DS Physique n 4 PCSI 2016 – 2017

DS Physique n◦ 4
PCSI
2016 – 2017
Conseils :
• Ce devoir comporte 3 problèmes.
• Le correcteur tiendra compte de la présentation (soin apporté aux schémas) et de la rédaction
de votre copie : justifiez rapidement vos affirmations, donnez la valeur littérale simplifiée des
résultats en fonction des données de l’énoncé, vérifiez l’homogénéité et la cohérence (tout résultat
non homogène sera sanctionné).
Les résultats non encadrés ne seront pas notés. Laissez une marge à gauche pour le correcteur.
• Numérotez vos copies doubles : 1/4, 2/4 .... (si 4 copies). N’oubliez pas de mettre votre Nom sur
chacune des copies.
• L’usage des calculatrices est autorisé.
Autour du verre
I. Modélisation d’un résonateur à quartz
N.B. Aucune connaissance sur les quartz et la piézo-électricité n’est requise pour traiter ce problème dans lequel
les candidats sont guidés par de nombreuses questions indépendantes et progressives.
Le quartz est une forme particulière de cristal de silice. Il présente des propriétés physiques très intéressantes : la
piézo-électricité. Quand on comprime un morceau de quartz dans une direction particulière, une tension apparaît
aux bornes du cristal (c’est l’effet piézo-électrique).
Réciproquement, quand on applique une tension aux bornes d’un quartz, ce dernier se déforme proportionnellement
à la tension appliquée (c’est l’effet piézo-électrique inverse). Ainsi, le quartz est très intéressant pour l’électronique
car on parvient à réaliser des circuits oscillants, à base de résonateur à quartz, très stables dans le temps.
Actuellement, le quartz est remplacé par certaines céramiques piézo-électriques.
1. Modèles mécanique et électrique du résonateur à quartz.
Un cristal de quartz est taillé sous forme de pastille cylindrique mince.
La base circulaire présente un diamètre d = 1 cm et l’épaisseur de la pastille est e = 0,2 mm.
Des électrodes métalliques (en or généralement) sont déposées sur chacune des faces circulaires
du quartz (on suppose que ces faces sont totalement métallisées) (figure 1). On parle d’électrodes
de connexion. On a ainsi réalisé un condensateur plan.
A
…€ÿ„„ ‚€‚…„„ÿ
ƒ€‚
,€‚ƒ
ø
+q
−q
B
v(t)
Figure 1 : schéma d’un quartz alimenté par une tension v(t).
D’un point de vue mécanique, lorsque l’on soumet le disque piézo-électrique à une tension sinusoïdale v(t) = Vm cos ωt, il va être, dans le cadre d’une approximation linéaire, le siège d’une
vibration mécanique sinusoïdale sous l’effet d’une force extérieure proportionnelle à cette tension.
Modélisation proposée : un élément de masse m du corps piézo-électrique, placé à une distance
x de son point de repos, est soumis aux forces suivantes, toutes orientées selon un axe (Ox) que
l’on ne précise pas ici :
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• une force de rappel type élastique −kx (k > 0) qui a pour origine la rigidité du matériau,
• des frottements supposés proportionnels à la vitesse et de la forme −h dx
avec (h > 0),
dt
• une force due à l’effet piézo-électrique βv(t) avec (β > 0),
• le poids est négligé.
Q1
(a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au petit élément de masse m dans le
référentiel du laboratoire supposé galiléen, établir l’équation différentielle vérifiée par x(t) en
supposant que le mouvement se fasse selon l’axe (Ox).
D’un point de vue électrique, la charge totale q apparaissant sur les électrodes planes a deux
origines :
— les deux faces planes du disque forment un condensateur de capacité CP , d’où une charge
q1 (t),
— l’effet piézo-électrique provoque l’apparition d’une charge q2 proportionnelle à x : q2 (t) =
γ.x(t) avec γ constant.
(b) On montre que la capacité d’un condensateur plan vaut Cp = ε0 .εer .S où S est la surface
d’une électrode, e l’épaisseur du condensateur, ε0 la permittivité du vide (sa valeur est ε0 =
8,85.10−12 F.m−1 ) et εr une constante valant pour le quartz εr = 2,3.
Q2
• Estimer alors la capacité CP appelée capacité de connexion.
• Quelle est la relation entre la charge q1 , la capacité CP et la tension v(t) ?
Q3
(c) En reprenant l’équation différentielle obtenue pour x(t), écrire l’équation différentielle vérifiée
par la charge q2 (t).
…€„„  ‚ € ‚€€ ‚ € ‚…„„
ƒ€‚
,€‚ƒ
ø
(d) Considérons le circuit représenté sur la figure 2 ci-dessous.
R
+q2 −q2
CS
L
v(t)
Figure 2 : circuit R , L, CS série.
Q4
Montrer que la charge q2 (t) est équivalente à la charge d’un condensateur de capacité CS dans
le circuit série R , L, CS dont la tension aux bornes est v(t). On donnera alors les expressions
de R , L et CS en fonction de m, h, β, γ et k.
2. Étude de l’impédance équivalente du quartz.
Dans cette partie, on néglige la résistance R du quartz. Le schéma électrique simplifié est alors
donné sur la figure 3. Pour les applications numériques, on prendra L = 500 mH, CS = 0,08 pF
et CP = 8 pF.
A
…ÿ€ €„ƒ…‚‚€€‚…€…„ƒ  ‚ÿ
„€ƒ  ‚€€ ‚€ „ƒ‚
CP
CS
B
L
Figure 3 : modèle électrique d’un quartz.
On se placera toujours en régime sinusoïdal forcé (les grandeurs dépendront de la pulsation ω).
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Q5
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(a) Calculer alors l’impédance complexe du quartz, vue entre les bornes A et B. On l’écrira sous
la forme
ω2
j 1 − ωr2
Z AB = −
α.ω 1 − ωω22
a
2
où j est nombre imaginaire pur tel que j = −1.
