DM 3 Oscillateur Harmonique - Interférences - Optique PCSI 2016 – 2017

DM 3 Oscillateur Harmonique - Interférences - Optique PCSI22016 – 2017
Consignes : Le DM doit rester un travail personnel pour prolonger et approfondir le cours. Un soin particulier
doit être apporté à la rédaction. Tous les résultats seront encadrés.
Oscillateurs
1 Oscillation verticale
x
z
O
M
~g
On considère un objet Mde masse msuspendu verticalement
au bout d’un ressort de raideur ket de longueur à vide l0. On
considère un axe Oz orienté vers le bas : la position de l’objet
sera donc repérée à l’aide de sa cote z. On se propose d’étudier les
oscillations verticales de cet objet.
1. Calculer la position zeq de la masse lorsqu’elle est à l’équilibre.
2. Vérifier explicitement l’homogénéité du résultat de la question précédente.
3. Établir l’équation différentielle à laquelle obéit la fonction z(t) et la mettre sous la forme :
¨z+ω2
0z=ω2 0zeq.
4. Donner le nom de ω0, sa dimension et son unité.
5. Quelle est la période Tdes oscillations ?
6. À t=0, la masse est lancée avec une vitesse verticale v0de la position zeq. Résoudre l’équation diffé-
rentielle compte tenu de ces conditions initiales. On exprimera la solution en fonction de v0, ω0et zeq
(et tbien sur).
7. Tracer la courbe représentant l’évolution temporelle de la cote de M. Tracer une deuxième courbe
correspondant à une autre masse m′> m.
8. Quelle est l’énergie potentielle élastique du ressort lorsque la masse est à une position z?
9. On admet que compte tenu de la gravité, la masse dispose d’une énergie potentielle qui peut s’exprimer
sous la forme Ep,pes =−mg(z−zeq), montrer que l’énergie mécanique de l’objet Mse conserve au
cours du temps.
2 Avec un deuxième ressort x
z
O
M
~g
h
On rajoute maintenant un ressort sous la masse qui est fixé au sol
comme représenté sur le schéma ci-contre. La longueur à vide de
ce nouveau ressort est L0et sa raideur est K. La distance entre le
sol et le plafond est notée hne correspond a priori pas à la somme
des longueurs à vide : h6=L0+l0. La présence de ce ressort
modifie donc les paramètres de l’oscillation, longueur à l’équilibre,
fréquence des oscillations etc...
1. Calculer la nouvelle position d’équilibre zeq,2
2. Établir l’équation différentielle du mouvement et l’écrire sous la forme
¨z+ Ω2
0z= Ω2 0zeq,2,
on donnera l’expression de Ω0en fonction de k,K et m.
3. Ce système oscille-t-il plus rapidement ou moins rapidement que le système précédent ?
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3 Mesure de masse x
z
O
M
~g
h
On se propose d’utiliser le système masse-ressort pour effectuer
des mesures de masses en apesanteur. On se place dans le cas de
deux ressorts identiques (de raideur ket de longueur à vide l0)
écartés d’une distance hsupérieure à la somme des longueurs à
vide (h > 2l0) On écarte la masse d’une distance apar rapport à
sa position d’équilibre et on note Xl’écart à la position d’équilibre.
L’équation du mouvement est :
X(t) = acos (Ωt) avec Ω = s2k
m+δm
1. On appelle f0la fréquence de vibration en l’absence de masse supplémentaire et f(δm) la fréquence
lorsque l’on ajoute une masse δm. Montrez que l’on peut écrire :
f(δm) = f01 + δm
m−1
2
2. Pour ǫsuffisamment petit devant 1, on peut écrire (1 + ǫ)α≃1 + αǫ. En utilisant cette formule et
la relation établie à la question précédente, exprimez simplement la grandeur ∆f=f0−f(δm) en
fonction de f0, m et δm.
3. En déduire une expression de δm en fonction de ∆f, f0et m.
La masse ajoutée étant ici très faible, la fréquence obtenue est proche de la fréquence initiale. Pour
améliorer la précision de la mesure, on propose le protocole suivant :
— on réalise une mesure de référence sans ajout de masse, on obtient le signal Xref (t),
— on réalise une mesure avec l’ajout de la masse δm, on obtient le signal Xmes(t)
— on effectue la somme des deux signaux : s(t) = Xref (t) + Xmes(t).
Le signal s(t) est représenté sur la figure ci-dessous.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
0
1
2s(cm)
t(s)
4. Quel phénomène observe-t-on ? Pourquoi ?
5. Représenter les spectres de Xref ,Xmes et s.
6. À partir de l’enregistrement, mesurer ∆f.
7. En déduire la valeur numérique de la masse δm sachant que f0= 20 Hz et m= 60 g.
8. Pour réaliser ces mesures de masse, on se place dans le cas où h > 2l0, expliquez sans calculs l’intérêt
de cette configuration (par opposition au cas où h < 2l0. On pourra envisager une légère perturbation
selon la direction x.
