Feuille d`exercices 3 : anneaux.

Université Paris-Est Marne-la-Vallée
M1 maths et applications. Algèbre
Feuille d’exercices 3 : anneaux.
Exercice 1. L’objectif de cet exercice est de montrer que si A est un anneau (unitaire) tel
que pour tout x ∈ A, x3 = x, alors A est commutatif.
1. En considérant (x + x)3 , montrer que 6A = {0}.
2. Montrer que 2A et 3A sont des idéaux bilatères de A.
3. Montrer que 2A + 3A = A et 2A ∩ 3A = {0}.
4. En déduire que A est isomorphe à A/2A × A/3A.
5. Soit B un anneau tel que pour tout x ∈ B, 2x = 0 et x3 = x.
(a) Montrer que pour tout x ∈ B on a x2 = x (considérer (1 + x)3 )
(b) Montrer que B est commutatif (considérer (x + y)2 ).
6. Soit C un anneau tel que pour tout x ∈ C, 3x = 0 et x3 = x.
(a) Pour tous x, y, calculer (x + y)3 et (x − y)3 . En déduire que x2 y + xyx + xy 2 = 0.
(b) En multipliant cette expression à gauche et à droite par x, conclure que C est commutatif.
7. Conclure.
Exercice 2.
1. Soit K un corps. Montrer qu’un polynôme de degré 2 ou 3 de K[X] est irréductible si et
seulement s’il n’a pas de zéro dans K.
2. Pour K = Z/2Z, montrer qu’un polynôme de degré 2 ou 3 de K[X] est irréductible si et
seulement si P (0) = 1 et P (1) = 1.
3. Application : montrer que le polynôme P (X) = 5X 3 + 8X 2 + 3X + 15 est irréductible dans
Z[X]
(indication : quel lien y a t’il entre irréductibilité dans Z[X] et Z/2Z[X] ?).
Exercice 3. Soit K un corps (commutatif).
1. Montrer que le polynôme X 2 − α ∈ K[X] est irréductible si et seulement si α n’est pas un
carré dans K.
Soit p ≥ 2 un nombre premier. On note Fp le corps Z/pZ muni des opérations usuelles.
2. Supposons que p ≥ 3. Soient (a, b, c) ∈ (Fp )3 tels que a 6= 0. Montrer que le polynôme
aX 2 + bX + c est irréductible dans Fp [X] si et seulement si b2 − 4ac n’est pas un carré dans
Fp .
3. On prend maintenant K = F3 . Montrer que les polynômes unitaires de degré 2 irréductibles
dans F3 [X] sont X 2 + 1, X 2 + X + 2 et X 2 + 2X + 2.
Exercice 4. Soit A un anneau commutatif. On dit que A est local si et seulement si A possède
un unique idéal maximal.
1. Montrer qu’on a l’équivalence entre
i. A est local.
ii. Les éléments non inversibles de A forment un idéal.
1
2. Soit p un nombre premier et Z(p) l’ensemble des rationnels s’écrivant
par p.
a
b
où b n’est pas divisible
(a) Montrer que Z(p) est un sous anneau de Q contenant Z.
(b) Montrer que Z(p) est un anneau local et déterminer son idéal maximal m.
(c) Identifier le corps Z(p) /m.
P
3. Soit A l’anneau des séries entières complexes n≥0 an z n de rayon de convergence non-nul.
Montrer que A est un anneau local dont on précisera l’idéal maximal.
Exercice 5.
défini par
Soit A un anneau commutatif et I un idéal de A. Le radical de I, noté
√
I = {a ∈ A, ∃n ∈ N∗ , an ∈ I} .
1. Un exemple : soit n ∈ Z et p1 , · · · , pk ses diviseurs premiers. Montrer que
√
2. Montrer que I est un idéal.
√
√
I est
nZ = p1 · · · pk Z.
3. Application : montrer que l’ensemble des nilpotents de A forme un idéal.
√
4. On dit qu’un idéal I est radical si et seulement si I = I. Montrer que
I est radical ⇔ A/I n’a d’éléments nilpotents.
(dans ce cas on dit que A est un anneau réduit)
Exercice 6. Soit A un anneau commutatif. Montrer que A est principal si et seulement si A
est un corps.
Exercice 7. Soit K un corps infini.
1. Montrer qu’un idéal principal de K[X, Y ] n’est pas maximal.
2. Soient F, P ∈ K[X, Y ]∗ . Montrer qu’il existe Q et R dans K[X, Y ] et a(X) ∈ K(X) non nul
tels que
a(X)F (X, Y ) = P (X, Y )Q(X, Y ) + R(X, Y et degY (R) < degY (P ).
Soit m un idéal premier non principal de K[X, Y ].
