DS n 3 : Fluides en écoulement et pertes de charge ◦

DS n◦ 2
Chapitres PT4 et BM
DS n◦3 : Fluides en écoulement et pertes de charge
La calculatrice est autorisée. Durée : 2h30.
Le candidat traitera au choix l’un des deux sujets suivants :
. Sujet 1 : Vidange de la citerne (e3a PSI 2016) puis Formation et stabilité d’un nuage (CCP PSI 2015)
. Sujet 2 : Pertes de charge dans une conduite (Centrale-Supélec PSI 2016)
Merci d’indiquer clairement sur la première page de votre copie si vous désirez que soit indiqué votre rang
de classement.
Si le candidat repère ce qu’il lui semble être une erreur d’énoncé, le candidat est invité à le signaler sur sa
copie en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
1
PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017
SUJET 1
119
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH
Épreuve de Physique - Chimie PSI
Durée 4 h
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une
part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
L'usage de
L’usage de calculatrices est autorisé.
AVERTISSEMENT
Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que
Les explications qualitatives des phénomènes étudiés interviennent dans la
notation au même titre que les développements analytiques et les applications
numériques ; les résultats exprimés sans unité ne sont pas comptabilisés ;
Tout au long de l’énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d’aider à la
compréhension du problème ;
Tout résultat fourni dans l’énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même
s’il n’a pas été démontré par le(la) candidat(e) ;
Les questions comportant le verbe "calculer" demandent une application
numérique ;
Les données numériques nécessaires à la résolution sont regroupées en fin
d'énoncé ;
Le document réponse devra être complété puis remis avec la copie.
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation
des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les
candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
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A
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d’y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.
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DEUXIEME PARTIE
VIDANGE de la CITERNE
D / Ecoulement parfait
Une citerne est munie d’un orifice par lequel du gazole peut s’écouler (voir page suivante).
On suppose que toutes les conditions sont réunies pour qu’on puisse appliquer la relation de Bernoulli
entre un point A de la surface libre du gazole et un point B au niveau de l’ouverture (voir figure ci-après) :
1
ρ VB2 −VA2 + ρg ( zB − zA ) + ( pB − pA ) = 0
2
(
où
)
ρ est la masse volumique du gazole,
VA (respectivement VB) correspond à la vitesse moyenne (encore appelée vitesse débitante) de
l’écoulement supposée constante au niveau de la section SA (respectivement SB),
pA (respectivement pB) correspond à la pression de l’écoulement supposée constante au niveau de la
section SA (respectivement SB),
g est l’intensité du champ de pesanteur.
5
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z
citerne
H
SA : section de la citerne au niveau du point A (en m²)
Air à la pression P0
•
A
gazole
h
SB : section de l’orifice d’écoulement au niveau du point B
(en m²)
SB << SA
B : De l’air à la pression P0
•
x
D1. Quelles sont les conditions d’application de la relation de Bernoulli ?
D2. Comment se traduit la conservation de la masse lors de l’écoulement ?
En déduire une relation entre les vitesses moyennes en A et B.
D3. Sachant que la section en A est nettement plus grande que celle en B, exprimer la vitesse moyenne VB
de l’écoulement en B à l’aide de h et g.
D4. La citerne est initialement pleine.
Exprimer le temps nécessaire T pour la vidanger complètement, à l’aide de SA, SB, H et g.
Calculer T.
E / Prise en compte d’une perte de charge singulière
Au niveau du convergent (rétrécissement de section sur la ligne de courant AB), on constate une zone de
perturbation caractérisée énergétiquement par une « perte de charge singulière » : le bilan d’énergie se
traduit par une perte d’énergie mécanique volumique modélisable par la formule suivante :
1
1
ρ VB2 −VA2 + ρg ( zB − zA ) + ( pB − pA ) = − KC ρVB2
2
2
(
)
avec Kc ≈ 0,55 (sans dimension)
E1. Déterminer une nouvelle expression de VB en tenant compte de la perte de charge singulière.
E2. Exprimer à nouveau le temps nécessaire T’ pour vidanger complètement la citerne, à l’aide de T et Kc.
Calculer T’. Commenter.
6
F / Prise en compte d’une perte de charge régulière
On accroche au niveau de B une conduite
cylindrique verticale de grande longueur et de
diamètre d = 2a. La figure ci-contre ne représente
qu’une portion ℓ =C1C2 de cette conduite.
L’étude de l’écoulement entre C1 et C2 nécessite
alors la prise en compte de la dissipation d’énergie
par frottement dû à la viscosité du gazole.
Dans la suite, on considère que le gazole est un
fluide incompressible, de masse volumique
constante ρ, de viscosité dynamique η, en
écoulement stationnaire.
On suppose de plus que l’écoulement est laminaire et que le champ de vitesse est à symétrie cylindrique


