Feuille d`exercices 3 : anneaux.

Universit´e Paris-Est Marne-la-Vall´ee M1 maths et applications. Alg`ebre
Feuille d’exercices 3 : anneaux.
Exercice 1. L’objectif de cet exercice est de montrer que si Aest un anneau (unitaire) tel
que pour tout x∈A,x3=x, alors Aest commutatif.
1. En consid´erant (x+x)3, montrer que 6A={0}.
2. Montrer que 2Aet 3Asont des id´eaux bilat`eres de A.
3. Montrer que 2A+ 3A=Aet 2A∩3A={0}.
4. En d´eduire que Aest isomorphe `a A/2A×A/3A.
5. Soit Bun anneau tel que pour tout x∈B, 2x= 0 et x3=x.
(a) Montrer que pour tout x∈Bon a x2=x(consid´erer (1 + x)3)
(b) Montrer que Best commutatif (consid´erer (x+y)2).
6. Soit Cun anneau tel que pour tout x∈C, 3x= 0 et x3=x.
(a) Pour tous x, y, calculer (x+y)3et (x−y)3. En d´eduire que x2y+xyx +xy2= 0.
(b) En multipliant cette expression `a gauche et `a droite par x, conclure que Cest commu-
tatif.
7. Conclure.
Exercice 2.
1. Soit Kun corps. Montrer qu’un polynˆome de degr´e 2 ou 3 de K[X] est irr´eductible si et
seulement s’il n’a pas de z´ero dans K.
2. Pour K=Z/2Z, montrer qu’un polynˆome de degr´e 2 ou 3 de K[X] est irr´eductible si et
seulement si P(0) = 1 et P(1) = 1.
3. Application : montrer que le polynˆome P(X)=5X3+ 8X2+ 3X+ 15 est irr´eductible dans
Z[X]
(indication : quel lien y a t’il entre irr´eductibilit´e dans Z[X] et Z/2Z[X] ?).
Exercice 3. Soit Kun corps (commutatif).
1. Montrer que le polynˆome X2−α∈K[X] est irr´eductible si et seulement si αn’est pas un
carr´e dans K.
Soit p≥2 un nombre premier. On note Fple corps Z/pZmuni des op´erations usuelles.
2. Supposons que p≥3. Soient (a, b, c)∈(Fp)3tels que a6= 0. Montrer que le polynˆome
aX2+bX +cest irr´eductible dans Fp[X] si et seulement si b2−4ac n’est pas un carr´e dans
Fp.
3. On prend maintenant K=F3. Montrer que les polynˆomes unitaires de degr´e 2 irr´eductibles
dans F3[X] sont X2+ 1, X2+X+ 2 et X2+ 2X+ 2.
Exercice 4. Soit Aun anneau commutatif. On dit que Aest local si et seulement si Aposs`ede
un unique id´eal maximal.
1. Montrer qu’on a l’´equivalence entre
i. Aest local.
ii. Les ´el´ements non inversibles de Aforment un id´eal.
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2. Soit pun nombre premier et Z(p)l’ensemble des rationnels s’´ecrivant a
bo`u bn’est pas divisible
par p.
(a) Montrer que Z(p)est un sous anneau de Qcontenant Z.
(b) Montrer que Z(p)est un anneau local et d´eterminer son id´eal maximal m.
(c) Identifier le corps Z(p)/m.
3. Soit Al’anneau des s´eries enti`eres complexes Pn≥0anznde rayon de convergence non-nul.
Montrer que Aest un anneau local dont on pr´ecisera l’id´eal maximal.
Exercice 5. Soit Aun anneau commutatif et Iun id´eal de A. Le radical de I, not´e √Iest
d´efini par √I={a∈A, ∃n∈N∗, an∈I}.
1. Un exemple : soit n∈Zet p1,··· , pkses diviseurs premiers. Montrer que √nZ=p1···pkZ.
2. Montrer que √Iest un id´eal.
3. Application : montrer que l’ensemble des nilpotents de Aforme un id´eal.
4. On dit qu’un id´eal Iest radical si et seulement si I=√I. Montrer que
Iest radical ⇔A/I n’a d’´el´ements nilpotents.
(dans ce cas on dit que Aest un anneau r´eduit)
Exercice 6. Soit Aun anneau commutatif. Montrer que Aest principal si et seulement si A
est un corps.
Exercice 7. Soit Kun corps infini.
1. Montrer qu’un id´eal principal de K[X, Y ] n’est pas maximal.
2. Soient F, P ∈K[X, Y ]∗. Montrer qu’il existe Qet Rdans K[X, Y ] et a(X)∈K(X) non nul
tels que
a(X)F(X, Y ) = P(X, Y )Q(X, Y ) + R(X, Y et degY(R)<degY(P).
Soit mun id´eal premier non principal de K[X, Y ].
