BCPST 1B 2014/2015 Feuille 35 : Variables aléatoires. 1) On lance

BCPST 1B2014/2015
Feuille 35 : Variables al´eatoires.
1) On lance 4 d´es ´equilibr´es, on note X: ”le nombre de num´eros diff´erents sortis”, ( Dans le cas particulier
o`u les 4 num´eros sont les mˆemes, la variable al´eatoire Xprend la valeur 1 )
a. Ecrire une fonction permettant de simuler cette exp´erience al´eatoire. Vous pr´eciserez la structure
informatique choisie pour repr´esenter un r´esultat.
b. Ecrire une fonction Python calculant l’image d’un r´esultat de l’exp´erience par la variable al´eatoire
X.
c. Ecrire un programme Python permettant d’´evaluer l’esp´erance de la variable al´eatoire X.
d. Ecrire un programme Python permettant d’´evaluer la variance de la variable al´eatoire X.
e. Ecrire un programme Python permettant d’´evaluer la loi de la variable al´eatoire X.
f. Quelle est la loi de probabilit´e de X?
g. Calculer l’esp´erance et la variance de X.
2) Une urne contient 4 boules rouges et 8 boules vertes.
On tire successivement, avec remise, un maximum de cinq boules de cette urne et on s’arrˆete si on obtient
deux boules rouges cons´ecutives.
On note Xla variable al´eatoire qui prend la valeur 0 si on n’observe jamais deux boules rouges cons´ecutives
ou le nombre de tirages n´ecessaires pour obtenir deux boules rouges cons´ecutives.
Exemples : X(RV RV R) = 0, X(RR) = 2 et X(RV RR) = 4.
a. Ecrire une fonction permettant de simuler cette exp´erience al´eatoire. Vous pr´eciserez la structure
informatique choisie pour repr´esenter un r´esultat.
b. Ecrire une fonction Python calculant l’image d’un r´esultat de l’exp´erience par la variable al´eatoire
X.
c. Ecrire un programme Python permettant d’´evaluer l’esp´erance de la variable al´eatoire X.
d. Ecrire un programme Python permettant d’´evaluer la loi de la variable al´eatoire X.
e. Quelle est la loi de probabilit´e de X?
f. Calculer l’esp´erance de X.
3) Une urne contient nboules blanches et nboules noires. On effectue dans cette urne des tirages d’une
boule sans remise jusqu’`a obtention de toutes les boules noires.
Soit XLa variable al´eatoire prenant pour valeur le nombre de tirages n´ecessaires, c’est-`a-dire le rang du
tirage de la derni`ere boule noire.
a. Ecrire une fonction permettant de simuler cette exp´erience al´eatoire (la valeur de nsera donn´ee en
argument). Vous pr´eciserez la structure informatique choisie pour repr´esenter un r´esultat.
b. Ecrire une fonction Python calculant l’image d’un r´esultat de l’exp´erience par X.
c. Ecrire un programme Python permettant d’´evaluer l’esp´erance de la variable al´eatoire X.
d. Quelle est la loi de probabilit´e de X?
(On pourra commencer par calculer P(X=n) et P(X= 2n) )
e. Calculer l’esp´erance de X.
4) On lance trois d´es ´equilibr´es et on note X1,X2et X3les r´esultats des trois d´es.
On d´efinit alors Y= max(X1, X2, X3)
On note Fla fonction de r´epartition de Y.
a. Donner la loi des variables al´eatoires des variables al´eatoires X1,X2et X3.
b. Donner les valeurs prises par Y.
c. R´ealiser une fonction Python permettant de simuler la loi de Y.
d. Ecrire un programme Python permettant de calculer la moyenne de 1000 simulations de Y.
e. Calculer pour toutes les valeurs y∈Y(Ω) la valeur de F(y).
f. En d´eduire la loi de Yet son esp´erance.

5) Soient nun entier naturel non nul et Xune variable al´eatoire sur un univers Ω telle que X(Ω) = [[1; n]]
(des entiers). On note Fla fonction de r´epartition de X.
Montrer que :
E(X) =
n
X
k=1
P(X>k) =
n−1
X
k=0
(1 −F(k))
6) Une urne contient nboules num´erot´ees de 1 `a n. On effectue des tirages avec remise jusqu’`a ce que le
dernier num´ero obtenu soit sup´erieur ou ´egal au num´ero obtenu lors du tirage pr´ec´edent. On note Xle
nombre de tirages effectu´es.
a. D´eterminer X(Ω).
b. R´ealiser une fonction Python permettant de simuler la loi de X. (nsera un argument de la fonction)
c. Ecrire un programme Python permettant de calculer la moyenne de 1000 simulations de X.
d. D´eterminer la probabilit´e des ´ev´enements [X>2], [X>3] et [X= 2].
e. Pour tout k∈X(Ω), d´eterminer la probabilit´e de [X>k].
En d´eduire la loi fonction de r´epartition ainsi que la loi de X.
f. Calculer E(X) ainsi que sa limite de lorsque ntend vers +∞.
7) On consid`ere une urne contenant initialement une boule noire et une boule blanche.
On r´ealise des tirages au hasard dans l’urne et le contenu de l’urne ´evolue suivant la r`egle suivante :
apr`es chaque tirage on rajoute une boule de la couleur tir´ee.
Pour chaque entier naturel, on note Xnle nombre de boules blanches tir´ees au cours des npremiers tirages.
D´eterminer la loi de Xn.
On pourra utiliser un raisonnement par r´ecurrence.
8) Un mobile se d´eplace de fa¸con al´eatoire sur un axe gradu´e. A l’instant 0, il est `a l’origine. A chaque instant
entier, son abscisse varie de +1 avec la probabilit´e p(on parle de ”pas vers la droite”) et de −1 avec la
probabilit´e q= 1 −p(on parle de ”pas vers la gauche”). On note Xnl’abscisse du point occup´e par le
mobile `a l’instant n.
a. Donner Xn(Ω)
b. Donner une fonction Python permettant de simuler la loi de Xn. (n´etant un argument de cette
fonction).
c. On note Dnle nombre de pas vers la droite effectu´ees par le mobile jusqu’`a l’instant n. Exprimer Xn
en fonction de net de Dn.
d. En d´eduire, `a l’aide de la loi de Dn, la loi de Xn.
e. D´eterminer l’esp´erance et la variance de Xn.
f. Pour quelle valeur de pla variable est-elle centr´ee ? Interpr´eter.