2. Soit pun nombre premier et Z(p)l’ensemble des rationnels s’´ecrivant a
bo`u bn’est pas divisible
par p.
(a) Montrer que Z(p)est un sous anneau de Qcontenant Z.
(b) Montrer que Z(p)est un anneau local et d´eterminer son id´eal maximal m.
(c) Identifier le corps Z(p)/m.
3. Soit Al’anneau des s´eries enti`eres complexes Pn≥0anznde rayon de convergence non-nul.
Montrer que Aest un anneau local dont on pr´ecisera l’id´eal maximal.
Exercice 5. Soit Aun anneau commutatif et Iun id´eal de A. Le radical de I, not´e √Iest
d´efini par √I={a∈A, ∃n∈N∗, an∈I}.
1. Un exemple : soit n∈Zet p1,··· , pkses diviseurs premiers. Montrer que √nZ=p1···pkZ.
2. Montrer que √Iest un id´eal.
3. Application : montrer que l’ensemble des nilpotents de Aforme un id´eal.
4. On dit qu’un id´eal Iest radical si et seulement si I=√I. Montrer que
Iest radical ⇔A/I n’a d’´el´ements nilpotents.
(dans ce cas on dit que Aest un anneau r´eduit)
Exercice 6. Soit Aun anneau commutatif. Montrer que Aest principal si et seulement si A
est un corps.
Exercice 7. Soit Kun corps infini.
1. Montrer qu’un id´eal principal de K[X, Y ] n’est pas maximal.
2. Soient F, P ∈K[X, Y ]∗. Montrer qu’il existe Qet Rdans K[X, Y ] et a(X)∈K(X) non nul
tels que
a(X)F(X, Y ) = P(X, Y )Q(X, Y ) + R(X, Y et degY(R)<degY(P).
Soit mun id´eal premier non principal de K[X, Y ].
3. Montrer que mcontient deux polynˆomes P(X) et Q(Y) irr´eductibles.
4. En d´eduire que mest maximal et que K[X, Y ]/mest un K-espace vectoriel de dimension
finie.
5. Si en outre Kest alg´ebriquement clos, montrer que mest de la forme (X−a, Y −b) et que
K[X, Y ]/m'K.
Exercice 8. Soit Kun corps et A=K[[X]] l’anneau des s´eries formelles `a coefficients dans
K.
1. Montrer que Aest int`egre et d´eterminer A×.
2. Montrer que tout id´eal non nul de Aest de la forme XpA,p∈N. En d´eduire que Aest
principal.
(indication : on pourra introduire la valuation v(PanXn) = min {n, an6= 0}et consid´erer
un ´el´ement de valuation minimale)
3. D´eterminer les id´eaux maximaux et les ´el´ements irr´eductibles de A.
Exercice 9. Montrer qu’un polynˆome r´eel P(X) tel que pour tout x∈R,P(x)≥0 est somme
de deux carr´es.
(indication : on rappelle l’identit´e de Lagrange (a2+b2)(c2+d2)=(ac +bd)2+ (ad −bc)2)
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