3. Montrer que mcontient deux polynˆomes P(X) et Q(Y) irr´eductibles.
4. En d´eduire que mest maximal et que K[X, Y ]/mest un K-espace vectoriel de dimension
finie.
5. Si en outre Kest alg´ebriquement clos, montrer que mest de la forme (X−a, Y −b) et que
K[X, Y ]/m'K.
Exercice 8. Soit Kun corps et A=K[[X]] l’anneau des s´eries formelles `a coefficients dans
K.
1. Montrer que Aest int`egre et d´eterminer A×.
2. Montrer que tout id´eal non nul de Aest de la forme XpA,p∈N. En d´eduire que Aest
principal.
(indication : on pourra introduire la valuation v(PanXn) = min {n, an6= 0}et consid´erer
un ´el´ement de valuation minimale)
3. D´eterminer les id´eaux maximaux et les ´el´ements irr´eductibles de A.
Exercice 9. Montrer qu’un polynˆome r´eel P(X) tel que pour tout x∈R,P(x)≥0 est somme
de deux carr´es.
(indication : on rappelle l’identit´e de Lagrange (a2+b2)(c2+d2)=(ac +bd)2+ (ad −bc)2)
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Exercice 10. Soit pun nombre premier diff´erent de 2. On note
C(p) = x∈Z/pZ,∃y∈Z/pZtel que x=y2
(C(p) est l’ensemble des carr´es de Z/pZ), et on note C(p)∗=C(p)\ {0}. On rappelle la notation
(Z/pZ)×pour le groupe multiplicatif des inversibles de Z/pZ.
1. Montrer que C(p)∗est un sous-groupe de (Z/pZ)∗.
2. Soit φl’application d´efinie par :
φ:(Z/pZ)∗→C(p)∗
x7→ x2.
Montrer que φest un morphisme de groupes.
3. En appliquant le th´eor`eme de factorisation des morphismes, montrer que le cardinal de C(p)∗
est ´egal `a p−1
2.
4. On veut montrer que x∈C(p)∗si et seulement si x(p−1)/2= 1.
(a) Montrer que si x∈C(p)∗alors x(p−1)/2= 1 ;
(b) Montrer qu’il y a au plus p−1
2´el´ements dans (Z/pZ)∗tels que x(p−1)/2= 1.
(indication : combien un polynˆome de degr´e dsur un corps peut il admettre de racines ?)
(c) Conclure.
5. D´eduire de la question pr´ec´edente, que −1 est un carr´e dans Z/pZsi et seulement si p≡1[4].
6. Application arithm´etique : montrer qu’il y a une infinit´e de nombres premiers congrus `a 1
modulo 4.
(indication : un entier n´etant donn´e, consid´erer le nombre N= (n!)2+ 1. montrer que tout
diviseur premier de Nest sup´erieur `a net congru `a 1 modulo 4.)
Exercice 11. On consid`ere l’anneau A=Z[i] des entiers de Gauss. Pour z∈Con pose
N(z) = |z|2.
1. Montrer que z∈Z[i]×si et seulement si N(z) = 1. En d´eduire que Z[i]×={1,−1, i, −i}.
2. Soient ξ∈Cet z∈Z[i]\0. Montrer qu’il existe q∈Z[i] et r∈Ctels que ξ=zq +ret
N(r)< N(z).
3. En d´eduire que l’anneau Aest principal.
4. Montrer que A'Z[X]/(X2+ 1). En d´eduire que si pest un nombre premier, A/(p) est
isomorphe `a (Z/pZ)[X]/(X2+ 1).
5. Montrer qu’on a l’´equivalence entre
i. pest irr´eductible dans A.
ii. pn’est pas somme de deux carr´es.
iii. −1 n’est pas un carr´e modulo p.
On obtient ainsi que pest irr´eductible dans Asi et seulement si p≡3[4] (cf l’exercice 10.).
6. Montrer qu’`a multiplication par un inversible pr`es, les ´el´ements irr´eductibles de Asont les
entiers premiers congrus `a 3 modulo 4 et les ´el´ements z=a+ib tels que N(z) est premier.
Exercice 12. Consid´erons pour d≥2 l’anneau A=Z[i√d].
1. Montrer que A=nz∈C, z =a+ib√d, (a, b)∈Z2o.
Pour z=a+ib√d∈Aon pose N(z) = a2+db2.
2. Montrer que N(zz0) = N(z)N(z0). Montrer que zest inversible si et seulement si N(z) = 1.
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3. S’inspirer de l’exercice pr´ec´edent pour montrer que si d= 2, Aest principal.
4. On veut `a pr´esent montrer que pour d≥3, An’est pas principal.
(a) Montrer qu’il n’existe pas d’´el´ement de norme 2. En d´eduire que 2 est irr´eductible dans
A.
(b) Montrer que 2 divise (d+i√d)(d−i√d) mais que 2 ne divise aucun des termes de ce
produit. Conclure.
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