DS1 - Physique

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Partie PHYSIQUE : Circuits électriques
Problème n°1 : Un réveil en douceur
On commercialise aujourd’hui des réveils « éveil lumière / éveil douceur ». Le concept utilisé est le suivant : lorsque
l’heure du réveil programmée est atteinte, la lampe diffuse une lumière dont l’intensité lumineuse augmente
progressivement jusqu’à une valeur maximale. On évite de cette façon un réveil trop brutal. La durée nécessaire pour
atteindre la luminosité maximale est modifiable.
Des élèves décident de modéliser ce phénomène à l’aide d’un circuit électrique. Dans leur circuit, ils utilisent un
dispositif de mesure de la puissance lumineuse (Plum) émise par la lampe. On estime que pour réveiller un individu, la
lumière est suffisante lorsque la puissance lumineuse (Plum) atteint 90 % de sa valeur maximale (Pmax). Par ailleurs, on estime
𝑃
que l’œil détecte la lumière dès que 𝑙𝑢𝑚 ≥ 10 %.
𝑃𝑚𝑎𝑥
Les élèves réalisent d’abord un circuit simple (donné ci-dessous, Figure 1), utilisant un générateur (supposée idéal)
de tension continue (E = 6,0 V), un conducteur ohmique (R = 5,0 Ω) et une lampe (symbolisé par :
)
Figure 1
Ils obtiennent les données (Figure 2) sur l’intensité (I en A) dans le circuit ainsi que la puissance lumineuse émise
par la lampe (Plum) :
Figure 2
1. Comment le groupe d’élèves a réussi à tracer l’évolution temporelle de l’intensité ?
2. a. Pour la suite de leurs expériences, les élèves souhaitent assimiler la lampe à un conducteur ohmique de
résistance Rlampe. A partir du graphe ci-dessus, estimer Rlampe en régime permanent.
b. Calculer alors, en watts, la puissance lumineuse maximale émise par la lampe.
3. À partir du graphe ci-dessus, déterminer la durée nécessaire pour permettre le réveil. Cette durée est-elle compatible
avec l’utilisation d’un tel montage pour une « lampe à diffusion douce » ?
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Les élèves pensent alors à insérer une bobine dans le circuit précédent (voir ci-dessous Figure 3). Ils disposent de
plusieurs bobines d’inductance L, dont la résistance interne est supposée constante égale à 𝑟𝐿 = 10 Ω. Initialement,
l’interrupteur est ouvert.
Figure 3
Leurs expériences permettent d’obtenir le graphe suivant (Figure 4) :
t (ms)
t (ms)
Figure 4
4. Les élèves ont-ils été bien inspiré de choisir de mettre une bobine dans leur circuit ? La durée d’allumage de la lampe
est-elle compatible avec l’utilisation d’un tel montage pour une « lampe à diffusion douce » ? Justifier vos réponses.
Les élèves sont intrigués par la position du maximum atteint par l’intensité selon la bobine utilisée. Ils mesurent la position temporelle
de ce maximum Δ𝑡𝑚𝑎𝑥 selon la bobine utilisée, et se demandent si cette position est proportionnelle à la constante de temps ,
caractérisant l’évolution temporelle de l’intensité du courant électrique lors de l’association en série d’un
conducteur ohmique et d’une bobine.
5. a. Etablir l’équation différentielle vérifiée par i(t) l’intensité traversant le circuit de la Figure 3, en assimilant
la lampe à un conducteur ohmique de résistance Rlampe.
b. Donner alors l’expression complète de i(t) et celle de la constante de temps  en fonction de L, rL, R et Rlampe.
c. Conclure sur la question que se posent les élèves (on prendra 𝑅𝑙𝑎𝑚𝑝𝑒 = 1 × 102 Ω).
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Avant de conclure sur leur étude, le groupe d’élèves souhaite vérifier les valeurs d’inductance des bobines fournies. Ils réalisent dans
ce but un circuit (voir ci-dessous Figure 5) en utilisant la bobine sur laquelle est indiquée L= 1 H. Cette bobine a une résistance interne
rL. Le condensateur utilisé est de capacité C = 22 µF. Le condensateur est initialement chargé sous une tension E = 6,0 V
(commutateur en position 1).
i
1
2
K
+
E
uC
C
L, rL
Figure 5
Après avoir basculé le commutateur en position 2, on enregistre l’évolution de la tension aux bornes du condensateur au
cours du temps ; la courbe obtenue est représentée ci-dessous (Figure 6).
Figure 6
6. a. Préciser les branchements à réaliser pour visualiser la tension aux bornes du condensateur.
b. Comment nomme-t-on le régime correspondant à cette évolution (Figure 6) de la tension uC(t) aux bornes
du condensateur ?
c. Quelle est la cause, en termes d’énergie, de l’amortissement des oscillations observé sur
l’enregistrement donné ?
7. a. Etablir l’équation différentielle vérifiée par uc(t) une fois le commutateur K basculé en position 2.
b. Exprimer, en fonction des données de l’énoncé, la pseudo-pulsation Ω et le coefficient d’amortissement 𝜆.
c. Donner l’expression générale de uc(t) dans le cadre du régime observé. On ne cherchera pas à déterminer les
constantes d’intégration apparaissant dans l’expression de uc(t).