V ( r ) = V ( r ) ez
avec V(r) > 0 et une vitesse nulle le long des parois et maximale sur l’axe de la conduite. Les pressions
sont supposées constantes pour une altitude donnée : pC1 est la pression en C1 à l’altitude zC1, pC2 est la
pression en C2 à l’altitude zC2.
z
z
C2
r
C2
r
a
ℓ
Zc2
C1
C1
zC1
ez

O
O
On isole par la pensée un cylindre de fluide de rayon r inférieur à a et de longueur ℓ . Ce cylindre subit des
forces pressantes en C1 et C2, son poids et des forces visqueuses modélisées par la loi suivante :

dV 
f =η
Σ ez
dr
Où Σ représente la surface latérale de contact entre le fluide contenu dans le cylindre et celui à l’extérieur
du cylindre.
7
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F1. En considérant que l'accélération du cylindre est nulle, montrer la relation suivante :
dV
= −α ⋅ ( pɶC1 − pɶC2 ) ⋅ r
dr
avec pɶ = p + ρgz et α un facteur que l’on exprimera à l’aide de η et ℓ . Commentez le signe de α.
 r2 
ɶC1 − pɶC 2 ) .
V
r
=
V
F2. Montrer que V(r) s’écrit : ( )
max 1− 2  . Exprimer Vmax à l’aide de α, a et ( p
a