On donnera, en fonction de L, CP et CS les expressions de α, ωa2 et ωr2 .
Montrer aussi que ωa2 > ωr2 .
On pourra admettre les résultats de cette question pour poursuivre la résolution du problème.
Q6
Q7
Q8
(b) Donner les valeurs numériques des fréquences fa et fr correspondant respectivement aux
pulsations ωa et ωr .
(c) Étudier le comportement inductif ou capacitif du quartz en fonction de la fréquence. On rappelle qu’un dipôle a un comportement inductif (respectivement capacitif) si la partie imaginaire
de son impédance est positive (respectivement négative).
(d) Tracer l’allure de ZAB = |Z AB |, module de l’impédance complexe du quartz, en fonction de la
fréquence.
3. Étude expérimentale de la résonance d’un quartz.
On veut tracer expérimentalement la courbe donnant l’impédance du quartz en fonction de la
fréquence d’excitation. On dispose d’un générateur basses fréquences pouvant délivrer une tension
sinusoïdale d’amplitude réglable. Le GBF possède une résistance interne Rg .
On dispose d’une résistance Rv variable, d’un quartz et d’un oscilloscope.
…€ƒ  û„‚€ €‚‚ÿ €‚€ÿ  …‚„„
„„ …ƒ û„„
…-ƒ€ €‚‚„ƒ
On réalise alors le montage de la figure 4 suivante.
A
Rg
ve
B
Rv
vs
Figure 4 : montage expérimental pour l’étude de la résonance du quartz.
vs
ve
Q9
(a) Calculer le rapport de la tension de sortie v s à celle d’entrée v e : H =
et de Z AB .
Q10
(b) On choisit, pour chaque fréquence, la résistance Rv de telle façon que |H| = 1/2. Que vaut
alors le module de l’impédance du quartz en fonction de Rv ?
Q11
en fonction de Rv
(c) Autour du pic de résonance d’intensité situé vers 796 kHz, on mesure une bande passante
de 50 Hz. Quelle est la valeur numérique du facteur de qualité Q du quartz défini comme le
rapport de la fréquence de résonance à la largeur de la bande passante ? Commenter cette
valeur. En supposant que le facteur de qualité soit donné par la relation Q = LωR 0 (ω0 étant
la pulsation de résonance), estimer la valeur de la résistance R du quartz.
II. Principe d’une montre à quartz :
Une horloge est composée d’un oscillateur plus ou moins stable dans le temps et d’un système de comptage des
oscillations. Le quartz utilisé présente une fréquence de résonance de 32768 Hz. Cela signifie que 32768 fois
par seconde une impulsion électrique est émise par le circuit oscillant. Un dispositif électrique doit compter les
impulsions.
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Ces compteurs fonctionnent dans la technologie binaire (suite de 0 et de 1). Une impulsion électrique
correspond à la valeur 1. La valeur 0 correspond à aucun signal électrique.
Q12
Q13
1. Compteur modulo 2.
Un tel compteur délivre une impulsion de sortie dès qu’il a compté 2 impulsions à son entrée. Si
en entrée d’un tel compteur on envoie le signal à 32768 Hz délivré par le circuit à quartz, quelle
est la fréquence du signal de sortie du compteur modulo 2 ?
2. Succession de compteurs modulo 2.
Écrire le nombre 32768 sous la forme 2k où k est un entier naturel. Combien de compteurs
modulo 2 faut-il alors mettre en cascade pour commander le chiffre des secondes ?
Suspension de voiture
Dans ce problème, nous allons étudier un modèle de suspension de voiture. La suspension est constituée
d’un amortisseur visqueux et d’un ressort, reliés à une roue sans masse et l’ensemble supporte une
masse m représentant la voiture. Le coefficient d’amortissement est noté η et la raideur du ressort k.
L’accélération de pesanteur est notée g.
On ramènera le véhicule à un point matériel M (système d’étude), posé sur la suspension.
La longueur à vide du ressort est notée l0 . Les altitudes de la roue (notée y) et de la masse (notée Y )
sont prises « aux bornes du ressort » et de l’amortisseur (voir figure ci-dessous). À l’équilibre la longueur
du ressort est leq et on redéfini les origines de y et Y telles que yeq = 0 et Yeq = 0 à l’équilibre sur
une route horizontale. On a donc l = leq + Y − y .
On se placera dans un référentiel en translation rectiligne uniforme horizontalement par rapport au sol à
une vitesse égale à celle de la voiture. Ce référentiel est galiléen puisqu’en translation rectiligne uniforme
par rapport au référentiel terrestre. Dans ce référentiel, la vitesse du châssis est uniquement selon la
e
~ = Ẏ e
~y .
direction verticale dY
dt y
La force exercée par l’amortisseur est proportionnelle à la vitesse du châssis par rapport à la roue, soit :
dl
−ηl̇~
ey , avec l̇ = dt
la dérivée temporelle de la variable l par rapport au temps.
Mb
Y
k
e
~y
η
g
~
y
e
~x
x
Q14
1. Faire le bilan des forces appliquées au point matériel M.
Q15
2. Exprimer leq en fonction de l0 , k, m, et g, à l’équilibre sur une route horizontale.
Q16
3. Calculer la résultante des forces qui s’exercent sur la masse en fonction de l et l̇.
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Q17
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4. Établir l’équation différentielle qui régit le mouvement vertical de la masse M et montrer que
cette équation peut se mettre sous la forme :
1
Ÿ + Ẏ + ω02 Y = f (y,ẏ)
τ
où τ et ω0 sont des constantes et f une fonction que l’on explicitera.
Q18
5. La voiture roule sur une route horizontale. À l’instant t = 0, la roue monte sur une marche de
hauteur ∆. La figure ci-dessous présente l’évolution de Y (t).
