BCPST 1B 2015/2016 Feuille 41 : Variables aléatoires. 1) On lance

BCPST 1B
2015/2016
Feuille 41 : Variables aléatoires.
1) On lance 4 dés équilibrés, on note X : ”le nombre de numéros différents sortis”, ( Dans le cas particulier où
les 4 numéros sont les mêmes, la variable aléatoire X prend la valeur 1 )
a. Ecrire un programme Python permettant d’évaluer l’espérance et la variance de la variable aléatoire X.
b. Ecrire un programme Python permettant d’évaluer la loi de la variable aléatoire X.
c. Quelle est la loi de probabilité de X ?
d. Calculer l’espérance et la variance de X.
2) Une urne contient 4 boules rouges et 8 boules vertes.
On tire successivement, avec remise, un maximum de cinq boules de cette urne et on s’arrête si on obtient
deux boules rouges consécutives.
On note X la variable aléatoire qui prend la valeur 0 si on n’observe jamais deux boules rouges consécutives
ou le nombre de tirages nécessaires pour obtenir deux boules rouges consécutives.
Exemples : X(RV RV R) = 0, X(RR) = 2 et X(RV RR) = 4.
a. Ecrire un programme Python permettant d’évaluer l’espérance de la variable aléatoire X.
b. Ecrire un programme Python permettant d’évaluer la loi de la variable aléatoire X.
c. Quelle est la loi de probabilité de X ?
d. Calculer l’espérance de X.
3) Une urne contient n boules blanches et n boules noires. On effectue dans cette urne des tirages d’une boule
sans remise jusqu’à obtention de toutes les boules noires.
Soit X La variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de tirages nécessaires, c’est-à-dire le rang du
tirage de la dernière boule noire.
a. Ecrire un programme Python permettant d’évaluer l’espérance de la variable aléatoire X.
b. Quelle est la loi de probabilité de X ?
( On pourra commencer par calculer P (X = n) et P (X = 2n) )
c. Calculer l’espérance de X.
4) On lance trois dés équilibrés et on note X1 , X2 et X3 les résultats des trois dés.
On définit alors Y = max(X1 , X2 , X3 )
On note F la fonction de répartition de Y .
a. Donner la loi des variables aléatoires des variables aléatoires X1 , X2 et X3 .
b. Donner les valeurs prises par Y .
c. Réaliser une fonction Python permettant de simuler la loi de Y .
d. Ecrire un programme Python permettant de calculer la moyenne de 1000 simulations de Y .
e. Calculer pour toutes les valeurs y ∈ Y (Ω) la valeur de F (y).
f. En déduire la loi de Y et son espérance.
5) Soient n un entier naturel non nul et X une variable aléatoire sur un univers Ω telle que X(Ω) = [[1; n]] (des
entiers). On note F la fonction de répartition de X.
Montrer que :
n
n−1
X
X
E(X) =
P (X > k) =
(1 − F (k))
k=1
k=0
6) Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue des tirages avec remise jusqu’à ce que le dernier
numéro obtenu soit supérieur ou égal au numéro obtenu lors du tirage précédent. On note X le nombre de
tirages effectués.
a. Déterminer X(Ω).
b. Réaliser une fonction Python permettant de simuler la loi de X. (n sera un argument de la fonction)
c. Ecrire un programme Python permettant de calculer la moyenne de 1000 simulations de X.
d. Déterminer la probabilité des événements [X > 2], [X > 3] et [X = 2].
e. Pour tout k ∈ X(Ω), déterminer la probabilité de [X > k].
En déduire la loi fonction de répartition ainsi que la loi de X.
f. Calculer E(X) ainsi que sa limite de lorsque n tend vers +∞.
7) On considère une urne contenant initialement une boule noire et une boule blanche.
On réalise des tirages au hasard dans l’urne et le contenu de l’urne évolue suivant la règle suivante :
après chaque tirage on rajoute une boule de la couleur tirée.
Pour chaque entier naturel, on note Xn le nombre de boules blanches tirées au cours des n premiers tirages.
Déterminer la loi de Xn .
On pourra utiliser un raisonnement par récurrence.
8) On considère un entier naturel N supérieur ou égal à 3 et on note {1, 2, . . . , N } l’ensemble des entiers
strictement positifs, inférieurs ou égaux à N .
Une urne contient N boules numérotées de 1 à N . On y effectue des tirages successifs d’une boule avec remise
de la boule tirée après chaque tirage, jusqu’à obtenir pour la première fois un numéro déjà tiré. On note TN
le rang aléatoire de ce dernier tirage.
C’est ainsi, par exemple, que si on a obtenu successivement les numéros -1-5-4-7-3-5-, la variable TN prend
la valeur 6, alors que si on a obtenu -5-4-2-2- la variable TN prend la valeur 4.
On admet qu’on définit ainsi une variable aléatoire sur un espace probabilisé dont la probabilité est notée P .
Toutes les variables aléatoires introduites dans le problème seront supposées définies sur cet espace.
a. Simulation de TN
i. Ecrire une fonction Python vérifiant si oui ou non une valeur est dans une liste.
ii. Ecrire une fonction Python réalisant le déroulement de cette expérience, et renvoyant la valeur de
TN . En entrée on placera l’entier N > 0.
b. Loi de TN .
On revient désormais au cas général où N est supérieur ou égal à 3.
i. Déterminer l’ensemble des valeurs que peut prendre TN .
ii. Calculer P (TN = 2), P (TN = 3) et P (TN = N + 1).
iii. Prouver, pour tout entier k de {1, 2, . . . , N }, les égalités
P (TN
k−1
Y
i
N!
=
1−
> k) =
(N − k)!N k
N
i=0
iv. En déduire la loi de TN .
v. Déterminer, pour tout entier k fixé, la limite
lim P (TN > k).
N →+∞
Interpréter ce résultat.
c. Une formule pour l’espérance de TN :
i. Justifier l’égalité suivante :
E(TN ) =
N
X
P (TN > k)
k=0
ii. En déduire l’égalité :
E(TN ) =
N
N! X Nh
NN
h!
h=0