Chute libre avec frottement Vitesse limite de chute

OS, 08 novembre 2005 41
Chute libre avec frottement
• On peut toujours choisir un référentiel Oxyz (avec z vertical) tel quel les
conditions initiales s’écrivent:
• Application de la loi de Newton dans chacune des directions x, y, z:
• Vitesse limite de chute (t >> ): vz(t)  g = mg/b
Au tableau
r
x
0 =
0
0
0
r v
0 =
v0x
0
v0z
m˙ ˙ x = b˙ x  x(t) = v0x 1et/ 
()
m˙ ˙ y = b˙ y  y(t) = 0 avec  = m
b
m˙ ˙ z = b˙ z mg  z(t) = g t + v
0z + g
()
 1et/ 
()
y
x
zv0
Omg
bv
OS, 08 novembre 2005 42
Vitesse limite de chute
• Après un temps de chute long (t >> m/b):
– vitesse v = constante
– accélération a = 0
– force F = ma = mg  bv = 0
– vitesse v = g m/b
• Deux masses différentes avec b constant:
– la plus grande masse
• atteint sa vitesse limite plus tard
• atteint une vitesse limite plus grande
• Deux masses égales dans milieux visqueux avec b différents:
– dans le milieu le plus visqueux
• vitesse limite atteinte plus vite
• vitesse limite plus faible  démo
mg
bv
v = constante
y
x
z
O
g

OS, 08 novembre 2005 43
Oscillateurs harmoniques
• Modèle valable, en première approximation, pour tout
phénomène oscillatoire ou vibratoire (petits mouvements
périodiques autour d’une position d’équilibre stable)
• Exemples:
– masse pendue à un ressort  démo
– pendule simple, pendule de torsion  démo
– résonateurs à quartz (montres)
– circuits électriques RLC
– vibrations (corde de guitare, aile d’avion, pudding, …)  démo
– oscillations du champ électromagnétique (lumière …)
– etc ...
Note: un système physique avec un mouvement périodique est notre meilleure horloge
 on mesure le temps en comptant le nombre de périodes
OS, 08 novembre 2005 44
Modélisation de la force d’un ressort
• La force exercée par un ressort est proportionnelle à son
déplacement (élongation ou compression) par rapport à sa
position de repos  démo
F = k x
• Force de rappel
k = constante élastique
du ressort
Note: ce modèle n’est
valable que pour les
petits allongements
Loi de Hooke
Ressort
au repos
Ressort allongé
par un poids
mg
F = mg
x
Position
de repos
Masse m
à l’équilibre

OS, 08 novembre 2005 45
Oscillateur harmonique à une dimension
• Loi de Hooke: F = kx
• 2ème loi de Newton: F = ma
m˙ ˙ x = kx
équation différentielle
(cas idéal, sans frottement)
But: connaissant k, m et les conditions initiales (x0 et v0 à t=0),
déterminer x(t) pour tout t > 0
m
k
x
O
F
Origine O de l’axe x définie
comme la position d’équilibre
(position où F=0)
OS, 08 novembre 2005 46
Résolution numérique
• Pour fixer les idées:
– m = 1 kg, k = 1 N/m = 1 kg/s2,
– Conditions initiales: x(0) = 1 m, v(0) = 0 m/s
– a(0) = F(0)/m = k x(0)/m = 1 m/s2
• Récurrence:
– Accroissement de v entre t et t+t:
v = a(t) t car a(t) = dv(t)/dt
 v(t+t) = v(t) + a(t) t
– Accroissement de x entre t et t+t:
x = v(t) t car v(t) = dx(t)/dt
 x(t+t) = x(t) + v(t) t
• On choisit t très petit (t = 0.001 s dans notre
exemple), et on itère un grand nombre de fois
M=1
K=1
T=0
X=1
V=0
DT=0.001
1F=K*X
A=F/M
V=V+A*DT
X=X+V*DT
T=T+DT
PRINT *,T,X,A,V
GOTO 1
Algorithme pour ordinateur :