Indiquer, en justifiant, pour chaque courbe si elle correspond ou non à une solution possible.
(a)
(b)
Y
∆
(c)
Y
∆
Y
∆
t
Q19
t
t
6. On s’intéresse maintenant au régime d’oscillations forcées en imposant à la roue un mouvement
sinusoïdal. Dans ce régime oscillant, on utilisera les notations complexes : y = aejωt et Y = Aejωt .
Montrer que l’équation différentielle établie précédemment peut alors s’écrire :
Y = H(ω)y
où H(ω) est une fonction de transfert que l’on explicitera.
Q20
7. En introduisant une variable u =
que l’on peut alors écrire :
ω
ω0
et un facteur sans dimension r (que l’on explicitera), montrer
H(u) =
1
1−
u2
1+jru
.
Q21
8. Calculer les valeurs limites de |H(u)| et de arg(H(u)) quand u → 0 et u → ∞.
Q22
9. La suspension constitue un filtre mécanique. La figure ci-dessous montre l’allure de la courbe
|H(u)| pour différentes valeurs de r ( r = 1/2, 1 et 3).
Identifier les courbes correspondant aux différentes valeurs de r et commenter ces courbes.
En déduire la nature du filtre.
(a)
|H(u)|
(b)
(c)
1
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2
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3
4
5
u
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Q23
Q24
Q25
Q26
Q27
PCSI
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10. La voiture roule maintenant sur une route ayant un profil d’équation y = a cos(2πx/λ). On suppose
que la roue reste en permanence en contact avec la route et que sa vitesse v selon l’axe horizontale
(Ox) reste constante.
Exprimer la pulsation d’excitation ω en fonction de v et λ.
11. Dans le film Le salaire de la peur, réalisé par H.-G. Clouzot en 1953, un camion transportant
de la nitroglycérine doit passer sur un pont fait de tôle ondulée. Pour limiter l’amplitude des
oscillations (de Y ), le camion doit-il rouler lentement ou à vive allure (justifier votre réponse à
l’aide de l’allure de |H(u)|) ?
12. En fait, la grandeur pertinente pour mesurer l’intensité des secousses n’est pas l’amplitude du
mouvement du camion, mais l’amplitude de l’accélération verticale Aacc qu’il subit.
Justifier que l’on peut écrire :
Aacc (ω) = aω2 |H(ω)|.
13. Calculer les valeurs limites de Aacc (ω) lorsque ω → 0 et ω → ∞.
À l’aide de la courbe |H(u)| donnée précédemment, tracer l’allure de Aacc (ω) pour r = 1.
14. Ce résultat vous ferait-il changer d’avis au sujet de la vitesse à adopter pour éviter les secousses
trop importantes du camion de nitroglycérine ?
15. Le filtre mécanique réalisé par la suspension possède un équivalent électrique. Sur le circuit
schématisé sur la figure ci-dessous, les dipôles notés 1, 2 et 3 possèdent des impédances notées
Z 1 , Z 2 et Z 3 .
€û„  ‚ € ‚€ …‚ƒ
„„ …ƒ û„
„€‚…ƒ
Z1
Z2
Ue
Z3
Q28
Q29
Q30
Us
En régime sinusoïdal, exprimer la fonction de transfert H = UU s en fonction de Z 1 , Z 2 et Z 3 .
e
On supposera aussi que le filtre est en sortie ouverte.
16. On souhaite réaliser le circuit électrique correspondant à la suspension. Pour cela, on dispose
d’un conducteur ohmique de résistance R , d’un condensateur de capacité C et d’une bobine
d’inductance L.
Expliquer (en justifiant votre choix) comment disposer ces trois composants, c’est-à-dire trouver
qui de 1, 2 et 3 correspond à chaque composant.
17. Exprimer les relations que doivent vérifier R , L et C en fonction des grandeurs mécaniques m, k
et η pour que les deux systèmes soient équivalents.
Continuités, discontinuités en Électricité
I. Généralités
Q31
1. Un circuit électrique comprend un résistor de résistance R , une bobine d’inductance L et un
condensateur de capacité C , toutes constantes.
Expliquez pourquoi la tension aux bornes du condensateur et l’intensité du courant dans la bobine
sont des fonctions continues du temps.
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Q32
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2. Expliquer en détail la méthode à utiliser pour mesurer la résistance interne r d’un générateur de
tension de force électromotrice E. Quelle valeur obtient-on couramment ?
Quelle serait la valeur obtenue si on avait affaire à un générateur idéal de tension ? Justifiez.
II. Régime sinusoïdal forcé
On considère le circuit de la figure 2 (ci-après à gauche) alimenté par un générateur de tension alternative
sinusoïdale du type e(t) = E cos ωt. On se place ici en régime sinusoïdal forcé, on a alors u(t) =
U cos(ωt + φ).
…û €„ƒ  ‚ € €…‚ÿ„ƒ‚…„ƒ û„
„ …-„€ƒ ‚
…„ÿƒ …„ƒ „
uL
L
e(t)
Q33
Q34
R
C
ø
…€„ƒ ‚ú€‚ € €…‚ÿƒù ‚
…
ƒ
ù
…
û
ƒ
„…„ „ …„ û„„
û„ …-„€‚
ƒ ÿƒ ƒ
iL
u(t)
e(t)
Figure 2
L
iR
iC
uR C
R
uC
Figure 3
1. On associe à e(t), le complexe e(t) = Eejωt et u(t) = U.ejωt à u(t).
Déterminer l’expression de u(t) en fonction de R , L, C , ω et e(t).
On pourra faire apparaître un pont diviseur de tension ou appliquer la loi des nœuds en terme
de potentiels en régime sinusoïdal forcé.
