Corps commutatif totalement ordonné - Axiomes de définition

CQ - CORPS COMMUTATIF
TOTALEMENT ORDONNE
AXIOMES DE DEFINITION DE R
I. Anneaux ordonnés
Soit Aun anneau, et A+un sous-ensemble non vide de cet anneau. On note A−l’ensemble des opposés
des éléments de A+. On définit alors des relations binaires notées ≤et ≥par
x≤y⇐⇒ y≥x⇐⇒ y−x∈A+.
Donc par définition
x≥0⇐⇒ x∈A+,
x≤0⇐⇒ −x∈A+⇐⇒ x∈A−.
A partir de la relation ≤on définira les relations <et >par
x < y ⇐⇒ y > x ⇐⇒ (x≤yet x6=y)⇐⇒ y−x∈A+\ {0}.
Le vocabulaire usuel sera utilisé. Un nombre positif sera par exemple un élément de A+et on dira
aussi qu’il est de signe positif, etc. . .
On remarque aussi que
x+a≤y+a⇐⇒ y−x∈A+⇐⇒ x≤y .
On dira alors que la relation ≤est compatible avec l’addition.
Définition 1 On dira que la relation ≤est compatible avec la multiplication lorsque, quels
que soient x,ydans Aet adans A+, la relation x≤yimplique
xa ≤ya et ax ≤ay .
Caractérisation des diverses propriétés de ≤
Proposition 1
1) ≤est réflexive si et seulement si A+contient 0.
2) ≤est antisymétrique et réflexive si et seulement si A+∩A−={0}.
3) ≤est transitive si et seulement si A+est stable par addition.
4) ≤est totale si et seulement si A+∪A−=A.
5) ≤est compatible avec la multiplication si et seulement si A+est stable par multiplication.

CQ 2
1) Dire que A+contient 0signifie que, pour tout xde A, on a x−x≥0, donc que x≤x, c’est-à-dire que
la relation ≤est réflexive.
2) Si la relation ≤est antisymétrique et réflexive, tout d’abord 0appartient à A+, d’après 1). Il
appartient aussi à A−, donc à A+∩A−. Ensuite, si xappartient à A+∩A−, on a
x≤0 et 0 ≤x ,
et il en résulte que xest nul. Alors
A+∩A−={0}.
Réciproquement, si l’on a
A+∩A−={0},
et si l’on a à la fois
y≤xet x≤y
alors
0≤y−xet 0 ≤x−y ,
ce qui signifie que y−xappartient à A+∩A−, et donc y−xest nul. Alors x=yet la relation est
antisymétrique. Par ailleurs 0est dans A+donc la relation est réflexive.
3) Si la relation ≤est transitive, soit xet ydans A+. On a alors
−y≤0 et 0 ≤x ,
et donc par transitivité
−y≤x ,
ce qui montre que x+yappartient à A+. Cet ensemble est stable par addition.
Réciproquement, si A+est stable par addition, et si l’on a
x≤yet y≤z ,
alors
y−x∈A+et z−y∈A+,
donc
(y−x) + (z−y) = z−x
est un élément de A+, et finalement
x≤z .
La relation est transitive.
4) Si la relation ≤est totale, soit xdans A, alors, où bien x≤0, et alors xappartient à A−, ou bien
0≤xet xappartient à A+. Donc xappartient à la réunion A+∪A−. Ce qui donne
A=A+∪A−.