OS, 08 novembre 2005 47
T X V A
0.0 1.000 0.000 -1.000
0.5 0.877 -0.479 -0.877
1.0 0.540 -0.841 -0.540
1.5 0.070 -0.997 -0.070
2.0 -0.417 -0.909 0.417
2.5 -0.801 -0.598 0.801
3.0 -0.990 -0.141 0.990
3.5 -0.936 0.351 0.936
4.0 -0.653 0.757 0.653
4.5 -0.210 0.978 0.210
5.0 0.284 0.959 -0.284
5.5 0.709 0.706 -0.709
6.0 0.960 0.279 -0.960
6.5 0.976 -0.215 -0.976
7.0 0.754 -0.657 -0.754
7.5 0.346 -0.938 -0.346
8.0 -0.146 -0.989 0.146
8.5 -0.602 -0.798 0.602
9.0 -0.911 -0.412 0.911
9.5 -0.997 0.075 0.997
10.0 -0.839 0.544 0.839
10.5 -0.475 0.880 0.475
11.0 0.005 1.000 -0.005
11.5 0.484 0.875 -0.484
12.0 0.844 0.537 -0.844
12.5 0.998 0.066 -0.998
13.0 0.907 -0.420 -0.907
13.5 0.595 -0.804 -0.595
14.0 0.136 -0.991 -0.136
14.5 -0.355 -0.935 0.355
15.0 -0.760 -0.650 0.760
15.5 -0.979 -0.206 0.979
16.0 -0.958 0.288 0.958
16.5 -0.702 0.712 0.702
17.0 -0.275 0.961 0.275
17.5 0.220 0.976 -0.220
18.0 0.661 0.751 -0.661
18.5 0.940 0.342 -0.940
19.0 0.989 -0.150 -0.989
19.5 0.796 -0.606 -0.796
20.0 0.408 -0.913 -0.408
«Output» de l’ordinateur …
Vérification analytique de la solution:
• On pose: x(t) = cos(0t)  x(0)=1 
• v(t) = dx/dt =  0 sin(0t)  v(0)=0 
• a(t) = dv/dt =  02 cos(0t)
• Comme a(t) =  k/m x(t), on doit avoir
= 1 s1 dans notre exemple
0=k
m
Pulsation propre de
l’oscillateur libre
NB: a=dv/dt =0 
v est max (ou min)
… duquel on fait les graphes suivants:
On reconnaît le cosinus !
-1
0
1
01020
-1
0
1
01020
t [s]
x [m]
position x(t)
t [s]
v [m/s]
vitesse v(t)
t [s]
a [m/s
2
]
acceleration a(t)
-1
0
1
01020
OS, 08 novembre 2005 48
Solution générale et dépendance par rapport aux conditions initiales
Note:
l’amplitude et la
phase des oscillations
(mais pas 0)
dépendent des
conditions initiales.
-2
0
2
01020
-2
0
2
01020
-2
0
2
01020
-2
0
2
01020
-2
0
2
01020
t [s]
x [m]
x
0
=1 m, v
0
=0 m/s
t [s]
x [m]
x
0
=0 m, v
0
=1 m/s
t [s]
x [m]
x
0
=−1 m, v
0
=0 m/s
t [s]
x [m]
x
0
=1 m, v
0
=1.5 m/s
t [s]
x [m]
x
0
=1 m, v
0
=−1.5 m/s
t [s]
x [m]
x
0
=0 m, v
0
=0 m/s
-2
0
2
01020
cos(0t) sin(0t) cos(0t)
T
T
(au repos)
T=2
0
Période
Fréquence
=1
T=0
2
˙ ˙ x + 
0
2
x = 0
Solution générale de :
x(t) = A cos(0t) + B sin(0t) ou bien x(t) = C sin(0t + D)
Deux constantes d’intégration à déterminer par les conditions initiales:
A = x0 et B = v0 /0, ou bien C2 = x02 + (v0 /0)2 et tg(D) = 0 x0/v0

OS, 08 novembre 2005 49
Oscillateur harmonique amorti
• En pratique, tout oscillateur s’amortit à cause des frottements
• Modèle:
– on ajoute une force de frottement proportionnelle
à la vitesse: Ffrot= bv
(signe «»: la force s’oppose au mouvement)
– coefficient de frottement b = 0.25 kg/s
• Deuxième loi de Newton: F+Ffrot = ma
m˙ ˙ x = kx b˙ x
M=1
K=1
B=0.25
T=0
X=1
V=0
DT=0.001
1F=K*XB*V
A=F/M
V=V+A*DT
X=X+V*DT
T=T+DT
PRINT *,T,X,A,V
GOTO 1
Algorithme pour ordinateur:
équation différentielle plus compliquée,
mais toujours facile à résoudre numériquement
m
k
x
O
Ffrot
F
 démo
pendule
de torsion
OS, 08 novembre 2005 50
Oscillateur harmonique amorti
˙ ˙
x + 2˙ x + 0
2 x = 0 avec =b
2m et 0=k m
-1
0
1
01020
-1
0
1
01020
-1
0
1
01020
-1
0
1
01020
-1
0
1
01020
t [s]
x [m]
b=0 kg/s
t [s]
x [m]
b=0.1 kg/s
t [s]
x [m]
b=0.25 kg/s
t [s]
x [m]
b=1 kg/s
t [s]
x [m]
b=2 kg/s
t [s]
x [m]
b=8 kg/s
-1
0
1
01020
pas amorti
 = 0
amortissement
critique
 > 0
amortissement
sur-critique
 < 0
amortissement
sous-critique
Comportement
oscillatoire
Plus de comportement
oscillatoire
Cas où l’amortissement
est le plus rapide