8. Dans le cas où l’amortissement est faible, la pseudo-période T des oscillations est proche de la période propre T0 du
circuit LC. Estimer alors l’inductance L de la bobine. La valeur de l’inductance L calculée est-elle compatible avec
les données du constructeur ?
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Problème n°2 : Horloge à quartz
Le quartz est une forme particulière de cristal de silice. Il présente une propriété physique particulière : la piézoélectricité. Quand on comprime un morceau de quartz dans une direction particulière, une tension apparaît aux bornes
du cristal (c’est l’effet piézo-électrique). Réciproquement, quand on applique une tension aux bornes d’un quartz, ce
dernier se déforme proportionnellement à la tension appliquée (c’est l’effet piézo-électrique inverse). Ainsi, le quartz
est très intéressant pour l’électronique car on parvient à réaliser des circuits oscillants, à base de résonateur à quartz,
très stables dans le temps. Actuellement, le quartz est remplacé par certaines céramiques piézo-électriques.
Un cristal de quartz (Figure 7) est taillé sous forme de pastille cylindrique mince. La base circulaire présente un
diamètre d = 1 cm et l’épaisseur de la pastille est e = 0,2 mm. Des électrodes métalliques (en or généralement) sont
déposées sur chacune des faces circulaires du quartz (on suppose que ces faces sont totalement métallisées). On parle
d’électrodes de connexion. On a ainsi réalisé un condensateur plan.
Figure 7
D’un point de vue mécanique, lorsque l’on soumet le disque piézo-électrique à une tension sinusoïdale V(t) = V·cos(ωt)
il va être le siège d’une vibration mécanique sinusoïdale sous l’effet d’une force extérieure proportionnelle à cette
tension.
D'un point de vue électrique, la charge totale q apparaissant sur les électrodes planes à deux origines :
-
les deux faces planes du disque forment un condensateur de capacité CP, d'où une charge q1(t),
-
l'effet piezo-electrique provoque l'apparition d'une charge q2 proportionnelle au déplacement du cristal. Cette
charge est équivalente à la charge d’un condensateur de capacité C S
On montre que la capacité d'un condensateur plan (en absence d’effet piezoélectrique) vaut 𝐶 =
𝜀0 𝜀𝑟 𝑆
où S est la surface
𝑒
d'une électrode, e l'épaisseur du condensateur, 0 la permittivité du vide (sa valeur est 8,85 10-12 Fm-1) et r une constante
valant pour le quartz 2,3.
9. Estimer la valeur de la capacité CP appelée capacité de connexion.
10. Donner la relation entre la charge q1, la capacité CP et la tension V(t).
Le schéma électrique simplifié du quartz est alors, en négligeant sa résistance interne, (Figure 8) :
Figure 8
Pour les applications numériques, on prendra L = 500 mH, CS = 0,08 pF et CP = 8 pF. On se placera toujours en régime
sinusoïdal forcé.
11. A quoi peut-on assimiler le quartz à basse fréquence ? à haute fréquence ? Justifier.
12. Donner les expressions des impédances complexes 𝑍𝐶𝑠 , 𝑍𝐶𝑃 et 𝑍𝐿 , en fonction de CS, CP et L.
13. Exprimer l’impédance complexe ZAB du quartz, vue entre les bornes A et B, en fonction des impédances
complexes 𝑍𝐶𝑠 , 𝑍𝐶𝑃 et 𝑍𝐿 .
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On montre que l'impédance complexe du quartz, vue entre les bornes A et B, s’écrit sous la forme :
𝜔2
1− 2
𝑗
𝜔𝑟
𝑍𝐴𝐵 = −
𝜔2
𝛼𝜔
1− 2
𝜔𝑎
1
𝐶𝑃 +𝐶𝑆
2
2
avec 𝛼 = 𝐶𝑃 + 𝐶𝑆 , 𝜔𝑟 =
et 𝜔𝑎 =
.
𝐿𝐶𝑆
𝐿𝐶𝑆 𝐶𝑃
14. L’expression de l’impédance complexe du quartz est-elle en accord avec votre réponse à la question 11 ?
Justifier.
La représentation graphique de 𝑍𝐴𝐵 = |𝑍𝐴𝐵 | en fonction de 𝜔 est la suivante (Figure 9) :
𝑍𝐴𝐵
Figure 9
ω
15. Reproduire l’allure du graphe de la Figure 9, et y-placer les pulsations 𝜔𝑟 et 𝜔𝑎 . Justifier.
On veut tracer expérimentalement la courbe ci-dessus (Figure 9) donnant l’impédance du quartz en fonction de la
fréquence d’excitation. On dispose d’un générateur basses fréquences pouvant délivrer une tension sinusoïdale
d’amplitude réglable. Le GBF possède une résistance interne R g. On dispose d’une résistance Rv variable, d’un quartz
et d’un oscilloscope. On réalise alors le montage suivant (Figure 10) :
Figure 10
16. Exprimer le rapport de la tension de sortie Vs à celle d'entrée VE : H =Vs /VE en fonction de Rv et de ZAB.
On choisit, pour chaque fréquence, la résistance Rv de telle facon que |H|=0,5.
17. En pratique, comment visualise-t-on sur l’écran de l’oscilloscope que |H|=0,5 ?
18. Exprimer alors le module de l'impédance du quartz, 𝑍𝐴𝐵 , en fonction de Rv.