CQ 3
Réciproquement, si
A=A+∪A−,
et si xet ysont dans A, ou bien x−yest dans A+et y≤x, ou bien x−yest dans A−et x≤y. La
relation est bien totale.
5) Supposons la relation ≤compatible avec la multiplication. Si l’on a
0≤xet 0 ≤a ,
on en déduit 0≤xa, et A+est stable par multiplication.
Réciproquement, si A+est stable par multiplication, et si x≤y, alors y−xest dans A+, donc
a(y−x) = ay −ax également. Il en résulte que
ax ≤ay .
De même (y−x)a=ya −xa est dans A+donc
xa ≤ya ,
et la relation est compatible avec la multiplication.
Conséquences :
Proposition 2
1) si A+est stable par addition x≤yet z≤timpliquent x+z≤y+t.
2) si A+est stable par addition et par multiplication 0≤x≤yet 0≤z≤timpliquent xz ≤yt.
1) On a
x+z≤y+zet y+z≤y+t ,
et puisque ≤est transitive, on en déduit
x+z≤y+t .
2) La relation ≤est compatible avec le produit, donc
xz ≤yz et yz ≤yt ,
et ≤est transitive donc
xz ≤yt .

CQ 4
Anneau totalement ordonné
Définition 2 On dit qu’un anneau est totalement ordonné s’il est muni d’une relation d’ordre
totale compatible avec l’addition et la multiplication.
Il résulte de ce qui précède, la propriété suivante :
Proposition 3 Si Aest un anneau muni d’une relation d’ordre, et si A+est l’ensemble des
nombres positifs de cet anneau, alors Aest totalement ordonné si et seulement si A+est une partie
stable par addition et par multiplication, et telle que
A+∩A−={0}et A+∪A−=A.
Inversement toute partie A+stable par addition et par multiplication, et telle que
A+∩A−={0}et A+∪A−=A
définit une relation d’ordre sur Afaisant de Aun anneau totalement ordonné.
Conséquences :
Proposition 4 Dans un anneau totalement ordonné
1) La règle des signes est valable pour un produit.
2) Quel que soit xdans A, on a x2≥0.
3) L’élément unité de l’anneau est positif.
4) Si xest inversible, alors xet 1/x sont de même signe.
1) Si xet ysont négatifs, −xet −ysont positifs donc (−x)(−y) = xy est positif.
Si xest positif, et ynégatif, xet −ysont positifs, donc −xy =x(−y)aussi, et xy est négatif.
Même chose si xest négatif et ypositif.
2) Il résulte de ce qui précède que x2est positif.
3) En particulier 1l = 1l2est positif.
4) Si xet 1/x étaient de signes opposés, le produit 1l serait négatif d’où une contradiction.
Remarque : il résulte de ce qui précède, que A+contient tous les carrés. On en déduit que Cn’est
pas totalement ordonnable, puisque l’on aurait C=C+.

CQ 5
Dans un anneau totalement ordonné, on peut alors définir la notion d’intervalle. Par exemple
[a, b ] = {x∈A|a≤x≤b},]a, b ] = {x∈A|a < x ≤b},[a, +∞[ = {x∈A|a≤x}.
On peut définir également les notions d’ensemble majoré et minoré, de borne supérieure et inférieure
d’une partie de A. Par exemple
Un partie Pde Aest majorée, s’il existe Mdans Atel que, pour tout xde A, on ait x≤M.
Un majorant sde Aqui est plus petit que tous les autres majorants de Aest la borne supérieure de
A. (Si elle existe elle est unique).
Proposition 5 Un anneau (unitaire) totalement ordonné est de caractéristique nulle.
Notons 1l le neutre de l’anneau. Puisque 0≤1l, on a alors pour tout entier n, la relation
n1l ≤n1l + 1l ,
et donc, pour tout entier n≥1, on obtient
n1l ≥1l .
Si l’anneau est de caractéristique p6= 0, on a en particulier
0 = p1l ≥1l .
et finalement, en raison de l’antisymétrie,
0 = 1l ,
d’où une contradiction.
Morphisme d’anneaux totalement ordonnés
Définition 3 On se donne deux anneaux totalement ordonnés Aet A′. On appelle morphisme
une application σde Adans A′qui soit un morphisme d’anneaux et compatible avec la relation
d’ordre, c’est-à-dire une application vérifiant, quels que soient xet ydans A
(i) σ(x+y) = σ(x) + σ(y),
(ii) σ(xy) = σ(x)σ(y),
(iii) σ(1l) = 1l,
(iv) si x≤yalors σ(x)≤σ(y).