2. En déduire U puis U et φ.
3. Déduire de 1. l’équation liant u(t) à e(t), l’écrire sous la forme d’un polynôme en jω
D2 (jω)2 u(t) + D1 (jω)u(t) + D0 u(t) = N0 e(t)
Q35
Q36
On donnera l’expression des coefficients constants D2 , D1 , D0 et N0 .
4. En déduire l’équation différentielle liant e(t) et u(t).
III. Régime transitoire
Q37
Q38
Q39
1. On considère maintenant le circuit de la figure 3 (ci-dessus à droite) alimenté par un générateur
d’échelon dont la tension est e(t) = 0 pour t < 0 et e(t) = E pour t > 0.
À la date t = 0− , toutes les grandeurs électriques sont nulles : uL = uR = uC = 0 et iL = iR =
iC = 0.
Déterminer l’équation différentielle liant uC (t) et e(t), comparez avec celle obtenue en II. 4. et
commenter.
2. Montrer que le type de régime dépend de la valeur de la résistance R , comparée à celle d’une
résistance critique Rc dont on donnera l’expression.
L’observation d’oscillations amorties a-t-elle lieu pour R > RC ou pour R < RC ? Interprétez
physiquement.
Q40
3. Donner en les justifiant les valeurs des six grandeurs électriques uL , uR , uC , iL , iR et iC à la date
t = 0+ puis au bout d’un temps très long, c’est à dire à la fin du régime transitoire.
On présentera les résultats sous forme d’un tableau.
Q41
4. Déterminer l’expression de uC (t) dans le cas où R = Rc . On posera ω0 =
Q42
5. Tracer l’allure de la courbe uC (t) dans le cas où R = Rc .
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√1 .
LC
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IV. Déformation d’un condensateur
On considère un condensateur plan formé de deux plaques de surface S très grande, séparées par une
tranche de vide d’épaisseur e très petite de sorte que la capacité du condensateur est C = ε0eS où ε0 est
une constante.
On suppose que l’épaisseur diminue brusquement de e à e′ = e2 .
Quelles sont dans ce cas les grandeurs électriques (capacité, charge, tension, énergie électrique) encore
continues et par quels cœfficients respectifs sont multipliés les autres ?
Q43 Justifier quantitativement et interpréter physiquement les réponses.
Fin
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Quartz et électronique.
I. Modélisation d’un résonateur à quartz
1. Modèles mécanique et électrique du résonateur à quartz.
Q1
(a) On applique le principe fondamental de la dynamique au petit
P élément de masse m dans le
référentiel du laboratoire supposé galiléen : m~
a(M/RG ) =
F~ et par projection sur l’axe
(Ox), d’après les données de l’énoncé :
mẍ = −kx − hẋ + βv(t) soit ẍ + mh ẋ + mk x = mβ v(t).
2
Q2
(b) Ici, la surface de l’électrode plane est S = π d4 avec d = 1 cm
2
le diamètre et Cp = ε0 .ε4er .d ≃ 8,0.10−12 F, soit
CP ≃ 8,0 pF .
d
e
• La relation est celle qui lie la charge portée par l’armature positive à la tension qui règne entre les plaques d’un condensateur
parfait, soit, comme v(t) est orientée de l’armature négative à
l’armature positive, q1 = CP .v(t).
(c) L’énoncé donne q2 = γx d’où x =
Q3
q2
γ
on écrit directement : q̈2 + mh q̇2 + mk q2 =
βγ
v(t).
m
+q2 −q2
(d) En appliquant une loi des mailles (circuit représenté cidi
2
= 0 avec i = dq
, soit
contre), v(t) − R i − CqS2 − L dt
dt
v(t) =
2
R dq
dt
+
q2
CS
+
2
L ddtq22
R
q̇
L 2
et q̈2 +
+
q2
LCS
=
v(t)
L
R
:
i
on retrouve le même type d’équation différentielle, cela
traduit un comportement équivalent.
m
1
= βγ
⇒ L = βγ
L
m
Q4
1
LCS
Par identification des cœfficients,
R
L
…€„ƒ…û  ‚ € ‚€€ ‚ € ‚…„„
„ƒ€‚
€ø‚„ƒ
,
et en reprenant l’équation différentielle obtenue en (a),
=
=
k
m
h
m
⇒ CS =
CS
L
v(t)
m
kL
⇒
⇒ R = mh L
⇒
CS =
R=
βγ
k
h
βγ
2. Étude de l’impédance équivalente du quartz.
Q5
(a) En RSF, d’après la figure de l’énoncé, l’impédance complexe du quartz, vue entre les bornes
Z .(Z +Z )
A et B est :Z AB = Z CP +ZL +ZCS :
CP
Z AB =
1
× (jLω
jCP ω
1
+ jLω
jCP ω
Z AB
+
+
j 1−
=−
α.ω 1 −
CS +CP
LCS CP
CS
1
)
jCS ω
1
jCS ω
On a bien ωa2 =
Q6
L
=
ω2
ωr2
ω2
ωa2
1
LCS
=−
.
S
avec α = CP + CS , ωr =
+
(b) Applications numériques : fa =
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j
−LCS ω2 + 1
1 − LCS ω2
=
−
.
CP ω −LCS ω2 + CCS + 1
ω (CS + CP )(1 − LCS CP ω2 )
C +C
P
j
1
LCP
ωa
2π
= ωr2 +
1
LCP
1
et ωa =
LCS
s
CP + CS
LCS CP
> ωr2 .
≃ 800 kHz et fr =
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s
P
ωr
2π
≃ 796 kHz.
Correction
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(c) On étudie le signe de ℑ(Z AB ) = −
Q7
Q8
N(ω) = 1 −
ω2
ωr2
et D(ω) = 1 −
ω
0
N(ω)
|
D(ω)
|
|
ℑ(Z AB )
Conclusion |
ω2
.
