FORMULAIRE DE MECANIQUE I-CINEMATIQUE 1-Référentiel

FORMULAIRE DE MECANIQUE
__________________________________________________________________________________________
I-CINEMATIQUE
1-Référentiel
Un référentiel R est un objet solide qui sert de référence pour décrire le mouvement d’un système.
Le référentiel le plus courant pour décrire les mouvements dans notre environnement est le référentiel
terrestre également appelé référentiel du laboratoire.
On attache au référentiel R un repère cartésien (Oxyz).
2-Cinématique du point
a-Définitions générales
On considère un point matériel M décrivant une certaine trajectoire par rapport à un référentiel R.
z
Vecteur position :
M
r
r ( t ) = OM
r
r
dr
v M / R (t) =
dt
r
r
r
dv d 2 r
Vecteur accélération : a M / R ( t ) =
=
dt dt 2
Vecteur vitesse :
en m.s-1
R
en m.s-2
y
O
x
b-Composantes dans la base de projection cartésiennes
r
r
r
r
r ( t ) = xu x + yu y + zu z
r
r
r
r
v M / R ( t ) = x& u x + y& u y + z& u z
r
r
r
r
a M / R ( t ) = &x&u x + &y&u y + &z&u z
z
c-Composantes dans la base de projection cylindriques
→
uz
z
r
r
r
r ( t ) = ru r + zu z
r
r
r
r
r
v M / R ( t ) = r&u r + rθ& u θ + z& u z
x
d-Exemple 1 : mouvement de vecteur accélération constant
;
→
ur
O
r
r
r
r
a M / R ( t ) = (&r& − rθ& 2 )u r + (r&θ& + 2r&θ& )u θ + &z&u z
r
r
a M / R ( t ) = a constant
M
r r
r
v M / R ( t ) = at + v(0) ;
La trajectoire est une parabole.
11
r
r t2 r
r
r (t) = a
+ v(0) t + r (0)
2
→
uθ
y
θ
H
e-Exemple 2 : mouvement circulaire
Prenons l’exemple d’une trajectoire circulaire de rayon R, de centre O, dans le plan z = 0.
Mouvement circulaire uniforme : la vitesse angulaire ω = θ& est constante.
r
r
r
r
r
r
r ( t ) = Ru
; v
( t ) = Rθ& u
; a
( t ) = −Rθ& 2 u
M/ R
r
θ
M/R
Mouvement circulaire non uniforme :
r
r
r
r
r ( t ) = Ru r ; v M / R ( t ) = Rθ& u θ
;
r
r
r
r
a M / R ( t ) = −Rθ& 2 u r + R&θ&u θ
3-Cinématique du solide
Un solide est un système supposé indéformable. On considère deux exemples de mouvements simples :
a-La translation
Un solide est en translation s’il se déplace en gardant une orientation constante au cours du temps.
Autrement dit, il ne tourne pas sur lui-même.
instant t2
instant t1
instant t3
solide
solide
R
solide
Tous les points du solide ont la même trajectoire et, à chaque instant, ils ont tous la même vitesse.
b-La rotation autour d’un axe fixe
Le solide est en rotation autour de l’axe ∆
fixe dans le référentiel R.
On choisit ∆ comme axe Oz du repère
cartésien lié au référentiel.
z
+
La rotation du solide est repéré par l’angle
algébrique θ défini entre une direction fixe
dans R (par exemple Ox) et une direction
quelconque liée au solide.
La vitesse angulaire est ω = θ& en rad.s-1.
solide
M
ω > 0 si le solide tourne dans le sens > 0.
ω < 0 si le solide tourne dans le sens < 0.
Un point M quelconque du solide, situé à la
distance r de l’axe ∆, décrit une trajectoire
circulaire de rayon r.
r
r
Sa vitesse est : v M / R ( t ) = rθ& u θ
O
y
θ
x
axe ∆
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12
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II-LOI DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT
1-Quantité de mouvement
Pour un point matériel M de masse m en mouvement dans le référentiel R :
r
r
p M / R = mv M / R
r
r
Pour un système (Σ) formé de points Mi de masse mi en mouvement dans le référentiel R : p ( Σ ) / R = mv G / R
où m =
∑m
i
est la masse totale de (Σ) et G est le centre d’inertie de (Σ) défini par m OG =
i
∑ m OM
i
i
i
2-Référentiel galiléen (première loi de Newton)
