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Chapitre PT4 DS n˚3
DS n˚3 de Physique
Fluides en écoulement interne
Durée : 2h30
Le candidat traitera au choix l’un des deux sujets suivants :
.Sujet 1 : L’entropie dans le système respiratoire (CCP PSI 2008)
.Sujet 2 : Quelques problème de microfluidique pour l’élaboration de laboratoires sur puce (X PC 2008)
La calculatrice est autorisée.
1PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016

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_________________________________________________________________________
Les calculatrices sont autorisées.
***
N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté , à la précision et à la concision
de la rédaction. Si un candidat est amené à repère ce qui peut lui semble une erreur d’énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il a été amené à prendre.
Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas la
numérotation de la question traitée. ***
PROBLEME A : L’ENTROPIE DANS LE SYSTEME
RESPIRATOIRE
ETUDE D’UN ÉCOULEMENT DANS UN TUYAU CYLINDRIQUE
ETUDE LOCALE
On s’intéresse à l’écoulement d’un fluide incompressible et homogène de viscosité et de masse
volumique dans un tuyau cylindrique horizontal d’axe Oz, de longueur
L
et de rayon
R
. Cet
écoulement unidirectionnel est caractérisé dans un repère cylindrique
, , ,
rz
O e e e
par un champ
de vitesse
, , , z v v r z t e
.
O
R
z L=
zrM ,,
  z ezrv ,,
Figure 1

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Les expressions des opérateurs en coordonnées cylindriques sont données à la fin du sujet.
On note
0
0P z P
et
L
P z L P
.
On néglige les phénomènes de pesanteur.
A.1. Justifier que le champ de vitesse est indépendant de .
A.2. Rappeler dans le cas général, l’équation locale de conservation de la matière.
Que devient cette relation dans le cas d’un fluide incompressible ?
En déduire que le champ de vitesse ne dépend pas de z.
A.3. Quelle propriété présente le champ de vitesse dans le cas d’un écoulement stationnaire.
On étudie maintenant un écoulement stationnaire.
A.4. Représenter l’allure des lignes de courant et justifier que l’accélération d’une particule de
fluide est nulle. En projetant le principe fondamental de la dynamique, en déduire que la
pression P ne dépend que de z.
A.5. Etablir l’expression de
Pz
en fonction de
0
P
,
L
P
, z et L.
ECOULEMENT STATIONNAIRE
ETUDE GLOBALE
On s’intéresse toujours à l’écoulement d’un fluide incompressible de viscosité et de masse
volumique dans un tuyau cylindrique horizontal d’axe Oz de longueur
L
et de rayon
R
. On
désire déterminer l’expression du champ de vitesse.
On s'intéresse à une portion de liquide (représentée en grisé sur la figure 2 ci-dessous) contenue
dans un cylindre de rayon
r
rR
, compris entre les plans
0z
et
zL
. On rappelle que sur la
surface latérale de ce cylindre de rayon
r
s'exerce une force de viscosité parallèle à Oz et dont la
norme est
z
vr
FS r
, où S est la surface latérale du cylindre et
z
v
la vitesse du liquide. On
note
0
0P z P
et
L
P z L P
. On néglige les phénomènes de pesanteur.
O
R
z L =
Figure 2

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A.7. Faire l’inventaire des forces s'exerçant sur le cylindre de rayon
r
.
A.8. On rappelle que la vitesse ne dépend que de
r
. En appliquant le principe fondamental de la
dynamique au petit cylindre en régime permanent, déduire alors une équation de la forme
dv kr
dr 
où
k
s'exprime en fonction de
L
,
0
P
,
L
P
et .
En déduire que le champ de vitesse s’écrit
22
0
1
4L
PP
v r R r
L
sachant que la vitesse
en
0r
est bornée.
Tracer le profil de la vitesse v® en fonction de r.
Préciser la valeur maximale
max
v
de la vitesse.
RÉSISTANCE HYDRAULIQUE
A.9. Calculer le débit volumique Q dans la conduite. On l’exprimera sous la forme
0L
Q K P P
connue sous le nom loi de Poiseuille. Calculer la constante K.
En déduire la vitesse moyenne,
moy
v
en fonction de
L
,
0
P
,
L
P
, Ret .
La comparer à la vitesse maximale,
max
v
.
A.10. On définit
Hy
R
, résistance hydraulique de longueur
L
et de surface
S
, par la relation
0L Hy
P P R Q
.
Exprimer
Hy
R
en fonction de
L
,
R
et . Quelle est l’analogie avec la définition de la résistance
électrique ?
A.11. Comment varie la résistance hydraulique
Hy
R
avec le rayon
R
?
Comparer ce résultat avec la résistance électrique d’un barreau de longueur
L
de section
²SR
et de conductivité électrique . Justifier qualitativement la différence.
A.12. La loi de Poiseuille n’est valable que pour un écoulement laminaire.
Rappeler la signification du terme en gras.
En déduire une inégalité sur le rayon
R
pour que le calcul soit valable si on prend une
vitesse moyenne
0,1 /
moy
v m s
, une viscosité dynamique
sPa10  
3
et une masse
volumique
33 kg 
 m10
.

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ASSOCIATION DE RÉSISTANCES HYDRAULIQUES
A.13. On associe deux cylindres
1
A
et
2
A
(figure 3) de résistances hydrauliques
Hy1
R
et
Hy2
R
de
même section
S
, l'un est compris entre
00x
et
11
xL
, le second est compris entre
11
xL
et
2 1 2
x L L
. On note
0
P
,
1
P
et
2
P
les pressions pour
00x
,
11
xL
,
2 1 2
x L L
. On suppose
le raccordement parfait..
00x=1 1
x L=2 1 2
x L L= +
Figure 3
a) Établir l'expression de la résistance hydraulique
Hy
R
(qu’on définit bien sûr par la relation :
0L Hy
P P R Q
) de l'ensemble en fonction de
Hy1
R
et
Hy2
R
.
Indiquer, en la justifiant, une analogie avec un problème d’électrocinétique.
b) En déduire la pression
1
P
en fonction de
0
P
,
2
P
,
Hy1
R
et
Hy2
R
.
0
0 x =
1 1
x L=2 2
x L=
Figure 4
A.14. Les deux cylindres
1
A
, de section
1
S
et de longueur
1
L
et
2
A
de section
2
S
et de longueur
2
L
sont associés en « parallèle » (figure 4). On note
0
P
, la pression sur les faces d'entrée pour
00x
et
1
P
, la pression sur les faces de sorties (
11
xL
pour
1
A
, et
22
xL
pour
2
A
).
Etablir l’expression de la résistance hydraulique de cette association en raisonnant par
analogie avec l’électrocinétique.
En déduire le débit
1
Q
dans le cylindre
1
A
de section
1
S
en fonction du débit total
Q
,
Hy1
R
et
Hy2
R
.
A.15. Rappeler l’expression de la puissance électrique dissipée dans une résistance électrique,
R
traversée par un courant d’intensité
I
. Par analogie, déterminer la puissance dissipée par les
forces de viscosité en fonction de
Hy
R
et
Q
.