F3. Déterminer l’expression du débit volumique QV à l’aide de α, a et ( pɶC1 − pɶC 2 ) .
F4. En déduire l’expression de la vitesse moyenne Vmoy dans une section de la conduite (encore appelée
vitesse débitante) à l’aide de α, a et ( pɶC1 − pɶC 2 ) .
La « perte de charge régulière » (due à la dissipation d’énergie à cause des frottements visqueux) est
définie par ∆pr = λ
1 2 ℓ
ρV
2 moy d
où λ est une constante sans dimension dépendant de la nature de
l’écoulement et de la rugosité de la conduite,
On a par ailleurs:
 −p
 = −∆p
p
C2
C1
r
ℓ
la longueur de la conduite et d son diamètre.
pour une canalisation de section constante.
F5. Déterminer l’expression de λ à l’aide de η, ρ, Vmoy et a.
F6. Rappeler l’expression du nombre de Reynolds Re pour une conduite cylindrique en fonction de son
diamètre d, de la vitesse moyenne Vmoy, de la masse volumique ρ et de la viscosité η.
Pour un écoulement laminaire, en déduire l’expression de λ à l’aide du nombre de Reynolds, Re.
F7. Calculer le nombre de Reynolds Re à l’aide des données numériques fournies en fin de sujet.
F8. Rappeler comment le nombre de Reynolds, Re peut être utilisé pour caractériser la nature de
l’écoulement.
L’hypothèse d’écoulement laminaire utilisée jusqu’à la question F7 est-elle valide ?
G / Remplissage du réservoir d’une voiture
On utilise une pompe centrifuge pour déplacer le gazole de la citerne au réservoir d’une voiture. Le schéma
suivant modélise simplement le circuit du fluide (la citerne étant enterrée, on a bien évidemment zE > zA)
La « perte de charge singulière » (due à la dissipation d’énergie à cause des coudes, des raccords entre
canalisations de diamètres différents…) est définie par ∆ps = K
1
2
ρVmoy
où K est une constante sans
2
dimension dépendant de la nature de la singularité rencontrée. On admettra que la pompe utilisée ici
génère une perte de charge singulière de coefficient Kpompe = 6.
8
G1. Utiliser le document, page 12, intitulé « Données numériques » pour déterminer la valeur numérique du
coefficient Ktotal correspondant à l’ensemble des singularités détaillées sur le schéma ci-dessus. On
prendra soin de préciser les différents termes intervenant dans Ktotal.
G2. Calculer la valeur totale des pertes de charge singulières
fournies en fin de sujet.
∆ps ,tot à l’aide des données numériques
G3. La totalité des longueurs droites de la conduite vaut approximativement ℓ = 10 m.
On admettra la valeur suivante pour le coefficient de perte de charge régulière : λ = 2,45.10-2.
Calculer la valeur totale des pertes de charge régulières
fournies en fin de sujet.
∆pr ,tot à l’aide des données numériques
L’insertion d’un élément actif (ici la pompe électrique) dans le circuit du fluide modifie le bilan énergétique
appliqué au gazole. En tenant compte des pertes de charge, on admet la relation suivante appliquée entre
les points A et E :
1
P
ρ VE2 −VA2 + ρg ( zE − zA ) + ( pE − pA ) = − ( ∆pr ,tot + ∆ps,tot ) + u
2
QV
(
)
où Pu est la puissance utile fournie par la pompe au fluide et QV est le débit volumique.
G4. Calculer le débit volumique dans les conduites QV à l’aide des données numériques fournies.
G5. Sachant que la pompe a un rendement de 80%, déterminer l’expression de Pe, puissance électrique
alimentant la pompe. Calculer Pe (on prendra zE - zA ≈ 5 m).
9
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DONNEES NUMÉRIQUES
Pour la première partie:
ε0 = 8,85.10-12 F.m-1
εr = 5,00
H = 1,00 m
L = 4,00 cm
e = 3,00 mm
Permittivité du vide :
Permittivité relative du gazole :
Hauteur du capteur capacitif :
Largeur du capteur capacitif :
Distance entre les armatures :
Pour la seconde partie:
Section de la citerne au point A :
Section de l’ouverture au point B :
Rayon des sections des conduites et des coudes :
Intensité du champ de pesanteur :
Masse volumique du gazole :
Viscosité dynamique du gazole :
Vitesse moyenne des les conduites :
SA = 1,00 m²
SB = 1,00.10-3 m²
a = 1,80 cm
g = 9,81 m.s-2
ρ = 840 kg.m-3
η = 5.10-3 kg.m-1.s-1
Vmoy = 4,50 m.s-1
Coefficient K pour les pertes de charge singulière :
Coude brusque :
Coude arrondi de rayon de courbure RC et de diamètre d (α est en
degré) :
Pour la troisième partie:
Eléments chimiques :
Elément
Masse molaire
atomique (g.mol-1)
Numéro atomique
Electronégativité
(échelle de Pauling)
H
C
N
O
1,0
12,0
14,0
16,0
1
6
7
8
2,20
2,55
3,04
3,44
Formule chimique de l’air : 3,7 mol de N2 pour 1,0 mol de O2
Données thermodynamiques : constante thermodynamique R = 8,314 J.mol-1.K-1
composé
∆fH0 (kJ.mol-1)
0
-1
-1
CPm (J.mol .K )
0
-1
-1
Sm (J.mol .K )
gazole (liq)
O2 (vap)
CO2 (vap)
H2O(vap)
N2(vap)
- 245
0
- 393
- 242
224,6
29,4
44,2
30,0
0
27,9
329
205
214
189
192
où ∆fH0, CPm0 et Sm0 sont respectivement l’enthalpies standard de formation, la capacité thermique
molaire standard (à pression constante) et l’entropie molaire standard des espèces à 298 K (ces
grandeurs sont supposées constantes).
12
Sujet CCP: Formation et stabilité du nuage

             



                









 ρ  
               


 


= − ρ   

 
 



              
  =  − λ  
            
























          
 


              


    =   −
γ 


    =
γ −   

             



            




               
 ρ  







                



η   
 

 
 


                

 


          







 ρ  = 
 η = 
 γ =


=   




























  =


ε


 ω  =
  =
ε  



 
  =


 