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Une source et deux miroirs
Sest une source lumineuse monochromatique de longueur
d’onde λ. La plaque opaque Eélimine la lumière allant di-
rectement de la source vers l’écran. Celui-ci reçoit donc uni-
quement la lumière qui a été réfléchie soit pas le miroir du
haut, soit par le miroir du bas (on suppose qu’il n’y a qu’une
seule réflexion).
1. Représenter les images S1(respectivement S2) de Spar le miroir du haut (respectivement du bas).
2. Tracer la propagation de deux rayons lumineux issus de Set arrivant en un point Mde l’écran.
3. Exprimer la différence de marche δ=S2M−S1Men fonction de l x et D. Montrer que δpeut s’écrire
δ=ax
D(on utilisera le fait que √1 + ǫ≃= 1 + 1 2ǫ.
4. Calculer alors le déphasage entre les deux ondes lumineuses arrivant en M.
5. À quelle condition sur x, les ondes interfèrent-elles de manière constructive ? On définit l’interfrange i
comme la distance séparant deux franges d’interférence, c’est-à-dire deux points d’éclairement maximal.
Donner l’expression de i.
6. Trouver les coordonnées des points en lesquels il y a interférence destructive.
Arc-en-ciel
1 Introduction
On considère une bille sphérique en verre, aluminisée sur sa face arrière (Figure 1).
i
n
Figure 1 – Rétro-réflecteur sphérique
Déterminer l’indice de réfraction ndu verre nécessaire pour que le système se comporte comme un rétro-
réflecteur pour les rayons paraxiaux, c’est à dire tel que tout rayon rentrant dans la bille avec un angle
d’incidence ifaible ressorte parallèlement à lui-même après avoir subi une réfraction à l’entrée, une réflexion
sur le fond et une réfraction à la sortie.
2 Théorie géométrique de l’arc-en-ciel
2.1 Trajet des rayons dans une goutte d’eau sphérique.
On considère une goutte d’eau sphérique, de rayon Ret d’indice de réfraction n. Les trajets des rayons
lumineux sont définis Figure 2. Soit un rayon lumineux incident, situé à une hauteur hde l’axe de la goutte
associée à l’angle d’incidence i(qui n’est pas nécessairement petit).
1. On note D1l’angle de déviation de ce rayon, à la sortie de la goutte d’eau, obtenu après une réflexion
sur le fond de la goutte et deux réfractions à l’entrée et à la sortie de la goutte.
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i
r
D1
h
n
Figure 2 – Cas d’une réflexion et de deux réfractions.
On note rl’angle de réfraction associé à l’angle d’incidence i.
(a) Etablir la relation : D1= 4r−2i.
(b) Exprimer l’angle D1en fonction de net de x=h
R(0 < x < 1).
(c) Tracer l’allure de D1(x) dans le cas de l’eau, sachant que n≃1,337.
(d) Montrer que D1(x) passe par un extremum lorsque xa pour valeur x=q4−n2
3.
On donne la dérivée de la fonction arcsin :
darcsin(x)
dx =1
√1−x2
(e) On note D1mla valeur correspondante de D1.
Calculer xmet D1m(en degré) dans le cas de l’eau, sachant que n≃1,337.
2. On considère maintenant un rayon lumineux qui subit deux réflexions à l’intérieur de la goutte et deux
réfractions à l’entrée et à la sortie de la goutte (voir Figure 3).
D2
hn
Figure 3 – Cas de deux réflexions et de deux réfractions.
(a) Montrer que l’angle de déviation D2est donné par la relation D2=π+ 2i−6roù iet rsont les
mêmes qu’à la question précédente.
(b) On admet que la fonction D2présente un extremum D2mlorsque xvarie.
Calculer numériquement en degré, toujours dans le cas de l’eau, cet extremum, sachant que la
valeur correspondante de xvautq9−n2
8.
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2.2 Caractéristiques de l’arc-en-ciel
Il s’agit ici de déduire les caractéristiques de l’arc-en-ciel, formé par la rétrodiffusion de la lumière solaire
dans des gouttes d’eau sphériques des mécanismes présentés ci-dessus.
1. Pourquoi voit-on un arc lumineux (dit arc primaire) et parfois un second d’intensité plus faible (dit
arc secondaire) ?
2. Sur un schéma, préciser les positions relatives du soleil, de la pluie et de l’observateur ?
3. Quelles sont les rayons angulaires moyens des arcs ? L’arc secondaire est-il externe ou interne ? Justifier.
4. Peut-on voir un arc-en-ciel primaire à Paris le 21 mars (équinoxe de printemps) à midi solaire c’est à
dire lorsque le Soleil est au zénith de l’équateur ? On assimilera la latitude de Paris à 45 ◦.
5. Pourquoi voit-on des couleurs ? Préciser l’ordre des couleurs pour l’arc-en-ciel primaire ainsi que l’écart
angulaire entre le violet ( λ= 400 nm , n= 1,34356 ) et le rouge ( λ= 700 nm , n= 1,33052 ).
6. Le ciel est sombre entre les deux arcs primaire et secondaire : interpréter sans calcul.
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