cours3 2015_print

Les buts de cet amphi
1. Comprendre la signification physique du formalisme mis en place
Quelle est l’information acquise lors d’une mesure ?
Mesure des grandeurs physiques
Formulation du principe 3, d’abord sous une
forme « faible », puis sous sa forme « forte »
2. Exploiter le lien entre « quantités physiques » et « opérateurs »
Valeurs propres et fonctions propres,
résolution de l’équation de Schrödinger
Chapitre 3
+
§3.3 du chapitre 4
Jean Louis Basdevant
12 Leçons de Mécanique
Quantique
2
Mesures de position et d’impulsion
Particule ponctuelle de fonction d’onde
Densité de probabilité pour la position :
interférence d électrons
(Hitachi)
1.
La mesure des grandeurs physiques :
Mesure d’impulsion, par exemple par une expérience de temps de vol
position, impulsion, énergie, …
qui s’écrit aussi (isométrie + dérivation) :
Structure commune en termes d’opérateurs
Actions des opérateurs sur les états
A. l'opérateur agit seulement sur la fonction !(x), et l'opérateur
agit seulement sur la transformée de Fourier "(p) de !(x)
B. les opérateurs
et
Valeur moyenne de la position
: multiplication par x
agissent tous les deux sur !(x) et "(p)
C. l'opérateur Hamiltonien
la fois sur !(x) et "(p)
(énergie totale) est le seul à agir à
Valeur moyenne de l’impulsion
: dérivation par rapport
à x (à
près)
Rappel du produit scalaire « naturel » dans L2 :
Comment construire l opérateur
La mesure d une grandeur physique
quantité physique
Principe 3 (version « faible »)
À toute grandeur physique
position
, on peut associer une « observable »
action de l’opérateur associé sur
multiplication par
impulsion
: opérateur linéaire hermitien
agissant dans l’espace des fonctions d onde
Si on prépare un grand nombre de systèmes identiques tous dans l’état
et qu’on mesure A sur chacun, la moyenne
des résultats vaut
énergie totale
moment cinétique
Opérateur hermitien :
ce qui entraîne en particulier que
est réel
associé à A ?
Hamiltonien
opérateur moment
cinétique
Définition générale
On dit que
est une fonction propre de l’opérateur , associé à une
quantité physique A, si cette fonction n’est pas identiquement nulle et si
2.
Valeurs propres et fonctions propres d’un opérateur
Le nombre a# (même dimension que A)
est la valeur propre associée à
Théorème spectral : en dimension finie, un opérateur hermitien (du type
de ceux qui sont associés aux grandeurs physiques) est diagonalisable :
on peut former une base de l’espace de fonctions avec ses vecteurs propres.
Subtilités avec notre espace de fonctions, qui est de dimension infinie...
Les fonctions propres de l hamiltonien
L’exemple de l’opérateur impulsion
Valeurs propres q et fonctions propres
de l’impulsion
Fonctions qui vont jouer un rôle crucial pour étudier l’évolution des systèmes
:
(à une dimension)
La résolution de cette équation passe en général par un traitement numérique.
Il existe cependant quelques cas solubles analytiquement :
Les fonctions propres de l’impulsion sont les ondes planes.
potentiel harmonique
Le spectre de l’impulsion (ensemble de ses valeurs propres)
est l’ensemble des nombres réels
.
potentiel coulombien
potentiel constant par morceau
Sandwich de
Al Ga As – Ga As – Al Ga As
V (x)
Le puits carré infini
Les valeurs propres de l énergie du puits carré infini
Si on choisit E réelle négative : pas de solution
pour simplifier les notations:
Pour E réelle et positive : posons
s'écrit alors
x
0
(à vérifier en exercice)
L
Forme générale des solutions :
Limite en x = 0 :!
Limite en x = L :!
