Au tableau Chute libre avec frottement • On peut toujours choisir un référentiel Oxyz (avec z vertical) tel quel les conditions initiales s’écrivent: 0 v 0x r r v0 bv y x 0 = 0 v 0 = 0 z 0 v 0z x O mg • Application de la loi de Newton dans chacune des directions x, y, z: m˙x˙ = b˙x x(t) = v0x (1et/) m˙y˙ = b˙y y(t) = 0 avec = m b m˙z˙ = b˙z mg z(t) = g t + (v0z + g) (1et/) • Vitesse limite de chute (t >> ): vz(t) g = mg/b OS, 08 novembre 2005 41 Vitesse limite de chute • Après un temps de chute long (t >> m/b): – – – – vitesse v = constante accélération a = 0 force F = ma = mg bv = 0 vitesse v = g m/b • Deux masses différentes avec b constant: z g y bv O x mg v = constante – la plus grande masse • atteint sa vitesse limite plus tard • atteint une vitesse limite plus grande • Deux masses égales dans milieux visqueux avec b différents: – dans le milieu le plus visqueux • vitesse limite atteinte plus vite • vitesse limite plus faible OS, 08 novembre 2005 démo 42 Oscillateurs harmoniques • Modèle valable, en première approximation, pour tout phénomène oscillatoire ou vibratoire (petits mouvements périodiques autour d’une position d’équilibre stable) • Exemples: – – – – – – – masse pendue à un ressort démo pendule simple, pendule de torsion démo résonateurs à quartz (montres) circuits électriques RLC vibrations (corde de guitare, aile d’avion, pudding, …) oscillations du champ électromagnétique (lumière …) etc ... démo Note: un système physique avec un mouvement périodique est notre meilleure horloge on mesure le temps en comptant le nombre de périodes OS, 08 novembre 2005 43 Modélisation de la force d’un ressort • La force exercée par un ressort est proportionnelle à son déplacement (élongation ou compression) par rapport à sa position de repos démo • Force de rappel Ressort au repos Ressort allongé par un poids F = k x Loi de Hooke Position de repos x F = mg Masse m à l’équilibre mg OS, 08 novembre 2005 k = constante élastique du ressort Note: ce modèle n’est valable que pour les petits allongements 44 Oscillateur harmonique à une dimension (cas idéal, sans frottement) m k F x O Origine O de l’axe x définie comme la position d’équilibre (position où F=0) • • Loi de Hooke: F = kx 2ème loi de Newton: F = ma m˙x˙ = kx équation différentielle But: connaissant k, m et les conditions initiales (x0 et v0 à t=0), déterminer x(t) pour tout t > 0 OS, 08 novembre 2005 45 Résolution numérique • Pour fixer les idées: – m = 1 kg, k = 1 N/m = 1 kg/s2, – Conditions initiales: x(0) = 1 m, v(0) = 0 m/s – a(0) = F(0)/m = k x(0)/m = 1 m/s2 • Récurrence: – Accroissement de v entre t et t+t: v = a(t) t car a(t) = dv(t)/dt v(t+t) = v(t) + a(t) t – Accroissement de x entre t et t+t: x = v(t) t car v(t) = dx(t)/dt x(t+t) = x(t) + v(t) t • Algorithme pour ordinateur : M=1 K=1 T=0 X=1 V=0 DT=0.001 1 F=K*X A=F/M V=V+A*DT X=X+V*DT T=T+DT PRINT *,T,X,A,V GOTO 1 On choisit t très petit (t = 0.001 s dans notre exemple), et on itère un grand nombre de fois OS, 08 novembre 2005 46 «Output» de l’ordinateur … A -1.000 -0.877 -0.540 -0.070 0.417 0.801 0.990 0.936 0.653 0.210 -0.284 -0.709 -0.960 -0.976 -0.754 -0.346 0.146 0.602 0.911 0.997 0.839 0.475 -0.005 -0.484 -0.844 -0.998 -0.907 -0.595 -0.136 0.355 0.760 0.979 0.958 0.702 0.275 -0.220 -0.661 -0.940 -0.989 -0.796 -0.408 … duquel on fait les graphes suivants: position x(t) 1 a [m/s2] V 0.000 -0.479 -0.841 -0.997 -0.909 -0.598 -0.141 0.351 0.757 0.978 0.959 0.706 0.279 -0.215 -0.657 -0.938 -0.989 -0.798 -0.412 0.075 0.544 0.880 1.000 0.875 0.537 0.066 -0.420 -0.804 -0.991 -0.935 -0.650 -0.206 0.288 0.712 0.961 0.976 0.751 0.342 -0.150 -0.606 -0.913 v [m/s] X 1.000 0.877 0.540 0.070 -0.417 -0.801 -0.990 -0.936 -0.653 -0.210 0.284 0.709 0.960 0.976 0.754 0.346 -0.146 -0.602 -0.911 -0.997 -0.839 -0.475 0.005 0.484 0.844 0.998 0.907 0.595 0.136 -0.355 -0.760 -0.979 -0.958 -0.702 -0.275 0.220 0.661 0.940 0.989 0.796 0.408 x [m] T 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5 18.0 18.5 19.0 19.5 20.0 vitesse v(t) 1 acceleration a(t) 1 0 0 0 -1 -1 -1 0 10 20 t [s] 0 NB: a=dv/dt =0 v est max (ou min) 10 20 t [s] 0 10 20 t [s] On reconnaît le cosinus ! Vérification analytique de la solution: • On pose: x(t) = cos(0t) x(0)=1 • v(t) = dx/dt = 0 sin(0t) v(0)=0 • a(t) = dv/dt = 02 cos(0t) • Comme a(t) = k/m x(t), on doit avoir 0 = k m Pulsation propre de l’oscillateur libre = 1 s1 dans notre exemple OS, 08 novembre 2005 47 0 cos(0t) 0 10 20 t [s] x0=1 m, v0=1.5 m/s 2 -2 20 t [s] 20 t [s] x0=1 m, v0=−1.5 m/s -2 10 10 cos(0t) -2 2 0 0 sin(0t) 0 0 x0=−1 m, v0=0 m/s 2 0 -2 x [m] -2 x [m] T 0 x [m] 0 x0=0 m, v0=1 m/s 2 x [m] x0=1 m, v0=0 m/s 2 x [m] x [m] Solution générale et dépendance par rapport aux conditions initiales 0 10 20 t [s] x0=0 m, v0=0 m/s 2 (au repos) 0 T 10 Période T = 2 0 Fréquence -2 20 t [s] Note: l’amplitude et la phase des oscillations (mais pas 0) dépendent des conditions initiales. 0 10 20 t [s] =1 = 0 T 2 Solution générale de x˙˙ + 0 2 x = 0 : x(t) = A cos(0t) + B sin(0t) ou bien x(t) = C sin(0t + D) Deux constantes d’intégration à déterminer par les conditions initiales: A = x0 et B = v0 /0, ou bien C2 = x02 + (v0 /0)2 et tg(D) = 0 x0/v0 OS, 08 novembre 2005 48 démo pendule de torsion Oscillateur harmonique amorti • En pratique, tout oscillateur s’amortit à cause des frottements m k F • • Algorithme pour ordinateur: M=1 x Modèle: K=1 B=0.25 O T=0 X=1 – on ajoute une force de frottement proportionnelle V=0 à la vitesse: Ffrot= bv DT=0.001 1 F=K*XB*V (signe «»: la force s’oppose au mouvement) A=F/M V=V+A*DT – coefficient de frottement b = 0.25 kg/s X=X+V*DT T=T+DT PRINT *,T,X,A,V Deuxième loi de Newton: F+Ffrot = ma GOTO 1 m˙x˙ = kx b˙x Ffrot équation différentielle plus compliquée, mais toujours facile à résoudre numériquement OS, 08 novembre 2005 49 Oscillateur harmonique amorti 0 -1 pas amorti 10 b=1 kg/s 1 0 < 0 amortissement sous-critique -1 0 20 t [s] Comportement oscillatoire OS, 08 novembre 2005 10 b=0.1 kg/s 1 b=0.25 kg/s 1 0 0 -1 -1 20 t [s] 0 x [m] x [m] 0 x [m] b=0 kg/s 1 avec = b et 0 = k 2m m 10 20 t [s] b=2 kg/s 1 0 = 0 amortissement critique -1 0 10 20 t [s] Cas où l’amortissement est le plus rapide 0 x [m] x [m] x [m] ˙x˙ + 2˙x + 20 x = 0 10 20 t [s] b=8 kg/s 1 0 > 0 amortissement sur-critique -1 0 10 20 t [s] Plus de comportement oscillatoire 50 Solution oscillateur harmonique amorti ˙x˙ + 2˙x + 20 x = 0 avec = b et 0 = k 2m m • < 0 (cas sous-critique ou non amorti): x(t) = et [A cos(1t) + B sin(1t)] avec 1 = 20 2 < 0 • = 0 (cas critique): x(t) = et [A + B t ] • > 0 (cas sur-critique): x(t) = et [A exp(2t) + B exp(2t) ] avec 2 = 2 20 OS, 08 novembre 2005 A et B sont les constantes d’intégration, à déterminer par les conditions initiales 51 Oscillateur forcé • • En pratique tout oscillateur s’amortit; mais on peut « entretenir» les oscillations à l’aide d’une force extérieure Exemples: démos: pendule excité par un ressort – Balançoire poussée par un enfant oscillateur forcé amorti par un fluide – Voiture (avec suspension) passant sur des bosses – Atome (électron lié) recevant un rayonnement électromagnétique – Pendule de l’Exploratorium à San Fancisco (USA) OS, 08 novembre 2005 52 Oscillateur harmonique forcé • Modèle: k F m Fext(t) x O Ffrot – on ajoute une force périodique: Fext = f sin(t) – amplitude f = 1 N, pulsation = 0.2 s1 • Deuxième loi de newton: F+Ffrot+Fext=ma m˙x˙ = kx b˙x +Fext(t) Algorithme pour ordinateur: M=1 K=1 B=0.25 F=1 W=0.2 T=0 X=1 V=0 DT=0.001 1 F=K*XB*V+F*SIN(W*T) A=F/M V=V+A*DT X=X+V*DT T=T+DT PRINT *,T,X,A,V GOTO 1 équation différentielle encore plus compliquée, mais toujours facile à résoudre numériquement OS, 08 novembre 2005 53