PSI
4 heures
Calculatrices autorisées
2016
SUJET 2
Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et demandent de l’initiative de la
part du candidat. Elles sont très significativement valorisées dans le barème. Même si elles n’ont pas abouti,
les pistes de recherche doivent être consignées par le candidat et seront valorisées si elles sont pertinentes. Le
barème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un raisonnement.
Fin 2012, une société gérant la production et la distribution d’eau de l’agglomération du Grand Angoulême
(110 000 habitants sur 16 communes) a décidé de substituer les deux moteurs asynchrones entrainant la pompe
alimentant le château d’eau de Ruelle sur Touvre par un seul moteur synchrone à aimants permanents de puissance 350 W à 1500 tr⋅min−1 commandé par un variateur spécifique. Même s’il s’agit le plus souvent de régime
continu, ce dernier participe à réduire la facture énergétique lors de variations de débit imposées. Les pertes
rotoriques d’un moteur asynchrone (liées à la différence de vitesse entre le rotor et le champ statorique tournant
(glissement)) représentent près du tiers des pertes totales. Les pertes dans un rotor à aimants permanents sont
négligeables en comparaison et le variateur n’augmente la consommation énergétique que de 3%. La consommation énergétique de l’installation est réduite de 10% par mètre cube transféré et l’installation peut assurer un
débit de 115% de son régime nominal pendant les 8 h de tarif de nuit de consommation électrique. Une étude a
montré que le surcoût lié à la vitesse variable serait amorti en 14 mois.
Dans ce sujet, nous nous intéresserons à une autre installation de même type. Après avoir évalué les pertes de
charge dans les 8400 m de conduit reliant la pompe au château d’eau, nous proposerons une pompe centrifuge au
point de fonctionnement convenable compte tenu du débit et de la hauteur manométrique totale. Une troisième
partie sera consacrée à l’étude de principe d’un moteur synchrone à aimants permanents censé entrainer chacune
des pompes.
I Pertes de charge dans les conduites
Hormis la question I.B.3 sur les pertes singulières, nous considérerons dans toute cette partie des conduites
rectilignes à section circulaire constante.
I.A –
Fluide en écoulement homogène incompressible laminaire
I.A.1)
Que devient la relation de Bernoulli d’un fluide visqueux en régime laminaire stationnaire ?
a) Rappeler les définitions d’un écoulement parfait de fluide, d’un écoulement homogène incompressible, d’un
écoulement stationnaire.
b) Dans le cas d’un fluide parfait en écoulement homogène incompressible stationnaire, retrouver la relation de
Bernoulli à partir du premier principe de la thermodynamique exprimé relativement à un système ouvert en
régime permanent. Préciser alors la grandeur volumique énergétique 𝑒u� uniforme sur une ligne de courant.
On lui associera une hauteur 𝐻 appelée hauteur manométrique ou charge totale :
2
𝑝
𝐻 = 𝑧 + 𝜌𝑔 + 𝑣
2𝑔
où 𝑧 est l’altitude, 𝑝 la pression et 𝑣 la vitesse du fluide au point considéré, 𝜌 sa masse volumique et 𝑔 l’accélération
de la pesanteur (𝑔 = 9,81 m⋅s–2 ). Préciser la relation entre 𝑒u� et 𝐻.
c) Dans quelles zones de l’écoulement laminaire d’un fluide réel, l’hypothèse d’un écoulement parfait est-elle