ωa2
1
α.ω
2
1− ω2
ωr
2
1− ω2
ωa
qui a le signe opposé de
2016 – 2017
N(ω)
D(ω)
si on pose
On peut alors dresser le tableau suivant :
+∞
ωr
ωa
positif
|
négatif
positif
|
négatif
négatif
|
positif
|
négatif
capacitif | inductif | capacitif
(d) Pour tracer l’allure de ZAB = |Z AB (f )|, on utilise les considérations suivantes :
• ZAB tend vers +∞ quand f → 0 et quand f → ωa : asymptotes verticales.
• ZAB = 0 quand f = fr < fa .
ZAB =
2
|1− ω2 |
ωr
1
α.ω |1− ω2 |
2
ωa
fa
fr
…€ƒ  ‚€û„  €‚‚ÿ €‚€ÿ  …‚„„
„„ …ƒ û„„
…-ƒ€ ‚€‚„ƒ
f
3. (a) Le montage représenté ci-dessous est un pont diviseur de tension et H V =
Q9
Q10
Q11
Rv
= 1/2, on a 2Rv = |Rv + Z AB |.
(b) Quand |H| = |Rv +Z
AB |
Or, Z AB = jZAB est un imaginaire pur et Rv un réel donc
|Rv + Z AB |2 = ℜ2 (Rv + Z AB ) + ℑ2 (Rv + Z AB ) = Rv2 + Z 2AB et
Rv2
2
|H| = 12 ⇐⇒ R 2 +Z
c’est à
= 14 ⇐⇒ 4Rv2 = Rv2 + ZAB
2
v
AB
√
dire pour ZAB = |Z AB | = 3Rv .
vs
ve
A
Rg
ve
=
Rv
.
Rv +Z AB
B
Rv
vs
(c) On détermine Q le facteur de qualité à partir de f0 la
f0
= 16000 ce qui est énorme !
fréquence de résonance et ∆f la bande passante : Q = ∆f
C’est pourquoi, en couplant cet oscillateur à un système d’horlogerie, la fréquence à laquelle
oscillera le quartz restera quasiment invariable, d’où une précision remarquable.
La relation Q =
Lω0
R
donne immédiatement R =
Lω0
Q
≃ 157 Ω.
II. Principe d’une montre à quartz :
Q12
1. Compteur modulo 2.
Le compteur délivre une impulsion de sortie dès qu’il a compté 2 impulsions à son entrée, comme
on envoie le signal à fe = 32768 Hz (nombre d’impulsions par seconde) en entrée, la fréquence
du signal de sortie est fs = f2e = 16384 Hz.
Q13
2. Succession de compteurs modulo 2.
On cherche k tel que 32768 = 2k ⇐⇒ ln 32768 = ln 2k = k ln 2 d’où k =
ln 32768
ln 2
= 15
On en déduit qu’il faut 15 compteurs modulo 2 pour obtenir un signal de fréquence 1 Hz, c’est
à dire de période 1 s pour commander le chiffre des secondes.
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Suspension de voiture
D’après 2nd concours ENS-Lyon 2010
Q14
1. Bilan des forces appliquées au point matériel M :
~ = m~
• le poids P
g
• la force de rappel du ressort F~ = −k(l − l0 ).~
ey , avec l = leq + Y − y.
• la force exercée par l’amortisseur ~f = −ηl̇~
ey
Q15
2. À l’équilibre la somme des forces appliquées à M est nulle d’après la première loi de Newton.
mg
~ + F~ + ~f = ~0 ⇒ −mg~
P
ey − k(leq − l0 )~
ey + ~0 = ~0 ⇒ leq = l0 −
.
k
N’oublier pas de vérifier la cohérence : si m = 0 alors d’après l’intuition leq = l0 (ce qui
correspond à la formule), si m augmente, alors leq doit diminuer (ce qui correspond à la
formule). Cela permet de détecter des erreurs de signe dans les forces.
Q16
~ + F~ + ~f = −mg~
3. Hors équilibre la résultante des forces est P
ey − k(l − l0 )~
ey − ηl̇~
ey =
−mg − k(l − l0 ) − ηl̇ e
~y
4. D’après le principe fondamental dela dynamique appliqué
au système M dans le référentiel
galiléen défini par l’énoncé : m~
a = −Mg − k(l − l0 ) − ηl̇ e
~y .
Soit après projection selon e
~y : mŸ = −mg − k(leq + Y − y − l0 ) − η(Ẏ − ẏ).
Or d’après la deuxième question, −mg − k(leq − l0 ) = 0 d’où
mŸ = −k(Y − y) − η(Ẏ − ẏ) ⇒ Ÿ +
Q17
L’équation est sous la forme Ÿ + τ1 Ẏ + ω02 Y = f (y,ẏ) suggérée par l’énoncé et par identification :





Q18
η
k
η
k
Ẏ + Y = ẏ + y
m
m
m
m
τ =
ω0 =
f (y,ẏ) =
m
η
q
k
m
1
ẏ
τ
+ ω02 y
5. On a un système d’ordre 2, on s’attend à des comportements différents en fonction du signe du
discriminant de l’équation caractéristique.
La courbe (a) ne peut pas correspondre à notre système à cause de la discontinuité de la dérivée 1
de Y , il s’agit de la réponse d’un système ordre 1.
Les courbes (b) et (c) peuvent correspondre à notre système (2nd ordre), la (b) si le discriminant
est strictement négatif pour avoir un régime pseudo périodique, la (c) a un régime critique ou
apériodique (discriminant positif ou nul).
1. En fait ce n’est pas si évident que cela à cause du terme en ẏ qui crée une force infini lorsque l’on passe par la marche
en y. Par exemple, dans le cas d’un circuit RLC soumis à un échelon de tension, la courbe de l’intensité ne présente pas une
continuité de sa dérivée. Mais je pense qu’on ne demandait pas aux étudiants de plus justifier que cela.
