1 - Fascicule d`arithmétique

C. Aebi & M. Cuénod
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1. A propos des nombres entiers
Aristote (384-322)
Pour les PYTHAGORICIENS, eux aussi, le seul nombre,
c’est le nombre mathématique ; seulement le nombre n’est plus
séparé, mais, au contraire, c’est lui qui, dans ce système,
constitue les substances sensibles. Ils construisent, en effet,
l’Univers entier au moyen de nombres ; seulement ces nombres
ne sont pas composés d’unités abstraites, mais ils attribuent aux
unités l’étendue. Quant à expliquer la constitution de la
première unité douée d’étendue, c’est là pour eux un écueil
manifeste. (Métaphysique, M, 6, 1080 b 15-21, vol. 2, pp. 744-
45)
Kronecker (1823-1891)
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist
Menschenwerk. (Jahresber. DMV 2, S, 19, in : Les nombres,
Vuibert, Paris, 1999, chap. 1, p. 2)
Les entiers naturels
Les mathématiciens distinguent plusieurs ensembles de nombres et les désignent par des
symboles spécifiques. Le premier de ces ensembles, à partir duquel tous les autres ensembles de
nombres peuvent être construits, est l’ensemble des nombres entiers naturels. Cet ensemble a
pour symbole :
!
et contient les éléments suivants :
!=0;1;2;3;...
{ }
On définit, dans l’ensemble des entiers naturels, deux opérations : l’addition et la multiplication.
Ces deux opérations satisfont à plusieurs propriétés telles que :
- A toute paire de nombres naturels a et b, on peut associer une somme, notée
a+b
, qui
est elle-même un nombre naturel. On dit que l’opération d’addition est interne dans
!
.
- L’opération d’addition est commutative, c’est-à-dire que
a+b=b+a
, pour tous
nombres naturels a et b.
- L’opération d’addition est associative, c’est-à-dire que
a+(b+c)=(a+b)+c
, pour tous
nombres naturels a, b et c.
- L’opération d’addition possède un élément neutre, le nombre 0, c’est-à-dire que
a+0=a
, pour tout nombre naturel a.
- A toute paire de nombres naturels a et b, on peut associer un produit, noté
a!b
(notation
que l’on abrège souvent par
ab
), qui est lui-même un nombre naturel. On dit que
l’opération de multiplication est interne dans
!
.
- L’opération de multiplication est commutative, c’est-à-dire que
a!b=b!a
, pour tous
nombres naturels a et b.
- L’opération de multiplication est associative, c’est-à-dire que
a!(b!c)=(a!b)!c
, pour
tous nombres naturels a, b et c.

