Mesure des grandeurs physiques

Les buts de cet amphi
1. Comprendre la signification physique du formalisme mis en place
Quelle est l’information acquise lors d’une mesure ?
Mesure des grandeurs physiques
Formulation du principe 3, d’abord sous une
forme « faible », puis sous sa forme « forte »
2. Exploiter le lien entre « quantités physiques » et « opérateurs »
Valeurs propres et fonctions propres,
résolution de l’équation de Schrödinger
Chapitre 3
+
§3.3 du chapitre 4
Jean Louis Basdevant
12 Leçons de Mécanique
Quantique
2
Mesures de position et d’impulsion
Particule ponctuelle de fonction d’onde
Densité de probabilité pour la position :
interférence d’électrons
(Hitachi)
1.
La mesure des grandeurs physiques :
Mesure d’impulsion, par exemple par une expérience de temps de vol
position, impulsion, énergie, …
qui s’écrit aussi (isométrie + dérivation) :
Structure commune en termes d’opérateurs
Valeur moyenne de la position
La mesure d’une grandeur physique
Principe 3 (version « faible »)
: multiplication par x
À toute grandeur physique
, on peut associer une « observable »
: opérateur linéaire hermitien
agissant dans l’espace des fonctions d’onde
Valeur moyenne de l’impulsion
: dérivation par rapport
à x (à
près)
Si on prépare un grand nombre de systèmes identiques tous dans l’état
et qu’on mesure A sur chacun, la moyenne
des résultats vaut
Opérateur hermitien :
Rappel du produit scalaire « naturel » dans L2 :
Comment construire l’opérateur
quantité physique
position
ce qui entraîne en particulier que
est réel
associé à A ?
action de l’opérateur associé sur
multiplication par
impulsion
2.
énergie totale
moment cinétique
Hamiltonien
opérateur moment
cinétique
Valeurs propres et fonctions propres d’un opérateur
Définition générale
L’exemple de l’opérateur impulsion
On dit que
est une fonction propre de l’opérateur , associé à une
quantité physique A, si cette fonction n’est pas identiquement nulle et si
Valeurs propres q et fonctions propres
Le nombre a! (même dimension que A)
est la valeur propre associée à
de l’impulsion
:
Les fonctions propres de l’impulsion sont les ondes planes.
Le spectre de l’impulsion (ensemble de ses valeurs propres)
est l’ensemble des nombres réels
.
Théorème spectral : en dimension finie, un opérateur hermitien (du type
de ceux qui sont associés aux grandeurs physiques) est diagonalisable :
on peut former une base de l’espace de fonctions avec ses vecteurs propres.
Subtilités avec notre espace de fonctions, qui est de dimension infinie...
Les fonctions propres de l’hamiltonien
V (x)
Le puits carré infini
Fonctions qui vont jouer un rôle crucial pour étudier l’évolution des systèmes
pour simplifier les notations:
(à une dimension)
La résolution de cette équation passe en général par un traitement numérique.
x
0
L
Il existe cependant quelques cas solubles analytiquement :
potentiel harmonique
potentiel coulombien
potentiel constant par morceau
Sandwich de
Al Ga As – Ga As – Al Ga As
conditions aux limites :
continue
Les valeurs propres de l’énergie du puits carré infini
Si on choisit E réelle négative : pas de solution
(à vérifier en exercice)
Les « états stationnaires » du puits carré infini
Les fonctions propres de l’hamiltonien s’écrivent donc
avec
Pour E réelle et positive : posons
s’écrit alors
Normalisation :
Forme générale des solutions :
L’ensemble des
forme une « base » orthonormée de l’espace des
fonctions d’onde telles que
Limite en x = 0 :!
orthonormalité :
Limite en x = L :!
développement d’une fonction d’onde sur cette « base » :
Les vecteurs d’onde k ne peuvent prendre que des valeurs discrètes :
et les valeurs propres pour l’énergie sont « quantifiées » :
Similaire à un développement d’une fonction périodique en série de Fourier
Émission de lumière par un puits quantique
Bilan pour le puits carré infini
E
E3
E2
E1
Ordres de grandeur
nitrure de gallium
E2
x
0
L
L=12 couches
atomiques
E1
0
L=6 couches
atomiques
L
• un électron dans un puits quantique de largeur L = 6 10-9 m
E1 = 10 meV
• un nucléon (proton ou neutron) dans un noyau de diamètre L = 4 10-15 m
E1 = 10 MeV
Photo: P. Reiss/CEA
Préambule 1 : lien entre « résultats
de mesure » et « valeurs propres »
3.
