BCPST 1B 2014/2015 Feuille 35 : Variables aléatoires. 1) On lance

BCPST 1B
2014/2015
Feuille 35 : Variables aléatoires.
1) On lance 4 dés équilibrés, on note X : ”le nombre de numéros différents sortis”, ( Dans le cas particulier
où les 4 numéros sont les mêmes, la variable aléatoire X prend la valeur 1 )
a. Ecrire une fonction permettant de simuler cette expérience aléatoire. Vous préciserez la structure
informatique choisie pour représenter un résultat.
b. Ecrire une fonction Python calculant l’image d’un résultat de l’expérience par la variable aléatoire
X.
c. Ecrire un programme Python permettant d’évaluer l’espérance de la variable aléatoire X.
d. Ecrire un programme Python permettant d’évaluer la variance de la variable aléatoire X.
e. Ecrire un programme Python permettant d’évaluer la loi de la variable aléatoire X.
f. Quelle est la loi de probabilité de X ?
g. Calculer l’espérance et la variance de X.
2) Une urne contient 4 boules rouges et 8 boules vertes.
On tire successivement, avec remise, un maximum de cinq boules de cette urne et on s’arrête si on obtient
deux boules rouges consécutives.
On note X la variable aléatoire qui prend la valeur 0 si on n’observe jamais deux boules rouges consécutives
ou le nombre de tirages nécessaires pour obtenir deux boules rouges consécutives.
Exemples : X(RV RV R) = 0, X(RR) = 2 et X(RV RR) = 4.
a. Ecrire une fonction permettant de simuler cette expérience aléatoire. Vous préciserez la structure
informatique choisie pour représenter un résultat.
b. Ecrire une fonction Python calculant l’image d’un résultat de l’expérience par la variable aléatoire
X.
c. Ecrire un programme Python permettant d’évaluer l’espérance de la variable aléatoire X.
d. Ecrire un programme Python permettant d’évaluer la loi de la variable aléatoire X.
e. Quelle est la loi de probabilité de X ?
f. Calculer l’espérance de X.
3) Une urne contient n boules blanches et n boules noires. On effectue dans cette urne des tirages d’une
boule sans remise jusqu’à obtention de toutes les boules noires.
Soit X La variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de tirages nécessaires, c’est-à-dire le rang du
tirage de la dernière boule noire.
a. Ecrire une fonction permettant de simuler cette expérience aléatoire (la valeur de n sera donnée en
argument). Vous préciserez la structure informatique choisie pour représenter un résultat.
b. Ecrire une fonction Python calculant l’image d’un résultat de l’expérience par X.
c. Ecrire un programme Python permettant d’évaluer l’espérance de la variable aléatoire X.
d. Quelle est la loi de probabilité de X ?
( On pourra commencer par calculer P (X = n) et P (X = 2n) )
e. Calculer l’espérance de X.
4) On lance trois dés équilibrés et on note X1 , X2 et X3 les résultats des trois dés.
On définit alors Y = max(X1 , X2 , X3 )
On note F la fonction de répartition de Y .
a. Donner la loi des variables aléatoires des variables aléatoires X1 , X2 et X3 .
b. Donner les valeurs prises par Y .
c. Réaliser une fonction Python permettant de simuler la loi de Y .
d. Ecrire un programme Python permettant de calculer la moyenne de 1000 simulations de Y .
e. Calculer pour toutes les valeurs y ∈ Y (Ω) la valeur de F (y).
f. En déduire la loi de Y et son espérance.
5) Soient n un entier naturel non nul et X une variable aléatoire sur un univers Ω telle que X(Ω) = [[1; n]]
(des entiers). On note F la fonction de répartition de X.
Montrer que :
n
n−1
X
X
E(X) =
P (X > k) =
(1 − F (k))
k=1
k=0
6) Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue des tirages avec remise jusqu’à ce que le
dernier numéro obtenu soit supérieur ou égal au numéro obtenu lors du tirage précédent. On note X le
nombre de tirages effectués.
a. Déterminer X(Ω).
b. Réaliser une fonction Python permettant de simuler la loi de X. (n sera un argument de la fonction)
c. Ecrire un programme Python permettant de calculer la moyenne de 1000 simulations de X.
d. Déterminer la probabilité des événements [X > 2], [X > 3] et [X = 2].
e. Pour tout k ∈ X(Ω), déterminer la probabilité de [X > k].
En déduire la loi fonction de répartition ainsi que la loi de X.
f. Calculer E(X) ainsi que sa limite de lorsque n tend vers +∞.
7) On considère une urne contenant initialement une boule noire et une boule blanche.
On réalise des tirages au hasard dans l’urne et le contenu de l’urne évolue suivant la règle suivante :
après chaque tirage on rajoute une boule de la couleur tirée.
Pour chaque entier naturel, on note Xn le nombre de boules blanches tirées au cours des n premiers tirages.
Déterminer la loi de Xn .
On pourra utiliser un raisonnement par récurrence.
8) Un mobile se déplace de façon aléatoire sur un axe gradué. A l’instant 0, il est à l’origine. A chaque instant
entier, son abscisse varie de +1 avec la probabilité p (on parle de ”pas vers la droite”) et de −1 avec la
probabilité q = 1 − p (on parle de ”pas vers la gauche”). On note Xn l’abscisse du point occupé par le
mobile à l’instant n.
a. Donner Xn (Ω)
b. Donner une fonction Python permettant de simuler la loi de Xn . (n étant un argument de cette
fonction).
c. On note Dn le nombre de pas vers la droite effectuées par le mobile jusqu’à l’instant n. Exprimer Xn
en fonction de n et de Dn .
d. En déduire, à l’aide de la loi de Dn , la loi de Xn .
e. Déterminer l’espérance et la variance de Xn .
f. Pour quelle valeur de p la variable est-elle centrée ? Interpréter.