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- Le lien fondamental entre la multiplication et l’addition est la distributivité de la
multiplication sur l’addition, c’est-à-dire que
a!(b+c)=a!b+a!c
.
L’ensembles des entiers naturels est ordonné dans le sens où si l’on prend deux nombres naturels
a et b de trois choses l’une, soit a est égal à b, soit a est plus petit que b, soit b est plus petit que
a. Lorsque a est plus petit que b on note cette relation symboliquement par
a<b
, et si b est plus
grand que a par
b>a
. Cette relation d’ordre satisfait à différentes propriétés telles que :
- Si
a<b
et si
b<c
, alors
a<c
. On dit que la relation d’ordre est transitive.
- Si
a<b
, alors
a+c<b+c
pour tout nombre naturel c.
- Si
a<b
, alors
a!c<b!c
pour tout nombre naturel, non nul, c.
Les entiers relatifs
Le zéro, comme les nombres négatifs, n’ont obtenu le statut de nombre que tardivement comme
en témoigne ce texte d’un mathématicien indien du VIIe siècle ap. J.-C., Brahmagupta
Brahmagupta (628)
Une dette moins zéro est une dette.
Un bien moins zéro est un bien.
Zéro (shûnya) moins zéro est nul (kham).
Une dette retranchée de zéro est un bien.
Alors qu’un bien retranché de zéro est une dette.
Le produit de zéro par une dette ou par un bien est zéro.
Le produit de zéro par lui-même est nul.
Le produit ou le quotient de deux biens est un bien.
Le produit ou le quotient de deux dettes est un bien.
Le produit ou le quotient d’une dette par un bien est une dette.
Le produit ou le quotient d’un bien par une dette est une dette.
(Brahmagupta, Brâhmasphutasiddhânta, in : Ifrah G., Histoire universelle des chiffres,
T. 1, p. 976)
Lorsque l’on cherche à résoudre une équation dans l’ensemble des entiers naturels il se peut que
celle-ci ne possède pas de solution exprimable sous la forme d’un entier naturel comme par
exemple l’équation
x+3=2
, et plus généralement les équations du type
x+a=b
avec
a>b
.
C’est ainsi que les mathématiciens ont construit un ensemble de nombres plus vaste incluant les
solutions de ce type d’équation de la manière suivante : pour chaque entier naturel a, on définit
un nombre, son opposé,
!a
, tel que
a+!a
( )
=0
. Ce nouvel ensemble est l'ensemble des
nombres entiers relatifs qui a pour symbole
!
, et contient les éléments suivants :
!=...;!2;!1;0;+1;+2;...
{ }
Euler (1774)
18. Puisque les nombres négatifs peuvent être considérés comme des dettes, en tant que
les nombres positifs indiquent des biens effectifs, on peut dire que les nombres négatifs
sont moins que rien. (...)
21. (…) Je me contenterai de faire remarquer ici d’avance que toutes ces formules +1–1,
+2–2 , +3–3 &c. valent 0 ou rien. Ensuite que +2–5 vaut –3 car si quelqu’un a 2 écus &
qu’il en doive 5, non seulement il n’a rien, mais il doit encore 3 écus. (...)
33. Il nous reste à résoudre encore ce cas où – est multiplié par –, ou par exemple –a par
–b. Il est évident d’abord que, quant aux lettres, le produit sera ab ; mais il est incertain
encore si c’est le signe + ou le signe – qu’il faut mettre devant ce produit ; tout ce que

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l’on sait, c’est que ce sera ou l’un ou l’autre de ce signes. Or je dis que ce ne peut être le
signe – : car –a par +b donne –ab & –a par –b ne peut produire le même résultat que
–a par +b, mais il doit en résulter l’opposé, c’est-à-dire +ab ;
(Euler, Élémens d’Algèbre, trad. française, 1774, pp. 11-21)
Le zéro, de par sa nature, pose un certain nombre de problèmes (notamment lors de la division).
Raison pour laquelle les mathématiciens ont créé le symbole * qu’ils accolent aux symboles
désignant les ensembles de nombres pour préciser que ces ensembles ne contiennent pas le zéro.
Ainsi :
!!=1;2;3;...
{ }
!!=...;"2;"1;+1;+2;...
{ }
etc…
Pour signifier qu’un nombre fait partie d’un ensemble les mathématiciens notent cette relation de
la manière suivante :
3!!
, ce qui signifie « le nombre 3 appartient à l’ensemble des nombres
entiers naturels » ou que « le nombre 3 est un élément de l’ensemble des entiers naturels »
De manière analogue on écrira
!3"!
, mais
!3"!
Pour signifier que tous les éléments d’un ensemble A font partie d’un autre ensemble B, les
mathématiciens notent cette relation de la manière suivante :
A!B
, ce qui se lit : « l’ensemble
A est inclus dans l’ensemble B, ainsi, par exemple,
!!"
; ou encore l’ensemble des entiers
naturels pairs est inclus dans l’ensemble des entiers naturels.
1.1 Généralités
Exercice 1.1.1
Définir clairement le concept de parité puis démontrer les propositions suivantes que l’on trouve
dans le livre VII des Éléments d’Euclide :
Euclide (IIIe siècle av. J.-C.)
IX. 21. Si des nombres pairs en quantité quelconque sont ajoutés, le tout est pair.
IX. 22. Si des nombres impairs en quantité quelconque sont ajoutés, et que leur multitude
soit paire, le tout sera pair.
IX. 23. Si des nombres impairs en quantité quelconque sont ajoutés, et que leur multitude
soit impaire, le tout aussi sera impair.
IX. 24. Si à partir d’un nombre pair un pair est retranché, le reste sera pair.
IX. 25. Si à partir d’un nombre pair un impair est retranché, le reste sera impair.
IX. 26. Si à partir d’un nombre impair un impair est retranché, le reste sera pair.
IX. 27. Si à partir d’un nombre impair un pair est retranché, le reste sera impair.
IX. 28. Si un nombre impair multipliant un pair produit un certain nombre, le produit sera
pair.
IX. 29. Si un nombre impair multipliant un nombre impair produit un certain nombre, le
produit sera impair.
IX. 30. Si un nombre impair mesure un nombre pair, il mesurera aussi sa moitié.