inenvisageable ?
d) Si on tient compte de la viscosité du fluide incompressible et en postulant toujours un régime stationnaire,
la grandeur volumique énergétique 𝑒u� définie précédemment diminue de 𝐴 à 𝐵 le long d’une ligne de courant.
Relier cette variation d’énergie volumique à une intégrale de circulation de 𝐴 à 𝐵 de la densité volumique de
⃗ .(intégrale le long de la ligne de courant A-B)
force de viscosité 𝑓visc
⃗ = 𝜂Δ𝑣,⃗ où 𝜂
e) Dans un fluide incompressible visqueux, la densité volumique de force de viscosité s’écrit 𝑓visc
est la viscosité dynamique du fluide et Δ𝑣 ⃗ le laplacien vectoriel de la vitesse locale.(laplacien vectoriel défini en I.A.2)b))
En déduire, sous forme intégrale, la variation 𝐻(𝐵) − 𝐻(𝐴) de hauteur manométrique d’un point 𝐴 à un point
𝐵 le long d’une ligne de courant allant de 𝐴 à 𝐵. La quantité Δ𝐻 = 𝐻(𝐴) − 𝐻(𝐵) (positive ou nulle) s’appelle
la perte de charge.
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I.A.2) Écoulement de Poiseuille
On étudie le cas particulier de l’écoulement laminaire d’un fluide visqueux incompressible dans une conduite
rectiligne, de direction 𝑒u�⃗ horizontale, de section circulaire 𝑆 constante (de rayon 𝑟0 ). Compte tenu des symétries
du problème, le champ des vitesses s’exprime sous la forme 𝑣(𝑀
⃗ ) = 𝑣(𝑟, 𝑥)𝑒u�⃗ où 𝑟 = √𝑦2 + 𝑧 2 est la distance
du point 𝑀 à l’axe de révolution de la conduite.
a) Montrer que la vitesse 𝑣(𝑟, 𝑥) ne peut dépendre de 𝑥.
∂𝐻
b) En supposant la perte de charge linéique uniforme tout au long de la conduite et en notant
= −𝑎 (avec
∂𝑥
𝑎 > 0), montrer que
2
𝑣(𝑟) = 𝑣max (1 − ( 𝑟𝑟 ) )
0
avec
𝑣max =
𝜌𝑔𝑎 2
𝑟
4𝜂 0
Dans la symétrie du problème, on a
∂𝑣
Δ𝑣 ⃗ = Δ𝑣u� 𝑒u�⃗ = 1𝑟 ∂ (𝑟 u� ) 𝑒u�⃗
∂𝑟
∂𝑟
c) La vitesse débitante 𝑈 sur une section droite est la vitesse qui, uniforme sur la section 𝑆, correspond au
même débit volumique 𝑄.
Exprimer cette vitesse en fonction de 𝑣max et en déduire 𝑣(𝑟) en fonction du débit volumique 𝑄 de fluide dans
la conduite.
d) On souhaite un débit d’environ 30 L⋅s−1 dans une conduite de diamètre 𝐷 = 20 cm. Dans une conduite
cylindrique, la transition laminaire turbulente se situe aux alentours de nombres de Reynolds de 2300 (dans
l’expression du nombre de Reynolds, on choisira respectivement 𝑈 et 𝐷 comme ordres de grandeur de la vitesse
du fluide et de la dimension transversale de l’écoulement).
− Cas d’une huile (SAE-90) pour laquelle 𝜂 = 0,17 Pa⋅s–1 et 𝜌 = 880 kg⋅m–3
• Calculer la perte de charge linéique et donc la surpression nécessaire pour le transport de cette huile sur
un tronçon de 50 m.
• Calculer le nombre de Reynolds de l’écoulement. Conclure.
− Cas de l’eau : 𝜂 = 1,0 × 10–3 Pa⋅s–1 et 𝜌 = 1,0 × 103 kg⋅m–3 .
• Calculer le nombre de Reynolds de l’écoulement. Conclure.
I.B –
Fluide visqueux homogène incompressible en régime turbulent
I.B.1) Charge moyenne dans une section à symétrie de révolution
La charge 𝐻, exprimée en un point 𝑀 de l’écoulement, apparait comme une fonction 𝐻(𝑥, 𝑟) de 𝑥 et de 𝑟. On
¯
définit une charge moyenne 𝐻(𝑥)
moyennée sur une section de conduite par
d𝑄
¯
𝐻(𝑥)
= ∬ 𝐻(𝑥, 𝑟)
𝑄
section
où d𝑄 est le débit volumique traversant un élément de surface d𝑆 de la section de la conduite et 𝑄 le débit
volumique total de la conduite.
