BCPST 1B 2015/2016 Feuille 41 : Variables aléatoires. 1) On lance

BCPST 1B2015/2016
Feuille 41 : Variables al´eatoires.
1) On lance 4 d´es ´equilibr´es, on note X: ”le nombre de num´eros diff´erents sortis”, ( Dans le cas particulier o`u
les 4 num´eros sont les mˆemes, la variable al´eatoire Xprend la valeur 1 )
a. Ecrire un programme Python permettant d’´evaluer l’esp´erance et la variance de la variable al´eatoire X.
b. Ecrire un programme Python permettant d’´evaluer la loi de la variable al´eatoire X.
c. Quelle est la loi de probabilit´e de X?
d. Calculer l’esp´erance et la variance de X.
2) Une urne contient 4 boules rouges et 8 boules vertes.
On tire successivement, avec remise, un maximum de cinq boules de cette urne et on s’arrˆete si on obtient
deux boules rouges cons´ecutives.
On note Xla variable al´eatoire qui prend la valeur 0 si on n’observe jamais deux boules rouges cons´ecutives
ou le nombre de tirages n´ecessaires pour obtenir deux boules rouges cons´ecutives.
Exemples : X(RV RV R) = 0, X(RR) = 2 et X(RV RR) = 4.
a. Ecrire un programme Python permettant d’´evaluer l’esp´erance de la variable al´eatoire X.
b. Ecrire un programme Python permettant d’´evaluer la loi de la variable al´eatoire X.
c. Quelle est la loi de probabilit´e de X?
d. Calculer l’esp´erance de X.
3) Une urne contient nboules blanches et nboules noires. On effectue dans cette urne des tirages d’une boule
sans remise jusqu’`a obtention de toutes les boules noires.
Soit XLa variable al´eatoire prenant pour valeur le nombre de tirages n´ecessaires, c’est-`a-dire le rang du
tirage de la derni`ere boule noire.
a. Ecrire un programme Python permettant d’´evaluer l’esp´erance de la variable al´eatoire X.
b. Quelle est la loi de probabilit´e de X?
(On pourra commencer par calculer P(X=n) et P(X= 2n) )
c. Calculer l’esp´erance de X.
4) On lance trois d´es ´equilibr´es et on note X1,X2et X3les r´esultats des trois d´es.
On d´efinit alors Y= max(X1, X2, X3)
On note Fla fonction de r´epartition de Y.
a. Donner la loi des variables al´eatoires des variables al´eatoires X1,X2et X3.
b. Donner les valeurs prises par Y.
c. R´ealiser une fonction Python permettant de simuler la loi de Y.
d. Ecrire un programme Python permettant de calculer la moyenne de 1000 simulations de Y.
e. Calculer pour toutes les valeurs y∈Y(Ω) la valeur de F(y).
f. En d´eduire la loi de Yet son esp´erance.
5) Soient nun entier naturel non nul et Xune variable al´eatoire sur un univers Ω telle que X(Ω) = [[1; n]] (des
entiers). On note Fla fonction de r´epartition de X.
Montrer que :
E(X) =
n
X
k=1
P(X>k) =
n−1
X
k=0
(1 −F(k))

6) Une urne contient nboules num´erot´ees de 1 `a n. On effectue des tirages avec remise jusqu’`a ce que le dernier
num´ero obtenu soit sup´erieur ou ´egal au num´ero obtenu lors du tirage pr´ec´edent. On note Xle nombre de
tirages effectu´es.
a. D´eterminer X(Ω).
b. R´ealiser une fonction Python permettant de simuler la loi de X. (nsera un argument de la fonction)
c. Ecrire un programme Python permettant de calculer la moyenne de 1000 simulations de X.
d. D´eterminer la probabilit´e des ´ev´enements [X>2], [X>3] et [X= 2].
e. Pour tout k∈X(Ω), d´eterminer la probabilit´e de [X>k].
En d´eduire la loi fonction de r´epartition ainsi que la loi de X.
f. Calculer E(X) ainsi que sa limite de lorsque ntend vers +∞.
7) On consid`ere une urne contenant initialement une boule noire et une boule blanche.
On r´ealise des tirages au hasard dans l’urne et le contenu de l’urne ´evolue suivant la r`egle suivante :
apr`es chaque tirage on rajoute une boule de la couleur tir´ee.
Pour chaque entier naturel, on note Xnle nombre de boules blanches tir´ees au cours des npremiers tirages.
D´eterminer la loi de Xn.
On pourra utiliser un raisonnement par r´ecurrence.
8) On consid`ere un entier naturel Nsup´erieur ou ´egal `a 3 et on note {1,2, . . . , N }l’ensemble des entiers
strictement positifs, inf´erieurs ou ´egaux `a N.
Une urne contient Nboules num´erot´ees de 1 `a N. On y effectue des tirages successifs d’une boule avec remise
de la boule tir´ee apr`es chaque tirage, jusqu’`a obtenir pour la premi`ere fois un num´ero d´ej`a tir´e. On note TN
le rang al´eatoire de ce dernier tirage.
C’est ainsi, par exemple, que si on a obtenu successivement les num´eros -1-5-4-7-3-5-, la variable TNprend
la valeur 6, alors que si on a obtenu -5-4-2-2- la variable TNprend la valeur 4.
On admet qu’on d´efinit ainsi une variable al´eatoire sur un espace probabilis´e dont la probabilit´e est not´ee P.
Toutes les variables al´eatoires introduites dans le probl`eme seront suppos´ees d´efinies sur cet espace.
a. Simulation de TN
i. Ecrire une fonction Python v´erifiant si oui ou non une valeur est dans une liste.
ii. Ecrire une fonction Python r´ealisant le d´eroulement de cette exp´erience, et renvoyant la valeur de
TN.En entr´ee on placera l’entier N > 0.
b. Loi de TN.
On revient d´esormais au cas g´en´eral o`u Nest sup´erieur ou ´egal `a 3.
i. D´eterminer l’ensemble des valeurs que peut prendre TN.
ii. Calculer P(TN= 2), P(TN= 3) et P(TN=N+ 1).
iii. Prouver, pour tout entier kde {1,2, . . . , N}, les ´egalit´es
P(TN> k) = N!
(N−k)!Nk=
k−1
Y
i=0 1−i
N
iv. En d´eduire la loi de TN.
v. D´eterminer, pour tout entier kfix´e, la limite lim
N→+∞
P(TN> k).
Interpr´eter ce r´esultat.
c. Une formule pour l’esp´erance de TN:
i. Justifier l’´egalit´e suivante :
E(TN) =
N
X
k=0
P(TN> k)
ii. En d´eduire l’´egalit´e :
E(TN) = N!
NN
N
X
h=0
Nh
h!