Algèbre 1 Examen

Examen alg`ebre.
Exercice 1. Soit α=1+i√19
2et A=Z[α]. On note zle nombre compl`exe
conjugu´e de z∈C.
(a) Montrer que A∗={1,−1}(on pourra utiliser la norme N(a) = aa pour
a∈A).
(b) On suppose que Aest euclidien pour pour la division euclidienne v:
A− {0} → N. Soit x∈Ar´ealisant le minimum des v(x) parmi les ´el´ements non
nuls et non inversibles. Montrer que A/(x) est un corps et que la restriction `a
A∗∪ {0}de la surjection canonique φde Asur A/(x) est surjective. En d´eduire
que An’est pas euclidien.
Exercice 2.
(a) Soit kun corps, a∈ket ppremier. Montrer que le polynˆome Xp−aest
irr´eductible sur ksi et seulement si il n’a pas de racines dans k. (Si Xp−a=P Q
avec P,Q∈k[X] et 0 < deg(P)< p, soit ble terme constant de P. On pourra
commencer par montrer que an=±bp.)
(b) Soit pun nombre premier impair et lun diviseur premier de p−1.
Soit a∈Zun g´en´erateur de (Z/pZ)∗montrer que pour tout entier ktel que
l > k ≥1, Xl+pXk−aest irr´eductible dans Q[X].
Probl`eme.
A) Soient Aun anneau commutatif noeth´erien et Iun id´eal de A. On d´efinit
(I:x) = {y∈A, xy ∈I}pour x∈Aet R(I) = {t∈A, ∃n∈N∗, tn∈I}.
On dit que R(I) est la racine de I.
(a) Soient Iet Jdeux id´eaux de A. Montrer que (I:x) et R(I) sont des
id´eaux de A. Montrer que R(I∩J) = R(I)∩R(J) et que
(I∩J:x) = (I:x)∩(J:x).
Quel est la racine R(I) d’un id´eal Ipremier?
(b) On dit qu’un id´eal Qde Adistinct de Aest primaire si:
∀(a, b)∈A2, ab ∈Q⇒b∈Qou ∃n > 0 tel que an∈Q.
Montrer que Qest primaire si et seulement si , dans l’anneau A/Q la multipli-
cation par un ´el´ement non nilpotent est injective.
(c) Montrer que si Qest un id´eal primaire, R(Q) est un id´eal premier.
(d) Montrer que si Qet Q0sont deux id´eaux primaires tels que R(Q) =
R(Q0), alors Q∩Q0est primaire.
1

(e) Un id´eal Qde Aest dit irr´eductible s’il n’est pas intersection de deux
id´eaux le contenant strictement. Montrer qu’un id´eal irr´eductible est primaire.
(Si Qn’est pas primaire, on pourra consid´erer φan:A/Q →A/Q la multiplica-
tion par anpour nassez grand.)
(f) Montrer que tout id´eal de Adistinct de Aest intersection d’un nombre
fini d’id´eaux irr´eductibles (donc primaires).
(g) Montrer que tout id´eal Ide Adistinct de Apeut s’´ecrire
I=Q1∩Q2∩. . . ∩Qn
avec Qiprimaire avec R(Qi)6=R(Qj) et Qinon contenu dans Qjsi i6=j. Une
telle d´ecomposition est dite r´eduite.
(h) Montrer que si Qest un id´eal primaire, on a R((Q:x)) = Asi x∈Qet
R((Q:x)) = R(Q) si x /∈Q.
(i) Soit I=Q1∩Q2∩. . . ∩Qnune d´ecomposition r´eduite de I. Soit
Pi=R(Qi). Montrer que l’ensemble des id´eaux premiers de la forme R((I:x))
avec x∈Aest identique `a l’ensemble P(I) = {P1, . . . , Pn}. En particulier P(I)
est ind´ependant de la d´ecomposition r´eduite.
B) Exemples et contre-exemples.
(a) Montrer que si pest un id´eal maximal et n∈N∗alors pnest primaire.
(b) Soit R=C[x, y] et ml’id´eal engendr´e par (x, y). Montrer que m2=
(m2+Rx)∩(m2+Ry). En d´eduire que primaire n’implique pas irr´eductible.
(c) Soit R=C[x, y, z]/(xy −z2) et Il’id´eal engendr´e par les images xet z
de xet zdans R. Montrer que Iest premier mais que I2n’est pas primaire.
(d) Soit R=C[x, y], I= (x, y2). Montrer que Iest primaire mais n’est pas
la puissance d’un id´eal premier.
(e) Soit R=C[x, y], I= (x2, xy). Montrer que R(I) est premier mais que I
n’est pas primaire.
2