Pour exprimer le terme cinétique de la charge en fonction de la vitesse débitante 𝑈 , on introduit le coefficient de
𝑃u� réelle
Coriolis : 𝛼 =
, où 𝑃u� réelle est la puissance cinétique traversant la section 𝑆 de conduite et 𝑃u� uniforme
𝑃u� uniforme
la puissance cinétique qui traverserait cette section pour une vitesse uniforme 𝑈 (chaque particule de fluide
traverse la section 𝑆 à la vitesse 𝑣(𝑟), emportant avec elle son énergie cinétique volumique locale 12 𝜌𝑣2 (𝑟)).
1
a) Montrer que 𝛼 = 3 ∬ 𝑣3 (𝑟) d𝑆.
𝑈 𝑆
section
b) En déduire que la charge moyenne sur une section de l’écoulement (laminaire ou turbulent) s’écrit
2
¯ = 𝑧 + 𝑝 + 𝛼𝑈
𝐻
𝜌𝑔
2𝑔
c) Calculer numériquement le coefficient de Coriolis pour l’écoulement uniforme et pour l’écoulement laminaire
de Poiseuille.
d) Dans le cas de régimes turbulents courants, les valeurs du coefficient oscillent entre 1,05 et 1,20. Commenter.
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I.B.2) Rugosité, diagramme de Moody
La perte de charge régulière moyenne, pour un écoulement incompressible dans une conduite circulaire rectiligne
de longueur 𝐿 et de diamètre 𝐷, est donnée par
2
¯ u� = 𝑓 (𝑅u� , 𝜀 ) 𝐿 𝑈
Δ𝐻
𝐷 𝐷 2𝑔
définissant ainsi le coefficient de perte de charge 𝑓 (𝑅u� , 𝜀/𝐷) qui dépend du nombre de Reynolds 𝑅u� , et par
conséquent du régime d’écoulement, et de la rugosité relative 𝜀/𝐷 de la conduite. La valeur numérique de
ce coefficient est donnée par le diagramme de Moody (figure 7), en fonction du nombre de Reynolds, pour
différentes valeurs de la rugosité relative 𝜀/𝐷 (lue à droite du graphe).
La rugosité absolue 𝜀 a la dimension d’une hauteur sans toutefois représenter une hauteur moyenne des aspérités
de la surface intérieure de la conduite : par exemple, pour des conduites métalliques rivetées, le revêtement a
peu d’importance devant le nombre et l’écartement des files longitudinales et transversales de rivets.
𝜀
64
a) Montrer que l’écoulement de Poiseuille conduit à 𝑓 (𝑅u� , ) =
.
𝐷
𝑅u�
Interpréter le fait que le coefficient de perte de charge ainsi obtenu ne dépend pas de la rugosité.
b) Pour relier la station de pompage au château d’eau, on installe une conduite en fonte de diamètre 𝐷 = 20 cm,
de longueur 𝐿 = 8,345 km. Dans les conditions nominales de fonctionnement, cette conduite débite 𝑄 = 30 L⋅s–1
d’eau. La rugosité de la conduite en fonte dépend de son état de surface, selon qu’elle est neuve ou plus ou
moins corrodée. On distingue trois cas
− F1 « fonte neuve » : 𝜀1 = 0,4 mm ;
− F2 « fonte corrodée » : 𝜀2 = 1,2 mm ;
− F3 « fonte déposée » : 𝜀3 = 1,6 mm.
¯ u� de cette
En utilisant l’abaque de Moody, évaluer dans chacun de ces cas la perte de charge moyenne Δ𝐻
conduite dans ses conditions nominales d’utilisation (𝑄 = 30 L⋅s–1 ).
I.B.3) Pertes singulières
Les pertes de charges singulières en régime turbulent peuvent s’écrire sous la forme
2
¯ u� = 𝐾 𝑈
Δ𝐻
2𝑔
(pertes proportionnelles à 𝐾𝑄2 ), ce qui présente un intérêt évident pour le cumul des pertes de charges puisque
l’on a écrit
2
¯ u� = 𝑓 (𝑅u� , 𝜀 ) 𝐿 𝑈
Δ𝐻
𝐷 𝐷 2𝑔
(pertes régulières proportionnelles à 𝐿𝑄2 ). Il peut s’agir de pertes dans les rétrécissements, les entrées, les grilles,
les diffuseurs, les vannes, les robinets, les clapets, les coudes, etc.
Pour une conduite cylindrique de diamètre 𝐷 = 20 cm et tournant de 90° avec un rayon du coude de 1,5 m, on