Les vecteurs d’onde k ne peuvent prendre que des valeurs discrètes :
conditions aux limites :
continue
et les valeurs propres pour l’énergie sont « quantifiées » :
Les « états stationnaires » du puits carré infini
Bilan pour le puits carré infini
E
E3
Les fonctions propres de l’hamiltonien s’écrivent donc
avec
Normalisation :
Ordres de grandeur
L’ensemble des
forme une « base » orthonormée de l’espace des
fonctions d’onde telles que
orthonormalité :
développement d’une fonction d’onde sur cette « base » :
Similaire à un développement d’une fonction périodique en série de Fourier
On considère :
- l'énergie E1 = EL d'un électron dans un puits
quantique de largeur L = 6 10-9 m = 6 nm
- l'énergie E1 = EN d'un nucléon (proton ou neutron)
dans un noyau de diamètre L = 4 10-15 m = 4 fm
A. El = 10 meV, EN = 10 MeV
B. El = 10 meV, EN = 1 GeV!
C. El = 1 eV, EN = 10 MeV
D. El = 1 eV, EN = 1 GeV
E2
E1
x
0
L
Émission de lumière par un puits quantique
nitrure de gallium
E2
3.
Quels résultats pour une mesure individuelle ?
L = 12
E1
0
L couches atomiques
L=6
Photon h ! = E2 - E1 = h c / "
Quantité physique A, décrite par l’observable
L
Spectre de valeurs propres
discret (ce qui exclut l’opérateur « impulsion »)
Base orthonormée de fonctions propres
Photo: P. Reiss/CEA
for the invention of efficient blue light-emitting diodes which
has enabled bright and energy-saving white light sources"
Préambule 1 : lien entre « résultats
de mesure » et « valeurs propres »
On s’intéresse à la mesure d une quantité physique A!
sur une particule préparée dans l’état
pour tout
:
Le résultat de la mesure de A est certain (ou prédéterminé)
si et seulement si l’état
est un état propre de l’observable
avec
Préambule 1 (suite)
E3
E2
E1
:
Preuve du sens réciproque de l’équivalence
On suppose que la particule est dans un état
tel que la quantité A
est « bien définie » : pas de fluctuations des résultats de mesure
Alors,
est état propre de
avec la valeur propre
.
Preuve du sens direct de l’équivalence
Si
, alors le résultat de la mesure de A est certain.
Par exemple, un état propre de l’hamiltonien est un état d’énergie bien définie.
Démonstration :
Conclusion : le résultat de la mesure de A est certain si et seulement si l’état
de la particule est un état propre de . Le résultat est la valeur propre associée.
Préambule 1 (suite)
Préambule 2 : qu’attend-on d’une mesure ?
Preuve du sens réciproque de l’équivalence
On suppose que la particule est dans un état
tel que la quantité A
est « bien définie » : pas de fluctuations des résultats de mesure
La mesure d’une quantité physique fournit un nombre (ou un ensemble
de nombres) qui apporte une information sur le système étudié.
Tailles d’une population :
Alors,
est état propre de
avec la valeur propre
taux d’apparition
.
taille
Démonstration :
Pour que l’information fournie ne soit pas factice, il faut que la même
mesure d’une même quantité (ici la taille d’un individu donné) à deux
instants « très proches » donnent le même résultat (répétabilité).
Conclusion : le résultat de la mesure de A est certain si et seulement si l’état
de la particule est un état propre de . Le résultat est la valeur propre associée.
Quel est l’état de la particule après une mesure ?
Exemple d’une mesure
d’énergie dans un puits
E3
E2
E1
état initial
à l’instant t2
à l’instant t1
mesure de
l’énergie :
résultat $%
Quelles sont les
valeurs possibles
de $ ?
Quel est l’état
après la mesure ?
une nouvelle
mesure de l’énergie
sur le même
système à un instant
t2 « très proche »
de t1 doit donner
avec certitude
le même résultat $%
cf. préambule 2
Pour que le résultat à l’instant t2 soit avec certitude égal à $, il faut
(cf. préambule 1) que:
(i) $ soit une des valeurs propres En de l’opérateur énergie
(ii) le système soit dans un état propre
mesure à t1 :!
