TS1-TS2 : devoir sur table commun no5 (4 heures)
Il faut traiter les exercices I, II, III et l’exercice IV (en fonction de l’enseignement de spécialité suivi).
Exercice I
On considère les nombres complexes zndéfinis,
pour tout entier naturel n, par
z0=1 et zn+1=Ã1+ip3
3!zn.
On note Anle point d’affixe zndans le repère or-
thonormé ¡O;−→
u;−→
v¢de l’annexe (à rendre avec la
copie).
L’objet de cet exercice est d’étudier la construction
des points An.
1. (a) Vérifier que 1+ip3
3=2
p3eiπ
6.
(b) En déduire z1et z2sous forme exponen-
tielle.
2. (a) Montrer que pour tout entier naturel n:
zn=µ2
p3¶n
einπ
6.
(b) Pour quelles valeurs de n, les points O, A0
et Ansont-ils alignés ?
3. Pour tout entier naturel n, on pose 00
dn=|zn+1−zn|.
(a) Interpréter géométriquement dn.
(b) Calculer d0.
(c) Montrer que pour tout entier naturel n
non nul :
zn+2−zn+1=Ã1+ip3
3!(zn+1−zn).
(d) En déduire que la suite (dn)nÊ0est géomé-
trique puis que pour tout entier naturel n:
dn=p3
3µ2
p3¶n
.
4. (a) Montrer que pour tout entier naturel n,
|zn+1|2=|zn|2+d2
n.
(b) En déduire que, pour tout entier naturel n,
le triangle OAnAn+1est rectangle en An.
(c) Construire, à la règle non graduée et au
compas, le point A5sur la figure de l’an-
nexe 2 à rendre avec la copie.
(d) Justifier cette construction.
Exercice II
1. Soit (un)la suite définie par : u0=0 et pour tout
entier naturel n,un+1=1
2−un
.
(a) Démontrer par récurrence que :
∀n∈N,un<1.
En déduire que la suite (un)est bien défi-
nie.
(b) Calculer u1;u2et u3. On exprimera cha-
cun de ces termes sous la forme d’une
fraction irréductible.
(c) Comparer les quatre premiers termes de la
suite (un)et les quatre premiers termes de
la suite (wn)définie sur Npar : wn=n
n+1.
(d) Démontrer que la suite (wn)vérifie la
même relation de récurrence que la suite
(un).
(e) En déduire que, pour tout entier naturel n:
un=wn.
2. Soit (vn)n∈N∗la suite de terme général :
vn=ln³n
n+1´.
(a) Démontrer que : v1+v2+v3=−ln(4).
(b) Soit Snla somme définie pour tout entier
naturel nnon nul par :
Sn=
i=n
X
i=1
vi=v1+v2+···+vn.
Exprimer Snen fonction de n.
Déterminer la limite de Snlorsque ntend
vers +∞.
Devoir sur table no5 TS1-TS2 Page 1/5Lycée Maurice Genevoix,
16 mars 2016