Alg`ebre commutative
Dans cet exercice, on admettra et on utilisera librement le lemme de Zorn,
dont voici l’´enonc´e :
Soit Eun ensemble non vide partiellement ordonn´e. Si Eest inductif, c’est-
`a-dire si toute partie non vide totalement ordonn´ee de Eadmet un majorant,
alors Eadmet (au moins) un ´el´ement maximal.
Soit Aun anneau commutatif et unitaire.
1. On dit qu’un id´eal Pde Aest premier si
∀x, y ∈A, xy ∈P=⇒x∈Pou y∈P.
Soit Iun id´eal de A, montrer que Iest premier si et seulement si le
quotient A/I est int`egre.
On notera Spec A l’ensemble des id´eaux premiers de A.
2. On dit qu’un id´eal Mde Aest maximal s’il est maximal au sens de
l’inclusion, autrement dit si
∀Iid´eal de A, M⊆I=⇒I=Mou I=A.
Soit Iun id´eal de A, montrer que Iest maximal si et seulement si le
quotient A/I est un corps.
En utilisant le lemme de Zorn, montrer que tout id´eal propre de Aest
contenu dans un id´eal maximal.
On notera Specmax A l’ensemble des id´eaux premiers de A.
3. Montrer que Specmax A ⊆Spec A.
4. A tout id´eal Ide A, on associe son radical
√I={a∈A| ∃n∈N:an∈I}.
Montrer que √Iest encore un id´eal. Si n∈Z, quel est le radical de
l’id´eal nZde Z? A l’aide du lemme de Zorn, d´emontrer l’identit´e
√I=\
P∈Spec A, P⊇I
P.
Soit Nilrad A le nilradical de A, c’est-`a-dire l’ensemble des ´el´ements
nilpotents de A. Montrer que
Nilrad A =\
P∈Spec A
P.
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