aura un coefficient 𝐾 de 0,2. Quelle est la longueur de conduite en « fonte neuve » équivalente à ce coude ?
À titre de comparaison, une entrée saillante de ce diamètre a un coefficient 𝐾 de l’ordre de l’unité, une vanne
à passage direct de 0,1, un robinet à soupape de 6 et un clapet anti-retour à soupape de 70 (soit une longueur
équivalente de la conduite précédente de plus de 500 m).
II Point de fonctionnement hydraulique d’une installation
II.A – Caractéristiques hydrauliques d’une pompe centrifuge
Une pompe centrifuge est caractérisée a minima par trois paramètres : son débit volumique nominal 𝑄u� , sa hauteur manométrique totale nominale 𝐻u�u� qui est la variation de hauteur manométrique engendrée par la pompe
(usuellement exprimée en mètre de colonne d’eau : mCE) et son rendement hydraulique nominal 𝑅 = 𝑃ℎ /𝑃u�
où 𝑃ℎ est la puissance hydraulique fournie par la pompe et 𝑃u� la puissance mécanique fournie à la pompe. Le
constructeur fournit les courbes 𝐻u�u� (𝑄u� ) et 𝑅(𝑄u� ). On dispose (figure 2) de la caractéristique hydraulique du
type de pompe retenue (WDE 32). Il s’agit d’une pompe centrifuge multi-étages dont le fonctionnement ne sera
pas étudié ici.
Cette pompe étant fabriquée aux USA, la documentation fournie par le constructeur utilise des unités anglosaxonnes : on notera que, dans la figure 2, la hauteur manométrique totale 𝐻u�u� (« head ») est exprimée en pieds
(ft) (à gauche de la figure) et le débit volumique 𝑄u� (« capacity ») en gallons US par minute (USgpm). Pour
convertir ces unités anglo-saxonnes, on utilisera les facteurs de conversion indiqués en bas à droite de la figure 2.
II.A.1) La puissance hydraulique d’une pompe s’écrit 𝑃ℎ = 𝜌𝑔𝐻u�u� 𝑄u� . Justifier cette expression.
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Figure 1
Schéma d’une pompe centrifuge
Power (hp)
150
100
50
0
1400
70
Efficiency (𝑅(𝑄u� ))
60
Head (ft)
𝐹
1000
50
𝐻u�u� (𝑄u� )
800
600
0
50
100
150
Point de fonctionnement envisagé
Hydraulic power
63.7 hp
Pump speed
3200 rpm
350
30
400
Conversion des unités (à 3 chiffres significatifs)
1 rpm = 1 tr⋅min−1
68.3%
Rated power
93.3 hp
Maximum power
108 hp
Driver power
125 hp / 93.2 kW
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300
40
100 USgpm (gallon per minute) = 6,31 L⋅s−1
Efficiency (CE=1.00)
Figure 2
200
250
Capacity (USgpm)
Efficiency (%)
1200
100 ft = 30,5 m
Caractéristiques de la pompe WDE 32
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II.A.2) Calculer la puissance mécanique 𝑃u� à fournir sur l’axe de la pompe pour le point de fonctionnement
𝐻u�u� (𝑄u� ) envisagé, repéré par le point 𝐹 sur la figure 2, en utilisant le rendement hydraulique en ce point.
II.B –
Point de fonctionnement hydraulique et consommation électrique
L’alimentation en eau potable d’un village nécessite un volume d’eau de 2600 m3 par jour. On décide de faire le
traitement de l’eau directement à côté de la prise d’aspiration (altitude 502 m) et de transporter l’eau potable
au château d’eau du village (altitude 767 m) par une conduite de refoulement en fonte de diamètre nominal
200 mm et de longueur 8,345 km. On négligera les pertes singulières devant les pertes linéaires ainsi que les
pertes à l’aspiration devant les pertes au refoulement.