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Faites attention, le fait que « La dérivée est nulle pour un ordre 2 » ne marche qu’à
certaines conditions ... les connaissez vous ? c’est pour la réponse à un échelon ! Ce n’est pas le cas ici à cause du terme en l̇.
6. L’équation différentielle est : Ÿ + τ1 Ẏ + ω02 Y = τ1 ẏ + ω02 y. En passant à la notation complexe, une
dérivée revient à multiplier par jω :
−ω2 Y +
Q19
d’où H(ω) =
jω
+ ω02
τ
+
−ω2 + jω
τ
jω
+ ω02
jω
jω
τ
y
Y + ω02 Y =
y + ω02 y ⇒ Y =
2
τ
τ
+
ω
−ω2 + jω
0
τ
ω02
7. Pour faire apparaitre 1 au numérateur, on divise le numérateur et le dénominateur par
H(ω) =
jω
+ ω02
τ
+
−ω2 + jω
τ
ω02
=
jω
τ
+ ω02
1
−ω2
jω
2
τ +ω0
+1
1
. Pour présenter la fraction res1 − une fraction
tante sous la forme de l’énoncé, il suffit de faire apparaitre le 1+j×quelque chose au dénominateur,
pour cela on divise par ω02 le numérateur et le dénominateur :
On a presque la forme souhaitée puisque l’on a
1
H(ω) =
1−
Q20
2
ω
ω0
jω
+1
ω2 τ
0
1
=
On en déduit par identification que u =
1−
ω
ω0
2
ω
ω0
ω
1
ω0 τ ω0
1+j
et r =
1
τω0
=
1
1−
u2
1+jru
qui est bien sans dimension puisque τ
est homogène à un temps et ω0 à l’inverse d’un temps.
8. On présente la formule sous forme d’un rapport de polynôme :
s
1 + (ru)2
1
1 + jru |H(u)| = =
=
2
1 − u 1 + jru − u2 (1 − u2 )2 + (ru)2
1+jru
Q21
Ainsi lim |H(u)| = 1 (termes de plus bas degrés) et lim |H(u)| = 0 (termes de plus haut degrés).
u→∞
u→0
En 0, H(u) ∼0 1 d’où lim arg(H(u)) = 0 . En +∞ : H(ω) ∼+∞
u→0
1
1−
u2
jru
∼+∞
1
1−
u
jr
∼+∞
−jr
π
⇒ lim arg(H(u)) = − .
u→+∞
u
2
9. Les courbes ressemblent à des courbes de résonance, un moyen d’identifier les courbes est de
trouver comment évolue la valeur du maximum en fonction de r (... ou de tracer les courbes à la
calculatrice ou de prendre des points à la calculatrice en u = 1).
2
1
En u = 1 |H(u = 1)| = (0)1+r
2 +r 2 = 1 + r 2 . Ainsi, plus r est grand, plus |H(u = 1)| diminue. On en
déduit que :
— la courbe (a) correspond à r = 3
— la courbe (b) correspond à r = 1
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— la courbe (c) correspond à r = 1/2
Il ne fallait pas présumer que r était l’équivalent de Q. Le système n’était pas le même
que celui du cours et il faut donc démontrer les choses.
Commentaire des courbes : il y a toujours résonance (compte tenu des limites de |H(u)|, 1 et 0
et du fait que |H(u = 1)| > 1, la courbe admettra toujours un maximum sur ]0, +∞[). On observe
sur ces courbes que la résonance est d’autant plus marquée que r est faible et que la pulsation
correspondant à la résonance se rapproche de ω0 lorsque r → 0.
Ainsi, suivant les réglages de la voiture, il se peut dans certains cas que les oscillations ressenties
par les roues soient fortement amplifiée pour les passagers.
Le filtre formé par ce système ne laisse pas passer les hautes fréquences mais ne modifie pas les
basses fréquences, ce qui correspond a priori 2 à un passe-bas .
Q22
10. On passe d’un sommet d’une bosse au suivant lorsque l’on parcourt horizontalement une distance
λ, or la vitesse horizontale est constante donc le temps T mis pour parcourir cette distance est
simplement T = λ/v. On en déduit ω = 2π/T = 2π vλ .
Autre manière de voir les choses : y = a cos(2πx/λ), or la vitesse horizontale de la voiture étant
constante, x(t) = vt. Au niveau de la voiture on a donc : y(t) = a cos(2πvt/λ) = b cos(ωt). On en
déduit par identification puisque les 2 fonctions sont égales pour tout t : 2πvt/λ = ω.
Attention à ne pas dire « On sait que λ = c/f donc ... ». Ce type de relation a été vue
pour une onde dans un milieu non dispersif et non absorbant. Est-ce a priori le cas de
la voiture ?
Q23
Q24
Q25
11. Puisque Y = H(ω)y, on en déduit Ym = |H(ω)|ym où Ym et ym = a représentent les amplitudes
de Y et y.
Donc l’amplitude de y étant fixée, il faut minimiser |H(ω)| pour minimiser l’amplitude des oscillations. D’après le graphique, on a donc intérêt à avoir u et donc ω le plus grand possible, soit
v le plus grand possible. Il faut donc rouler à vive allure.
12. Puisque Y = H(ω)y alors en régime sinusoïdal forcé Aacc (ω) dY
= −ω2 Y = −ω2 H(ω)y.
dt
On en déduit par passage au module que Aacc (ω) = ω2 |H(ω)|a .
s
1 + (ru)2
d’où lim Aacc (ω) = 0 et lim Aacc (ω) = +∞ (en utilisant
13. |ω2 H(u)| = ω02 u2
ω→+∞
ω→0
(1 − u2 )2 + (ru)2
les équivalents comme précédemment).
L’allure de la courbe est
2. Si r est suffisamment petit, la bande passante à −3 dB du filtre peut être de la forme [ω1 , ω2 ] comme un passe-bande
et non [0, ω2 ] pour un passe-bas, mais la réponse attendue de vous ici est a priori simplement « passe-bas » sans chercher
plus loin. Dans tout les cas, il faut justifier sa réponse.