« Instants très proches » : l’état du système n’évolue
pas de manière significative entre les deux mesures.
Les résultats possibles pour une mesure individuelle
Si on mesure la quantité physique A, les seuls résultats de mesure possibles
sont les valeurs propres de l opérateur .
Si la particule est avant la mesure dans l’état propre
résultat est avec certitude la valeur propre a#.
de
, alors le
Si la particule est avant la mesure dans un état quelconque
avec
alors le résultat sera aléatoirement une des valeurs propres a#.
Quelle est la loi de probabilité correspondante ?
Cette loi se déduit de :
de l’opérateur énergie à l instant t2
Loi de probabilité pour a# :
Version forte du principe de la mesure
On s’intéresse à la mesure d’une quantité physique
Valeurs propres a# et fonctions
propres orthonormées !# de
, d’observable
inconnu
avec
Principe 3 (version « forte »)
La probabilité p# de trouver le résultat a# est
Juste après une mesure ayant donné le résultat a# , la fonction d onde
de la particule est
, état propre associé à la valeur propre a#
Qu’apprend-on dans une mesure (II) ?
Si on dispose de N particules préparées dans le même état
inconnu, on peut en effectuant une fois la mesure de A sur chaque
particule déterminer les probabilités p#%
À partir de
appareil
de mesure
(classique)
0
Le résultat a d’une mesure individuelle de la grandeur physique A
est nécessairement une des valeurs propres a# de
appareil
de mesure
(classique)
0
Une mesure individuelle, sur une particule donnée, donne un renseignement
sur l’état du système après la mesure :
a# supposée ici non dégénérée
Avant la mesure :
inconnu
Qu’apprend-on dans une mesure (I) ?
a#1$
p1=N1/N
a#2$
p2=N2/N
a#3$
p3=N3/N
100
, on peut reconstruire
(au moins partiellement)
Si le résultat est #2,
l'état après
cette mesure est :
100
On ne peut pas, avec cette seule mesure, reconstruire l’état
On sait seulement que
n était pas nulle…
La fonction d’onde est modifiée de manière irréversible par la mesure :
« réduction du paquet d’ondes »
Évolution d’un état quelconque
On détermine les états propres de l’hamiltonien :
Les états
4.
Fonction d’onde initiale de la particule :
Etats propres de l’hamiltonien
et
Résolution de l’équation de Schrödinger
Alors la fonction d’onde à l’instant t vaut :
Démonstration : le
On se limite ici au cas où V ne dépend pas du temps :
proposé est-il solution de
?
La résolution d’un problème de mécanique quantique commence presque
toujours par la détermination des fonctions propres de l énergie.
Évolution d’un état quelconque
Les états propres de l’hamiltonien sont des « états stationnaires »
Si on prépare la particule dans un de ces états à t = 0 :
On détermine les états propres de l’hamiltonien :
Les états
forment une « base » de l’espace des fonctions d onde
forment une « base » de l’espace des fonctions d onde
alors la solution de l’équation de Schrödinger à l’instant t est
Fonction d’onde initiale de la particule :
Alors la fonction d’onde à l’instant t vaut :
La probabilité de présence n’évolue pas :
Démonstration : le
proposé est-il solution de
?
La résolution d’un problème de mécanique quantique commence presque
toujours par la détermination des fonctions propres de l énergie.
et il en va de même pour la valeur moyenne de toute quantité physique
Un état d’énergie bien définie n’est pas « en mouvement » !
Le chat de Schrödinger
Principe de superposition : si
et
« éligibles », alors la superposition
Le "chaton de Schrödinger" : expériences ?
sont des fonctions d’onde
l’est aussi.
Électron dans l’expérience des trous d’ Young :
« passé dans le trou de gauche » ET « passé dans le trou de droite »
Bonne question :
peut-on observer des superpositions
d'états quantiques "macroscopiquement distincts" ?