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Exercice 1.1.2
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier vos réponses.
a) Le quotient de deux nombres pairs est un nombre pair.
b) Le cube d’un nombre pair est un nombre pair.
c) Si le carré d’un nombre est pair, alors ce nombre est pair.
d) La somme de deux impairs consécutifs est toujours un multiple de 4.
e) La somme de deux entiers consécutifs est toujours divisible par 3 ; 5 ou 7.
f) La différence des carrés de deux impairs consécutifs est toujours un multiple de 8.
Exercice 1.1.3
a) Par quel chiffre se terminent les nombres suivants? 2100 ; 7100 ; 17·225 ; 1735·1335
b) Sachant que
210 =1024 !103
, trouver une règle approximative pour obtenir le nombre de
chiffres de
2n
, où
n
est un nombre entier quelconque.
c) Compléter pour obtenir des égalités vraies
17 !225 =229 +2.....
60500 +12 =12 !........ +........
( )
12500 +20350 =8!....... +........
( )
d) L’écriture en base 10 d’une puissance de 2 peut-elle se terminer par les chiffres 34 ?
e) Écrire 2007 sous la forme d’une somme de puissances de 2 tous distincts.
Exercice 1.1.4
Calculer, observer, formuler une conjecture, et la prouver lorsque c’est possible.
a)
2!2+1=
22 !2+1=
222 !2+1=
...
b)
9!9+8=
99 !9+8=
999 !9+8=
...
c)
32=
332=
3332=
...
d)
62!52=
562!452=
5562!4452=
55562!44452=
Exercice 1.1.5
a) Sachant que 1234567892 = 15241578750190521 calculer 1234567902.
b) Calculer 1234567902 – 1234567892
98765432112 – 2·9876543211·9876543209 + 98765432092

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c) Observer, conjecturer et généraliser.
12 = 1
112 =121
1112 = 12321
11112 = 1234321
Puis calculer
123' 456'7892+2!9876543211!9876543209 [phone]
1.2 Les nombres figurés
Définition : On appelle nombre figuré les nombres que l’on peut associer à une figure
polygonale régulière.
Exemple : Ainsi les nombres représentés ci-dessous 1, 3 et 6 sont appelés des
nombres triangulaires.
Exercice 1.2.1
a) Donner les huit premiers nombres triangulaires (de T1 à T8).
b) En disposant le double des nombres triangulaires sous la forme d’un rectangle montrez que le
ne nombre triangulaire peut s’écrire
Tn=n!(n+1)
2
.
c) Démontrer que
!n"N
on a 8·Tn+ 1 = ( 2·n + 1 )2 .
Exercice 1.2.2
Quels sont les entiers pouvant s’écrire sous la dorme d’une somme d’entiers consécutifs ?
Exemples : 3 car
1+2=3
; 14 car
2+3+4+5=14
.
Exercice 1.2.3
a) Donner les cinq premiers nombres carrés.
b) Donner une expression pour le nième nombre carré.
c) Montrer que le nième nombre carré est la somme des n premiers nombres impairs.
d) Montrer que la somme de deux nombres triangulaires consécutifs est un nombre carré.