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|Aacc (u)|
1
Q26
2
3
4
5
u
Q27
14. Compte tenu de la nouvelle courbe, pour minimiser l’accélération il faut rouler à « petit u »,
c’est-à-dire à petite vitesse .
Q28
15. On reconnait un pont diviseur de tension grâce à l’hypothèse sortie ouverte, on en déduit que :
Us =
Z2 + Z3
Z2 + Z3
Ue ⇒ H =
Z1 + Z2 + Z3
Z1 + Z2 + Z3
16. (Les positions 2 et 3 sont parfaitement interchangeables).
Les impédances sont de la forme R , jLω et 1/jC ω, pour les faire apparaitre, on reprend la fonction
de transfert H mécanique et on va diviser le numérateur et le dénominateur par jω ( pour faire
apparaitre du 1/jω et faire disparaitre le ω2 ).
H méca (ω) =
jω
+ ω02
τ
+
−ω2 + jω
τ
ω02
=
1
τ
+
ω02
jω
1
τ
+
jω +
ω02
jω
Le numérateur étant de la forme une constante + 1/jω, mettre la résistance en 2 et
le condensateur en 3 parait une bonne solution. La bobine serait donc en 1 . On aurait alors :
Q29
H élec(ω) =
R+
1
jC ω
R
L
+
1
jLC ω
=
jLω + R + jC1ω
jω + RL +
les termes dans la question suivante)
1
jLC ω
(la division par L est faite pour pouvoir identifier
On pouvait aussi deviner la position en étudiant le comportement assymptotique, mais il
vaut mieux ensuite vérifier la fonction de transfert, ce qui servira de toutes façons à la
question suivante.
17. Par identification entre H élec (ω) et H méca (ω) on en déduit les équations
Q30
R
L
1
LC
= τ1 = mη
= ω02 = mk
Une solution possible est donc R = η, L = m et C =
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1
k
.
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Continuités, discontinuités en Électricité
Petites Mines 2005, épreuve spécifique PC
I. Généralités
Q31
1. La puissance reçue par un dipôle, dérivée temporelle de l’énergie qu’il reçoit, ne peut être infinie.
Dans le cas d’un condensateur, EC (t) = 12 C uC (t)2 est l’énergie qu’il contient à l’instant t si la
tension à ses bornes est uC (t). Si uC (t) subissait une discontinuité, il en serait de même pour
EC (t), la puissance serait alors infinie, ce qui est physiquement impossible. On en déduit que u(t)
la tension aux bornes d’un condensateur ne peut pas subir de discontinuité.
De même, l’énergie contenue à l’instant t dans une bobine est EL (t) = 21 Li2 (t) quand le courant qui
la parcourt est iL (t). Comme EL (t) ne peut pas subir de discontinuité, iL (t) est aussi une fonction
continue au sens mathématique du terme.
…€„ƒ ‚ÿû„ û …€ƒ ‚ €‚û„ÿ
…„€‚ÿ „ …-€‚ÿ
€û …ƒ ‚ €‚û„ÿ …„
„ €…-‚ÿ€‚…
…û €ƒ ‚ €‚€û„ÿ ‚…„
„ …-€‚€ÿ ‚…
2. Les figures suivantes expliquent la méthode de mesure de la résistance interne d’un générateur :
GBF réel
Modélisation Thévenin
A
Montage 1 : K ouvert
A
r
GBF
U0
E
M
Montage 2 : K fermé
A
r
U0
E
M
K
U0
A
r
R
E
M
U
R
M
On réalise le montage 1. avec R une résistance variable, un interrupteur (ou un simple fil qu’on
branche ou débranche) et le générateur réel.
Tant que K est ouvert, le générateur ne débite aucun courant et délivre une tension continue de
valeur U0 = E que l’on mesure à l’aide d’un voltmètre.
On ferme ensuite K (montage 2.) et on cherche par tâtonnement la valeur de R telle que U ≃ U20 .
Comme on a un pont diviseur de tension, U = RR+r E = RR+r U0 = U20 quand R = r.
Il ne reste plus qu’à mesurer R à l’aide d’un ohmmètre. Pour un GBF classique, on obtiendra
r ≃ 50 Ω .
Q32
Pour un générateur idéal de tension on devrait avoir rid = 0 car la tension aux bornes du
générateur U = E − rI doit rester constante pour tout I.
…€„ƒ  ‚ € …‚ÿ„ƒ€‚…„ƒ û
û„ …-„€‚
„
…
…
„
„
„
ƒ ÿƒ ƒ
II. Régime sinusoïdal forcé.
uL
iL
ZL
e(t)
Q33
R
ZC
…€„ƒ ‚ú€‚ø€ …‚ƒùÿ€‚…ƒ…ƒù û
û… „„ …„ „„
û„ …-„€‚
ƒ „ÿƒ ƒ
u(t)
e(t)
Figure 2
L
iR
R
iC
uR C
uC
Figure 3
1. En associant R et C en parallèle, on reconnaît un pont diviseur de tension pour lequel
ZR//C
1
1
e(t) où YL//C = ZR//C
= R1 + jC ω et ZL = jLω d’où
u(t) = ZR//C +ZL e(t) = 1+YL//C
.ZL
u(t) =
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e(t)
1 + jLω/R − LC ω2
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Q34
PCSI
2. En écrivant u(t) = U.ejωt et e(t) = Em .ejωt , on en déduit U =
U = |U| =
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E
et
1 + jLω/R − LC ω2
E
E
q
=
|R + jLω/R − LC ω2 |
)2
(1 − LC ω2 )2 + ( Lω
R
De même, φ = arg(U) = arg(E) − arg(1 + jLω/R − LC ω2 ) soit tan φ = −
Lω
or,
R (1 − LC ω2 )
Lω
sin φ a le signe opposé de Lω
donc sin φ < 0 et −π ≤ φ ≤ 0 d’où φ = − arctan R (1−LC
si
R
ω2 )
Lω
1
1
ω ≤ ω0 = √LC et φ = −π − arctan R (1−LC ω2 ) si ω > ω0 = √LC .