3. Montrer que m contient deux polynômes P (X) et Q(Y ) irréductibles.
4. En déduire que m est maximal et que K[X, Y ]/m est un K-espace vectoriel de dimension
finie.
5. Si en outre K est algébriquement clos, montrer que m est de la forme (X − a, Y − b) et que
K[X, Y ]/m ' K.
Exercice 8.
Soit K un corps et A = K[[X]] l’anneau des séries formelles à coefficients dans
K.
1. Montrer que A est intègre et déterminer A× .
2. Montrer que tout idéal non nul de A est de la forme X p A, p ∈ N. En déduire que A est
principal.
P
(indication : on pourra introduire la valuation v( an X n ) = min {n, an 6= 0} et considérer
un élément de valuation minimale)
3. Déterminer les idéaux maximaux et les éléments irréductibles de A.
Exercice 9. Montrer qu’un polynôme réel P (X) tel que pour tout x ∈ R, P (x) ≥ 0 est somme
de deux carrés.
(indication : on rappelle l’identité de Lagrange (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 )
2
Exercice 10. Soit p un nombre premier différent de 2. On note
C(p) = x ∈ Z/pZ, ∃y ∈ Z/pZ tel que x = y 2
(C(p) est l’ensemble des carrés de Z/pZ), et on note C(p)∗ = C(p) \ {0}. On rappelle la notation
(Z/pZ)× pour le groupe multiplicatif des inversibles de Z/pZ.
1. Montrer que C(p)∗ est un sous-groupe de (Z/pZ)∗ .
2. Soit φ l’application définie par :
φ:
(Z/pZ)∗ → C(p)∗
.
x 7→ x2
Montrer que φ est un morphisme de groupes.
3. En appliquant le théorème de factorisation des morphismes, montrer que le cardinal de C(p)∗
p−1
est égal à
.
2
4. On veut montrer que x ∈ C(p)∗ si et seulement si x(p−1)/2 = 1.
(a) Montrer que si x ∈ C(p)∗ alors x(p−1)/2 = 1 ;
p−1
(b) Montrer qu’il y a au plus
éléments dans (Z/pZ)∗ tels que x(p−1)/2 = 1.
2
(indication : combien un polynôme de degré d sur un corps peut il admettre de racines ?)
(c) Conclure.
5. Déduire de la question précédente, que −1 est un carré dans Z/pZ si et seulement si p ≡ 1[4].
6. Application arithmétique : montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers congrus à 1
modulo 4.
(indication : un entier n étant donné, considérer le nombre N = (n!)2 + 1. montrer que tout
diviseur premier de N est supérieur à n et congru à 1 modulo 4.)
Exercice 11.
2
On considère l’anneau A = Z[i] des entiers de Gauss. Pour z ∈ C on pose
N (z) = |z| .
1. Montrer que z ∈ Z[i]× si et seulement si N (z) = 1. En déduire que Z[i]× = {1, −1, i, −i}.
2. Soient ξ ∈ C et z ∈ Z[i] \ 0. Montrer qu’il existe q ∈ Z[i] et r ∈ C tels que ξ = zq + r et
N (r) < N (z).
3. En déduire que l’anneau A est principal.
4. Montrer que A ' Z[X]/(X 2 + 1). En déduire que si p est un nombre premier, A/(p) est
isomorphe à (Z/pZ)[X]/(X 2 + 1).
5. Montrer qu’on a l’équivalence entre
i. p est irréductible dans A.
ii. p n’est pas somme de deux carrés.
iii. −1 n’est pas un carré modulo p.
On obtient ainsi que p est irréductible dans A si et seulement si p ≡ 3[4] (cf l’exercice 10.).
6. Montrer qu’à multiplication par un inversible près, les éléments irréductibles de A sont les
entiers premiers congrus à 3 modulo 4 et les éléments z = a + ib tels que N (z) est premier.
√
Exercice 12. Considérons pour d ≥ 2 l’anneau A = Z[i d].
n
o
√
1. Montrer que A = z ∈ C, z = a + ib d, (a, b) ∈ Z2 .
√
Pour z = a + ib d ∈ A on pose N (z) = a2 + db2 .
2. Montrer que N (zz 0 ) = N (z)N (z 0 ). Montrer que z est inversible si et seulement si N (z) = 1.
3
3. S’inspirer de l’exercice précédent pour montrer que si d = 2, A est principal.
4. On veut à présent montrer que pour d ≥ 3, A n’est pas principal.
(a) Montrer qu’il n’existe pas d’élément de norme 2. En déduire que 2 est irréductible dans
A.
√
√
(b) Montrer que 2 divise (d + i d)(d − i d) mais que 2 ne divise aucun des termes de ce
produit. Conclure.
4