Il existe des référentiels, dits galiléens, dans lesquels un point matériel qui n’est soumis à aucune force est
animé d’un mouvement de translation rectiligne uniforme.
Tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.
3-Loi de la quantité de mouvement dans un référentiel galiléen (deuxième loi de Newton)
r
Pour un point matériel M soumis à une force F et en mouvement dans un référentiel galiléen R :
r
r
r
dp M / R r
ou encore
ma M / R = F
=F
dt
Cet équation vectorielle se projète en trois équations scalaires permettent d’étudier la trajectoire du point M.
Pour un système fermé (Σ), par exemple un solide ou un ensemble points, en mouvement dans un référentiel
r
galiléen R soumis à une force extérieure Fext →( Σ ) :
r
dp ( Σ ) / R
dt
r
= Fext →(Σ)
ou encore
r
r
ma G / R = Fext →( Σ )
Cet équation vectorielle se projète en trois équations scalaires permettent d’étudier la trajectoire du centre
d’inertie G du système (Σ).
4-Principe des actions réciproques
(troisième loi de Newton)
r
r
Soient deux systèmes (Σ1) et (Σ2) en interaction : F( Σ1 ) →( Σ 2 ) = − F( Σ 2 )→( Σ1 )
5-Exemples de mouvements simples
•
•
z
Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme et sans frottement :
r
accélération constante égale à g , trajectoire parabolique.
g
Pendule simple : trajectoire circulaire d’équation &θ& + sin θ = 0
l
si θ est petit, les oscillations sont sinusoïdales de pulsation ω =
13
y
x
l
g
l
θ
m
6-Lois de Coulomb du frottement de glissement
(S) est un solide en contact avec un support supposé fixe dans le référentiel d’étude R.
r
r r
Le support exerce une force sur (S), appelée réaction, que l’on écrit : R sup p →(S) = T + N
r
•
N est la réaction normale du support.
r
•
T est la réaction tangentielle du support. Elle traduit le phénomène de frottement de glissement.
(S) glisse sur le support
(S) ne glisse pas sur le support
Les lois de Coulomb (1779) sont d’origine expérimentales et stipulent que :
r
r
• Si (S) ne glisse pas sur le support : T ≤ f 0 N
r
r
r
r
• Si (S) glisse sur le support : T = f N et T est opposé à la vitesse de glissement v (S) / R de (S).
f0 (resp f) est le coefficient statique (resp cinétique) de frottement de glissement.
f et f0 sont sans dimension. f0 est légèrement supérieur à f. Dans les énoncés, ils sont souvent confondus.
f et f0 de l’ordre de 0,4 pour un contact entre solide en bois, de l’ordre de 0,2 pour un contact entre solide en
métal.
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III-ENERGIE D’UN POINT MATERIEL
1-Puissance et travail d’une force
instant t
r r
Soit un point matériel qui se déplace de d r = v M / R dt
par rapport au référentiel R, entre les instants voisins t et t + dt.
r
Le point est soumis à une force F .
M
r
rr
La puissance de la force F est : P = F.v M / R en watt (W)
R
r
Le travail élémentaire de la force F entre t et t + dt est :
r r
δW = F.d r = Pdt en joule (J)
t2
t2
r
Le travail total de la force F entre les instants t1 et t2 est : W = δW = Pdt
∫
∫
t1
t1
Le travail et la puissance dépendent du référentiel car la vitesse en dépend.
P > 0 : force motrice P < 0 : force résistante
14
2-Loi de l’énergie cinétique et loi de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen
L’énergie cinétique du point M mobile dans le référentiel R est : E c =
1 r2
mv M / R
2
Loi de l’énergie cinétique dans R galiléen entre les instants t1 et t2 : ∆Ec = W
Loi de la puissance cinétique dans R galiléen :
avec ∆Ec = Ec(t2) – Ec(t1)
dE c
=P
dt
La loi de la puissance cinétique est à privilégier quand on cherche une équation différentielle du mouvement.