Le résultat de la mesure de A est certain (ou prédéterminé)
si et seulement si l’état
est un état propre de l’observable
Preuve du sens direct de l’équivalence
Quantité physique A, décrite par l’observable
Si
discret (ce qui exclut l’opérateur « impulsion »)
Base orthonormée de fonctions propres
pour tout
:
E2
E1
On s’intéresse à la mesure d’une quantité physique A!
sur une particule préparée dans l’état
Quels résultats pour une mesure individuelle ?
Spectre de valeurs propres
E3
, alors le résultat de la mesure de A est certain.
:
avec
Par exemple, un état propre de l’hamiltonien est un état d’énergie bien définie.
Préambule 1 (suite)
Préambule 2 : qu’attend-on d’une mesure ?
Preuve du sens réciproque de l’équivalence
On suppose que la particule est dans un état
tel que la quantité A
est « bien définie » : pas de fluctuations des résultats de mesure
La mesure d’une quantité physique fournit un nombre (ou un ensemble
de nombres) qui apporte une information sur le système étudié.
Tailles d’une population :
Alors,
est état propre de
avec la valeur propre
taux d’apparition
.
taille
Démonstration :
Pour que l’information fournie ne soit pas factice, il faut que la même
mesure d’une même quantité (ici la taille d’un individu donné) à deux
instants « très proches » donnent le même résultat (répétabilité).
Conclusion : le résultat de la mesure de A est certain si et seulement si l’état
de la particule est un état propre de . Le résultat est la valeur propre associée.
« Instants très proches » : l’état du système n’évolue
pas de manière significative entre les deux mesures.
Quel est l’état de la particule après une mesure ?
Exemple d’une mesure
d’énergie dans un puits
E3
E2
E1
à l’instant t2
à l’instant t1
une nouvelle
mesure de l’énergie
sur le même
système à un instant
t2 « très proche »
de t1 doit donner
avec certitude
le même résultat "#
mesure de
l’énergie :
résultat "#
Quelles sont les
valeurs possibles
de " ?
Quel est l’état
après mesure ?
état initial
cf. préambule 2
Pour que le résultat à l’instant t2 soit avec certitude égal à ", il faut
(cf. préambule 1) que:
(i) " soit une des valeurs propres En de l’opérateur énergie
(ii) le système soit dans un état propre
Si la particule est avant la mesure dans l’état propre
résultat est avec certitude la valeur propre a!.
de
, alors le
Si la particule est avant la mesure dans un état quelconque
avec
alors le résultat sera aléatoirement une des valeurs propres a!.
Quelle est la loi de probabilité correspondante ?
Cette loi se déduit de :
Loi de probabilité pour a! :
Version forte du principe de la mesure
On s’intéresse à la mesure d’une quantité physique
Avant la mesure :
Si on mesure la quantité physique A, les seuls résultats de mesure possibles
sont les valeurs propres de l’opérateur .
de l’opérateur énergie à l’instant t2
mesure à t1 :!
Valeurs propres a! et fonctions
propres orthonormées $! de
Les résultats possibles pour une mesure individuelle
, d’observable
Qu’apprend-on dans une mesure (I) ?
Une mesure individuelle, sur une particule donnée, donne un renseignement
sur l’état du système après mesure :
a! supposée ici non dégénérée
avec
Principe 3 (version « forte »)
Le résultat a d’une mesure individuelle de la grandeur physique A
est nécessairement une des valeurs propres a! de
La probabilité p! de trouver le résultat a! est
Juste après une mesure ayant donné le résultat a! , la fonction d’onde
de la particule est
, état propre associé à la valeur propre a!
inconnu
appareil
de mesure
(classique)
0
Si le résultat est !2,
l’état après
cette mesure est :
100
On ne peut pas, avec cette seule mesure, reconstruire l’état
On sait seulement que
n’était pas nulle…
La fonction d’onde est modifiée de manière irréversible par la mesure :
« réduction du paquet d’ondes »
Qu’apprend-on dans une mesure (II) ?
Si on dispose de N particules préparées dans le même état
inconnu, on peut en effectuant une fois la mesure de A sur chaque
particule déterminer les probabilités p!#
inconnu
appareil
de mesure
(classique)
0
p1=N1/N
a!2"
p2=N2/N
a!3"
p3=N3/N
Etats propres de l’hamiltonien
et
Résolution de l’équation de Schrödinger
100
, on peut reconstruire
À partir de
a!1"
4.
