escaliers" ce qui permet d'étendre les propriétés obtenues sur les
fonctions en escaliers aux fonctions continues. C'est ainsi que l'on construit, par exemple, l'intégrale dite de
Riemann.
Exemple fondamental : quadrature de l'hyperbole
Notons, pour tout x Î [1, +¥[, S(x) l'intégrale : S(x) = 1
1d
xt
t
ò
D'après la définition 1.2., S(x) est l'aire du domaine :
D(x) = {M(t, y) Î P tels que 1  t  x et 0  y  ¦(t)}
(D(x) est le domaine délimité par la courbe de la fonction inverse, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations t = 1 et t = x)
Soit t0 un réel fixé de l'intervalle [1, +¥[.
Soit t un réel de l'intervalle [1, +¥[.
Distinguons deux cas :
Remarque : ¦ peut prendre
des valeurs quelconques en
les points de la subdivision,
cela n'aura pas d'incidence
sur l'aire. des rectangles.
y
l1
l0
l4
l3
x
Oa = a0a4 = b
a3 a2 a1

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Cas 1 : t0  t. Alors S(t) - S(t0) est l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction inverse, l'axe des
abscisses et les deux droites verticales d'équations x = t0 et x = t.
Or, par décroissance de la fonction inverse, on a : 1
t  0
1
t
S(t) - S(t0) est encadrée par l'aire de deux rectangles, de largeur (t - t0) et de hauteurs respectives 1
t et 0
1
t :
0
tt
t
-  S(t) - S(t0)  0
0
tt
t
-
On a donc : 1
t 0
0
()()StSt
tt
-
-
0
1
t
En passant à la limite lorsque t tend vers t0, le théorème des gendarmes permet d'affirmer que l'accroissement
moyen 0
0
()()StSt
tt
-
- admet une limite en t0 égal à 0
1
t, la fonction S est donc dérivable à droite en t0.
Cas 2 : t  t0. Un raisonnement analogue à ci-dessus montre que S est dérivable à gauche en t0.
Bilan : on a donc : S'(t0) = 0
1
t
Ce raisonnement étant valable pour tout réel t0 de [1, +¥[, on a donc pour tout x de [1, +¥[ :
S'(x) = 1
x
Considérons maintenant la fonction ¦ définie sur [1, +¥[ par :
¦(x) = S(x) - ln x
La fonction ¦ est dérivable sur [1, +¥[ (car la fonction S et le logarithme népérien le sont) et on a :
¦'(x) = S'(x) - (ln x)' = 1
x - 1 x= 0
En conséquence, ¦ est constante sur [1, +¥[ : ¦(x) = k
Or, ¦(1) = S(1) - ln 1 = 0
D'où k = 0 et ¦ est nulle sur [1, +¥[, on conclut : S = ln
On a montré que pour tout réel x de [1, +¥[ : 1
1d
xt
t
ò= ln x
On montre, de même, ce résultat pour x Î ]0 ; 1[.
y
1
t
t0
1
O
x
1
t
0
1
t

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Exercice :
Soit ¦ la fonction définie sur [-1 ; 1] par : ¦(x) = 2
1x-
1.Vérifier que la courbe C¦ représentant ¦ est le demi-cercle de centre O et de rayon 1 qui est situé dans le
demi-plan des ordonnées positives.
2.En déduire : 12
01dxx-
ò=
4
p
Solution :
1.Soit M(x, y) un point de C¦ . On a alors : y = 2
1x- 0
Donc M est situé dans le demi-plan des ordonnées positives.
De plus : OM2 = x2+ 2 y= x2+ 1 -x2= 1
Et comme OM  0 (c'est une distance) : OM = 1
Donc M est situé sur le demi-cercle de centre O et de rayon 1 correspondant aux ordonnées positives.
Réciproquement, soit N(a, b) un point de ce demi-cercle. On a alors :
b  0 et ON2 = 1
b  0 et 22 ab+= 1
b  0 et 2 b= 1 - 2 a
Et comme a Î [-1, 1], on a 1 - 2 a 0, d'où :b = 2
1a-
b = ¦(a)
N Î C¦
On a montré que la courbe C¦ coïncide avec le demi-cercle de centre O et de rayon 1 qui est situé dans le
demi-plan des ordonnées positives.
2.La quantité 12
01dxx-
òreprésente l'aire du domaine délimité par C¦, l'axe des abscisses et les droites
verticales d'équations respectives x = 0 et x = 1. Ce domaine est un quart de disque de rayon 1. Son aire est
donc égale à 4
p :
12
01dxx-
ò=
4
p
u.a.
y
1
C¦
x
-11
O