3-Energie potentielle
Une force est dite conservative si son travail élémentaire peut s’écrire sous la forme : δW = -dEp
où dEp = Ep(t+dt) – Ep(t).
Ep est appelée l’énergie potentielle dont dérive la force. Elle est définie à une constante additive près.
Le travail total entre les instants t1 et t2 est alors : W = -∆Ep = Ep(t1) – Ep(t2)
W ne dépend que des états initial et final mais pas du chemin suivi entre les instants t1 et t2.
Exemples :
•
z
Energie potentielle de pesanteur : Ep = mgz
m
z
O
•
Energie potentielle élastique : Ep =
1
k (l − l 0 ) 2
2
m
m
x
O
l
l0
•
x
O
Energie potentielle gravitationnelle d’une particule de
masse m dans le champ gravitationnel crée par un astre :
Ep = −
m
GmM
r
G = 6,67.10-11 m.kg-1.s-2 est la constante de la gravitation
r
astre de masse M
15
q
•
Energie potentielle électrostatique d’une particule de charge
q dans le champ électrostatique crée par une charge Q :
Ep =
•
r
qQ
4πε 0 r
charge Q
Energie potentielle électrostatique d’une particule de charge
q dans un champ électrostatique de potentiel V : Ep = qV
4-Energie mécanique. Mouvement conservatif
En distinguant les forces conservatives des forces non conservatives dans la loi de l’énergie cinétique, on a :
∆Ec = W = Wconservatives + Wnon conservatives = -∆Ep + Wnon conservatives
D’où : ∆(Ec + Ep ) = Wnon conservatives
L’énergie mécanique est définie par : Em = Ec + Ep
La loi de l’énergie cinétique se réécrit sous la forme : ∆Em = Wnon conservatives
Les forces non conservatives sont en souvent des forces de frottement telles que Wnon conservatives < 0.
L’énergie mécanique va diminuer au cours du mouvement.
S’il n’y a pas de forces non conservatives, ou si leur travail est nul : ∆Em = 0
Conclusion : L’énergie mécanique est constante au cours du temps. Le mouvement est dit conservatif.
5-Mouvement conservatif à une dimension
a-Equation du mouvement
Soit un point matériel de masse m dont le mouvement conservatif est décrit par une seule coordonnée x
(x pouvant être une abscisse ou un angle).
La conservation de l’énergie mécanique fournit directement l’équation différentielle du mouvement :
E c ( x& ) + E p ( x ) = E 0
La valeur constante E0 est obtenue, par exemple, grâce aux conditions initiales.
Le tracé de la fonction Ep(x) et celui de la droite horizontale correspondant à l’énergie mécanique E0
permet de faire des prévisions qualitatives sur la trajectoire :
• Ec = E0 – Ep > 0 car une énergie cinétique est toujours positive
On doit donc avoir Ep < E0 au cours du mouvement. Cette inégalité permet d’identifier les seules
valeurs de x accessibles par la particule, donc de savoir si le mouvement est borné ou non.
• Les positions d’énergie cinétique nulle, donc de vitesse nulle, sont tels que E0 = Ep.
On les identifie à l’intersection des deux courbes.
• L’écart entre E0 et la courbe Ep(x) donne la valeur de l’énergie cinétique.
• La connaissance des positions de vitesse nulle ou maximale permet de faire un tracé qualitatif du
portrait de phase.
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Ep(x)
Ep(x)
point de vitesse nulle
points de vitesse nulle
E0
Ec
E0
Ep
x
xmin
xst
xmax
xinst
x
xmin
Mouvement borné entre xmin et xmax
xst
xinst
Mouvement non borné entre xmin et l’infini
b-Position d’équilibre et stabilité
Une position d’équilibre est stable si la particule tend à y revenir lorsqu’on l’en écarte.
Une position d’équilibre est instable si la particule tend à s’en éloigner lorsqu’on l’en écarte.
Une position d’équilibre stable est un minimum d’énergie potentielle :
 dE p