(au moins partiellement)
Évolution d’un état quelconque
Les états propres de l’hamiltonien sont des « états stationnaires »
Si on prépare la particule dans un de ces états à t = 0 :
On détermine les états propres de l’hamiltonien :
Les états
On se limite ici au cas où V ne dépend pas du temps :
forment une « base » de l’espace des fonctions d’onde
alors la solution de l’équation de Schrödinger à l’instant t est
Fonction d’onde initiale de la particule :
Alors la fonction d’onde à l’instant t vaut :
La probabilité de présence n’évolue pas :
Démonstration : le
proposé est-il solution de
?
La résolution d’un problème de mécanique quantique commence presque
toujours par la détermination des fonctions propres de l’énergie.
et il en va de même pour la valeur moyenne de toute quantité physique
Un état d’énergie bien définie n’est pas « en mouvement » !
Le chat de Schrödinger
Principe de superposition : si
et
« éligibles », alors la superposition
Le "chaton de Schrödinger" : expériences (I)
Bonne question : peut-on observer des superpositions quantiques d'états quantiques
"macroscopiquement distincts" ?
sont des fonctions d’onde
l’est aussi.
Beaucoup d'expériences possibles, illustration avec un oscillateur "semi-classique"
S. Haroche: champ électromagnétique micro-onde dans une cavité résonnante;
D. Wineland: mouvement d'un ion dans un piège électromagnétique.
Électron dans l’expérience des trous d’Young :
« passé dans le trou de gauche » ET « passé dans le trou de droite »
1. Image quantique simple d'un oscillateur harmonique "semi-classique"
Le dispositif diabolique
de Schrödinger :
!EX,P = E0,
EP
On attend un temps bien choisi
pour que la probabilité de
désintégration soit 0.5...
A
|E |
#
-#
Le chat est-il dans l'état
???
Cette question est-elle bien posée ?
Non ! (pas d'expérience)
Cette question est-elle absurde ?
Non plus ! (expérience ?)
2. Interférences quantiques "macroscopiques" ?
EP
#
-#
+5E0
0.2
-5E0
P(EP)
1 P(EX)
-5
-5E0
5
+5E0
EP
A
|E |
#
-#
+5E0
- On prépare 2N fois cet état (c'est difficile !), on mesure
EX sur N états, et EP sur N autres états, et on en déduit
les distributions de probabilité P(EX) et P(EP)
EX
0.2
-5E0
50
+5E
EX
- Lorsque | E | augmente, les franges sont de plus en plus serrées, et les
signes ± de la superposition se moyennent : perte de la "cohérence"
"OU" classique
décohérence
- Peut-on observer l'état
classique ?
- Les interférences observées sur P(EX) prouvent le caractère quantique de la
superposition ! (dépendent du signe ± dans
)
"ET" quantique
+5E0
signe
– dans! $#
quantique
0.5
0.1
Le "chaton de Schrödinger" : expériences (III)
EP
- On prépare 2N fois cet état (c'est difficile !), on mesure
EX sur N états, et EP sur N autres états, et on en déduit
les distributions de probabilité P(EX) et P(EP)
EX
- Si !EX = !EP = E0, et si l'amplitude | E | vérifie
| E | >> | E0 | , on a une oscillation "quasi-classique"
2. Interférences quantiques "macroscopiques" ?
- Peut-on observer l'état
A
|E |
- En mécanique quantique, EX et EP ne peuvent pas
être connues simultanément (comme X et P) :
inégalités de Heisenberg !EX !EP " E02
- Deux états de même amplitude | E | mais de phases
opposées ± # sont "macroscopiquement distincts" :
équivalents des états "mort" et "vivant" ?
Le "chaton de Schrödinger" : expériences (II)
+5E0
EX
EX = | E | cos($t + #), EP = | E | sin($t + #), EX" = - $2 EX
Les variables EX et EP sont représentées dans un
"diagramme de Fresnel" défini pour t=0
P(EP)
1 P(EX)
0.5
0.1
-5
-5E0
signe + dans $#
5
+5E0
EP
5
+5E
0
EX
- En pratique, superpositions (et décohérence) observées pour des oscillateurs
optiques ou micro-ondes, ou pour le mouvement d'une particule piégée.
- Autres effets similaires : interférences de grosses molécules (virus ?),
cohérence quantique dans des boucles de supraconducteurs (SQUID), …
- Importance pratique considérable pour le développement de futurs
« ordinateurs quantiques »…