Beaucoup d'expériences possibles :
S. Haroche: champ électromagnétique micro-onde dans une cavité résonnante;
D. Wineland: mouvement d'un ion dans un piège électromagnétique.
Le dispositif diabolique
de Schrödinger :
Illustration avec un oscillateur harmonique "semi-classique » !
On attend un temps bien choisi
pour que la probabilité de
désintégration soit 0.5...
Le chat est-il dans l'état
???
Cette question est-elle bien posée ? Non ! (pas d'expérience)
2
Cette question est-elle absurde ? Non plus ! (expérience ?)
Le "chaton de Schrödinger" : expériences (I)
Image quantique simple d'un oscillateur harmonique "semi-classique"
Le "chaton de Schrödinger" : expériences (II)
Effets quantiques "macroscopiques" ?
On suppose que l'oscillateur de période T est
placé à t = 0 dans l'état:
x(t) = X sin(% t + &), p(t) = P cos(% t + &), P = m% X
Inégalités de Heisenberg !x !p " !/2
-& &
On peut construire un paquet d’onde Gaussien tel que
• les valeurs moyennes sont x(t) et p(t)
2!x0
• !x = !x0 = (! / (2m%))1/2
• !p = m% !x0 = (! m% / 2)1/2 donc !x !p = !/2
• l'amplitude X vérifie X >> !x0 ,
On a alors une oscillation "quasi-classique"
P(x)
x
-5!x0
+5!x0
Deux états de même amplitude X mais de phases
opposées ± & sont "macroscopiquement distincts" :
équivalents des états "mort" et "vivant" ?
1
ψ = √ (ψ{X,+ϕ} + ψ{X,−ϕ} )
2
-& &
2!x0
Que se passe-t-il quand les deux "branches"
de son mouvement vont se croiser à t = T/4 ?
A.
rien de spécial, car l'oscillateur est présent
ou pas (c'est-à-dire soit "mort" soit "vivant")
B. les deux "branches" se repoussent et
l'oscillateur fait demi-tour dans les deux cas
C. la densité de probabilité de présence est
modulée spatialement
Le "chaton de Schrödinger" : expériences (III)
Interférences quantiques "macroscopiques"
Le "chaton de Schrödinger" : expériences (III)
Interférences quantiques "macroscopiques"
1
- Peut-on observer l'état ψ = √ (ψ{X,+ϕ} + ψ{X,−ϕ} )
2
- On prépare 2N fois cet état (c'est difficile !), on mesure
x(t = 0) sur N états, et x(t = T/4) sur N autres états, et on
en déduit les distributions de probabilité correspondantes
-& &
2!x0
P(x, t = 0)
-5x0
P(x, t = T/4)
P(EX )
+5x0
x
signe
– dans! !%
quantique
00
+5E
0
- Lorsque X augmente, les franges sont de plus en plus serrées, et les
signes ± de la superposition se moyennent : perte de la "cohérence"
"OU" classique
décohérence
- On prépare 2N fois cet état (c'est difficile !), on mesure
x(t = 0) sur N états, et x(t = T/4) sur N autres états, et on
en déduit les distributions de probabilité correspondantes
-& &
2!x0
P(x, t = T/4)
P(x, t = 0)
signe + dans !%
classique ?
'x
- Les interférences observées sur P(x, t =T/4) prouvent le caractère quantique
de la superposition ! (dépendent du signe ± dans
)
"ET" quantique
1
2
- Peut-on observer l'état ψ = √ (ψ{X,+ϕ} + ψ{X,−ϕ} )
-5x0
+5x0
x
00
+5E
x
- En pratique, superpositions (et décohérence) observées pour des oscillateurs
optiques ou micro-ondes, ou pour le mouvement d'une particule piégée.
- Autres effets similaires : interférences de grosses molécules (virus ?),
cohérence quantique dans des boucles de supraconducteurs (SQUID), …
- Importance pratique considérable
pour le développement de futurs « ordinateurs quantiques »…