r ψ a = 0

MÉCANIQUE QUANTIQUE
PHY 731
n
l
m
kk′
(r)
ψ
a(k)|0 = 0
〈
David S´ en´ echal
D´ epartement de physique
Facult´ e des sciences
Universit´ e de Sherbrooke
29 d´ ecembre 2009

2

Table des mati` eres
1 Principes Fondamentaux et Revision 7
1.1 Rappels de mécanique classique .............................. 7
1.1.1 Équations de Lagrange ................................ 7
1.1.2 Équations de Hamilton ............................... 7
1.1.3 Exemple : oscillateur harmonique simple ..................... 9
1.2 Quantification canonique .................................. 10
1.2.1 Espace des états .................................... 10
1.2.2 Observables et opérateurs .............................. 11
1.2.3 Probabilités et processus de mesure ........................ 11
1.2.4 Quantification canonique .............................. 12
1.2.5 Évolution temporelle ................................. 13
1.2.6 Représentation en coordonnées ........................... 13
1.3 Puits et barrières de potentiel en une dimension ..................... 14
1.3.1 Effet tunnel et matrice de transfert ......................... 14
1.3.2 Effet tunnel résonant ................................. 17
1.4 Oscillateur harmonique ................................... 18
1.4.1 États propres et opérateurs d’échelle ........................ 18
1.4.2 États cohérents .................................... 20
1.5 Problèmes ........................................... 23
2 Théorie de la symétrie 27
2.1 Opérations de symétrie .................................... 27
2.1.1 Symétries et transformations unitaires ....................... 27
2.1.2 Translations et représentation en impulsion .................... 29
2.1.3 Évolution temporelle ................................. 31
2.1.4 Parité .......................................... 32
2.1.5 Systèmes composites ................................. 33
2.2 Théorie du moment cinétique ................................ 33
2.2.1 Générateurs et moment cinétique .......................... 33
2.2.2 États propres du moment cinétique ........................ 35
2.2.3 Matrices de rotation ................................. 36
2.2.4 Composition du moment cinétique ......................... 38
2.3 Théorie des groupes ..................................... 38
2.3.1 Définitions ....................................... 38
2.3.2 Exemples ........................................ 39
3

4TABLE DES MATI ` ERES
2.3.3 Représentations .................................... 39
2.3.4 Algèbres de Lie .................................... 41
2.3.5 Les groupes SU(2)et SO(3)............................. 41
2.4 Lois de conservation ..................................... 43
2.4.1 Théorème de Noether ................................ 43
2.4.2 Écoulements de symétrie .............................. 44
2.5 Problèmes ........................................... 44
3 Théorie des perturbations 49
3.1 Perturbations stationnaires .................................. 49
3.1.1 Série de Brillouin-Wigner .............................. 49
3.1.2 Renormalisation de la fonction d’onde ....................... 51
3.1.3 Exemple : polarisabilité d’un atome ........................ 52
3.2 Perturbations dépendant du temps ............................. 53
3.2.1 Point de vue d’interaction .............................. 53
3.2.2 Règle d’or de Fermi .................................. 54
3.2.3 Perturbation adiabatique .............................. 57
3.2.4 Processus de désintégration ............................. 57
3.2.5 Perturbations harmoniques ............................. 59
3.2.6 Transitions du deuxième ordre ........................... 59
3.3 Diffusion ............................................ 60
3.3.1 Équation intégrale de la diffusion ......................... 60
3.3.2 Section efficace .................................... 63
3.3.3 Section efficace et règle d’or de Fermi ....................... 63
3.3.4 Diffusion de Coulomb ................................ 64
3.4 Problèmes ........................................... 65
4 Deuxième Quantification 69
4.1 Espace de Fock ........................................ 69
4.1.1 États symétrisés .................................... 69
4.1.2 Opérateurs de création et d’annihilation ...................... 71
4.1.3 États antisymétrisés ................................. 72
4.1.4 Relations d’anticommutation ............................ 73
4.1.5 Densité et nombre de particules .......................... 74
4.1.6 États de base différents ................................ 74
4.2 Hamiltonien à un corps ................................... 76
4.2.1 Opérateurs à un corps ................................ 76
4.2.2 États propres ..................................... 78
4.2.3 Gaz de bosons et de fermions libres ........................ 80
4.3 Interaction à deux corps ................................... 81
4.3.1 Opérateurs à deux corps ............................... 81
4.3.2 Formulation lagrangienne .............................. 84
4.4 Approximation de Hartree-Fock .............................. 85
4.4.1 Méthode du champ auto-cohérent ......................... 85
4.4.2 Théorème de Wick .................................. 86
4.4.3 Équations de Hartree-Fock ............................. 88
4.5 Annexe : Permutations .................................... 90
4.6 Problèmes ........................................... 91

TABLE DES MATI ` ERES 5
5 Applications à la physique du solide 95
5.1 Fonctions de Bloch et de Wannier .............................. 95
5.1.1 Réseaux ........................................ 95
5.1.2 Fonctions de Bloch .................................. 97
5.1.3 Fonctions de Wannier ................................ 99
5.2 Modèle d’électrons localisés .................................101
5.2.1 Modèle de Hubbard .................................101
5.2.2 Échange : modèle de Heisenberg ..........................103
5.2.3 Super-échange ....................................104
5.3 Ondes de spin .........................................106
5.3.1 Cas ferromagnétique .................................107
5.3.2 Cas antiferromagnétique ...............................109
5.4 Problèmes ...........................................114
6 Bosons 119
6.1 Oscillateurs couplés ......................................119
6.1.1 Oscillateurs réels ...................................119
6.1.2 Dégénérescence des fréquences ...........................121
6.1.3 Chaîne linéaire d’oscillateurs ............................122
6.1.4 Translations et impulsion cristalline ........................123
6.2 Champ scalaire ........................................125
6.2.1 Limite continue ....................................125
6.2.2 Relation de dispersion et énergie du vide .....................128
6.2.3 Terme de masse ....................................130
6.2.4 Cas tridimensionnel .................................131
6.2.5 Fonctions propres générales .............................131
6.3 Photons .............................................133
6.3.1 Rappels d’électromagnétisme ............................134
6.3.2 Fonctions propres ...................................134
6.3.3 Polarisations ......................................136
6.4 Théorème de Noether .....................................137
6.4.1 Transformations continues .............................137
6.4.2 Transformations infinitésimales et théorème de Noether ............139
6.4.3 Tenseur d’énergie-impulsion ............................141
6.4.4 Champ scalaire complexe ..............................142
6.5 Problèmes ...........................................144
7 Interactions lumière-matière 151
7.1 Hamiltonien d’interaction ..................................151
7.1.1 Force de Lorentz ...................................151
7.1.2 Couplage minimal et invariance de jauge .....................153
7.1.3 Courant paramagnétique ..............................154
7.2 Émission et absorption ....................................156
7.2.1 Taux d’émission et d’absorption ..........................156
7.2.2 Rayonnement dipolaire électrique .........................157
7.2.3 Règles de sélection ..................................159
7.2.4 Section d’absorption et règle de somme ......................160
7.2.5 Effet photoélectrique .................................161