II.B.1) Montrer que deux exemplaires de la pompe WDE 32 doivent nécessairement être montés en parallèle.
¯ u� calculées à la question I.B.2, ainsi que les figures 2
II.B.2) En utilisant les valeurs des pertes régulières Δ𝐻
et 7, déterminer le point de fonctionnement (𝑄 et 𝐻u�u� ) suivant l’état de rugosité de la fonte (neuve, corrodée
ou déposée).
II.B.3) Dans un premier temps, les pompes sont entrainées par des moteurs dits asynchrones dont le rendement
électromagnétique est de 80%. Calculer, dans les trois situations précédentes, la puissance électrique consommée.
Commenter l’effet du « vieillissement » de la surface intérieure de la canalisation sur la puissance électrique
demandée et sur le rendement énergétique global.
II.B.4) Compte tenu de la vitesse de rotation des pompes, estimer le couple moteur mécanique de chaque
moteur entrainant la pompe. Choisir le moteur dit synchrone le plus approprié parmi les quatre décrits en
figure 3 et utiliser son rendement à la vitesse de rotation de la pompe pour déterminer la puissance
électrique consommée. Comparer à la puissance électrique consommée par un moteur asynchrone (question
II.B.3).
350
98
9
96
250
10
200
11
150
Rendement (%)
Couple (N⋅m)
300
9
10
11
12
94
92
90
12
100
0
1000
2000
3000
Vitesse de rotation (tr⋅min )
−1
9
10
11
12
LSRPM
LSRPM
LSRPM
LSRPM
200
200
200
200
4000
88
0
1000
2000
3000
Vitesse de rotation (tr⋅min )
−1
LU2 : 3600 tr⋅min−1 / 115 kW / 213 A
L1 : 3600 tr⋅min−1 / 85 kW / 158 A
L1 : 3600 tr⋅min−1 / 70 kW / 130 A
L1 : 3600 tr⋅min−1 / 50 kW / 97 A
Figure 3 Caractéristiques de 4 moteurs
4000
1
|
2
|
Laminar
flow
→
4
|
Critical
zone
6
|
←
8
|
10
|
20
|
2
Transition zone
4
40
|
60
|
→←
|
VD for water at 20°C (V in m/s, D in cm)
100
|
200
|
5
10
3
600
|
4
|
1000
|
10
r = 5e−006
5 6 7 8
6
2000
|
4000
|
3
6000
|
4
r = 1e−006
2
|
10000
|
5 6 7 8
7
10
20000
|
Complete turbulence, rough pipes, R > 3500/r, 1/√f = 1.14 − 2 log r
400
|
VD for atmospheric air at 20°C
Smooth pipes, r = 0
1/√f = 2 log(R √f ) − 0.8
Hagen−Poisseuille equation
R ≤ 2300, f = 64/R
5 6 7 8
2
Colebrook equation, R ≥ 2300
1/√f = −2 log(r /3.7 + 2.51/(R √f ))
4
Acceleration at sea level
2
latitude 45°, g = 9.80665 m/s
3
2
4
40000 60000
|
|
3
|
100000
|
5 6 7 8
0.07
0.06
0.05
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.0175
0.015
0.0125
0.01
0.008
0.006
0.004
0.003
0.002
0.0015
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0.0001
5e−005
2e−005
1e−005
8
10
0.06
0.1
0.2
0.4
0.6 0.8 1
2
4
6
8 10
20
40
60
100
200
400
600
1000
2000
4000 6000
10000
|____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1
10
9
8
7
6
2
5 6 7 8
10
ε (mm)
"""""""""
0.9−9
0.3−3
0.18−0.9
0.25
0.15
0.12
0.046
0.0015
4
Material
""""""""""""""
Riveted steel
Concrete
Wood stave
Cast iron
Galvanized iron
Asphalted cast iron
Commercial steel
Drawn tubing
3
ν (m /s)
"""""""""
1.003e−006
1.511e−005
2
Fluid at 20°C
""""""""""""""
Water
Air (101.325 kPa)
3
10
ε
Relative roughness r ! " (ε in mm, D in mm)
D
5.5
5
4.5
6 7 8
VD
Reynolds number R ! "" (V in m/s, D in m, ν in m 2/s)
ν
• • • FIN • • •
4
3.5
3
2.5
2
1.8
1.6
1.4
1.2
−2
10
9
8
Moody Diagram
Diagramme de Moody
Figure 7
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2016-02-23 17:27:32
2hDg
Darcy−Weisbach friction factor f ! """"
LV 2