3. De l’équation obtenue au 1., on tire
u(t)(R + jLω − R LC ω2 ) = R e(t) ⇒ R LC (jω)2 u(t) + L(jω)u(t) + R u(t) = R e(t)
Q35
soit par identification avec D2 (jω)2 u(t) + D1 (jω)u(t) + D0 u(t) = N0 e(t), D2 = R LC , D1 = L et
Q36
D0 = N0 = R .
4. Quand on écrit une équation en notation complexe, toute multiplication par jω correspond à une
2
dérivation temporelle dtd , une multiplication par (jω)2 = −ω2 à dtd 2 .
2
On en déduit qu’en notation réelle R u(t) + L du(t)
+ R LC ddtu(t)
= R e(t) soit encore
2
dt
1 du(t) u(t)
e(t)
d2 u(t)
+
+
=
2
dt
R C dt
LC
LC
III. Régime transitoire
1. À partir de t = 0+ , on peut écrire (loi des mailles) E − uL − uC = 0 ⇐⇒ E = L didtL + uC avec,
C
d’après la loi des nœuds, iL = iR + iC = uRC + C du
.
dt
Q37
Q38
Q39
1 duC
uC
E
d 2 uC
duC
.
+
+
=
+
C
+
u
soit
C
R
dt
2
dt
R C dt
LC
LC
On retrouve la même équation que dans la question précédente ce qui est parfaitement logique
puisqu’il s’agit de la même tension prise au même endroit du même circuit.
2. L’équation caractéristique associée à cette équation différentielle est x 2 + R1C x + LC1 = 0 dont
le déterminant est ∆ = R 21C 2 − LC4 . Le type de régime observé dépend du signe de ∆. On a par
exemple un régime pseudo périodique caractérisé par des oscillations
r
1 L
4
1
= Rc
si ∆ < 0 ⇐⇒ R 2C 2 > LC ⇐⇒ R >
2 C
En effet, si R est grand, à la limite infini, le résistor est équivalent à un interrupteur ouvert et
le circuit se résume à un circuit LC , c’est à dire sans élément dissipatif, on a alors un régime
harmonique.
3. Représentons le circuit équivalent à t = 0+ en respectant la continuité de iL et celle de uC puis
le circuit au bout d’un temps infini, le condensateur est alors équivalent à un interrupteur ouvert
et la bobine à un interrupteur fermé :
On obtient ainsi directement E = L dtd
…€„ƒ ‚ú€‚ø
€ …‚ÿƒù€‚…ƒ„…ù
û„ …-„ …„ û„„ ƒ„„„ û„„
ÿƒ ƒ
€ƒ ‚
u
C
uL
iL
e(t)
L
iR
R
à t = 0+
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uL
iL
iC
uR
C
ø€ …‚ƒÿ€‚…ƒ
…€„ƒ ‚ú€‚
…
ù
ù
û
û„ …-„ …„ „„ ƒ…„ û„„
ÿƒ ƒ
€ƒ ‚
uC
e(t)
L
iR
R
iC
uR
C
uC
àt→∞
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Q40
PCSI
2016 – 2017
On en déduit, directement :
t = 0+
t→∞
uL
E
0
uC
0
E
uR
0
E
iL
0
E/R
iC
0
0
iR
0
E/R
4. Dans le cas d’un régime critique (R = Rc , facteur de qualité Q = 12 ), l’équation différentielle
prend la forme üC + 2ω0 + u̇C + ω02 uC = ω02 e(t) = ω02 E pour t ≥ 0.
La solution est de la forme uC (t) = (A + Bt). exp −ω0 t + E (solution de l’équation homogène +
solution particulière).
On détermine les constantes d’intégration en utilisant les conditions initiales, uC (0+ ) = 0 =
(A + 0).1 + E = 0 ⇒ A = −E.
= B.e−ω0 t − ω0 (A + Bt).e−ω0 t + 0 et
De même, dudtC (t) à t = 0+ ,
Q41
Q42
duC (t)
dt
=
0
iC (0+ )
C
= B − ω0 A ⇒ B = ω0 A = −ω0 E.
Finalement, uC (t) = E[1 − (1 + ω0 t).e−ω0 t ]
5. Dans le cas où R = Rc , on assiste à un régime transitoire du type critique caractérisé par une
durée courte et sans oscillations.
C
La tangente à u
l’origine
est nulle car iC (0+ ) = 0 = C du
(0+ ), puis uC tend rapidement vers
dt
C
uC (∞) = E.
E
0
t
6. On donne C = ε0eS . Lorsque e passe de e(0− ) à e(0+ ) = 21 e(0− ), comme S et ε0 restent constants,
C (0+ ) = 2C (0− ) : discontinuité de C (t).
L’énergie électrique EC ne peut pas subir de discontinuité (car
infinie), on a donc EC (0+ ) = EC (0− ) : continuité de EC (t).
dEC
dt
= P la puissance ne peut être
On a également EC = 21 C u2C d’où EC (0+ ) = 12 C (0+ )u2C (0+ ) et EC (0− ) = 12 C (0− )u2C (0− ).
En réinjectant les égalités précédentes, 21 2C (0− )u2C (0+ ) = 21 C (0− )u2C (0− ) soit
Q43
uC (0+ ) = √12 uC (0− ) : discontinuité de uC (t) et enfin, q(0+ ) = C (0+ )uC (0+ ) = 2C (0− ) √12 uC (0− ) =
√
√
2C (0− )uC (0− ) soit q(0+ ) = 2q(0− ) : discontinuité de q(t).
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