 dx

 dE p
Une position d’équilibre instable est un maximum d’énergie potentielle : 
 dx


 =0

 x st
 d2Ep

 dx 2


 >0

 x st


=0

 x inst
 d 2Ep

 dx 2



<0

 x inst
c-Petites oscillations autour d’une position d’équilibre stable
Un développement de Taylor à l’ordre deux de l’énergie potentielle au voisinage de la position d’équilibre
2
1  d E p 
( x − x st ) 2 .
stable xst donne : E p ( x ) = E p ( x st ) + 
2  dx 2 

 x inst
Cela revient à modéliser localement la fonction Ep(x) par un « puits » parabolique.
En définissant le petit déplacement u = x – xst par rapport à la position d’équilibre stable, on remarque que
 d 2Ep 
1

l’énergie potentielle est, à une constante additive près, du type : Ep(u) = ku 2 avec k = 
 dx 2 
2

 x st
C’est analogue à l’énergie potentielle élastique d’un ressort de raideur k.
L’équation du mouvement de la particule au voisinage de la position d’équilibre stable sera donc celle d’un
oscillateur harmonique : &u& + ω 2 u = 0
avec ω = k / m .
La particule va osciller sinusoïdalement à la pulsation ω autour de la position d’équilibre stable.
17
Ep(x)
d-Barrière de potentiel
Une région où Ep > E0 est inaccessible à la
particule. Il s’agit d’une barrière de potentiel.
barrière de potentiel
Pour que la particule puisse franchir cette
barrière, il faut lui fournir l’énergie cinétique
supplémentaire minimale Epmax – E0.
Epmax
E0
x
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IV-MOUVEMENTS DE PARTICULES CHARGEES DANS DES CHAMPS ELECTRIQUES
ET MAGNETIQUES
1-La force de Lorentz
r r
r
Un champ électromagnétique ( E, B) exerce sur une particule de charge q et de vitesse v une force appelée
r
r r r
force de Lorentz :
FLorentz
= q(E + v ∧ B)
r r
( E , B )→ q
Exemple : Un électron de charge de l’ordre de 10-19 C dans un champ électrique de 104 V.m-1 (champ électrique
moyen lors d’un orage) subit une force de Lorentz de l’ordre de 10-15 N.
Son poids est de l’ordre de 10-29 kg. Il est négligeable devant la force de Lorentz.
rr
La puissance de la force de Lorentz est : P = qE.v
Seul le champ électrique peut faire varier l’énergie cinétique de la particule Le champ magnétique ne travaille
pas, mais il peut modifier la courbure de la trajectoire grâce au deuxième terme de la force de Lorentz.
2-Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme
Hypothèses : -
particule de charge q et de masse m
r
champ électrostatique uniforme E
pas de champ magnétique
poids négligeable devant la force de Lorentz
r q r
La loi de la quantité de mouvement dans R galiléen donne : a = E
m
Il s’agit d’un mouvement à vecteur accélération constant : la trajectoire est parabolique.
Aspect énergétique : entre une état initial où la particule a une vitess nulle et se trouve au potentiel électrique
Vi et un état final où la particule a une vitesse v et se trouve au potentiel électrique Vf, la
conservation de l’énergie mécanique donne : 0 + qVi = mv2/2 +qVf
D’où : v =
2qU
où la différence de potentiel U = Vi – Vf est la tension accélératrice
m
18
3-Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme
Hypothèses : -
r
r
particule de charge q et de masse m, de vitesse initiale v 0 perpendiculaire à B
r
champ magnétostatique uniforme B
pas de champ électrique
poids négligeable devant la force de Lorentz
La trajectoire de la particule est un cercle de rayon :
mv 0
R=
qB
R
Le cercle est parcouru à la vitesse angulaire :
qB
ω=
m
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V-LOI DU MOMENT CINETIQUE
1-Le moment cinétique
a-Cas d’un point matériel
M
Le moment cinétique par rapport au point O du point
matériel M en mouvement dans le référentiel R est :
r
r
L M / R (O) = OM ∧ mv M / R
en kg.m2.s-1
O
R
Le moment cinétique scalaire par rapport à l’axe ∆
r
orienté par le vecteur unitaire u ∆ est :
∆
r
r
L M / R (∆) = L M / R (O ∈ ∆).u ∆
M1
b-Cas d’un système de points matériels
Mi
Pour un système (Σ) formé de points Mi de masse mi
en mouvement dans le référentiel R, le moment
cinétique par rapport au point O est :
O
r
L ( Σ ) / R (O) =
∑
r
OM i ∧ m i v M i / R
R
i
Le moment cinétique scalaire par rapport à l’axe ∆
r
orienté par le vecteur unitaire u ∆ est :
r
r
L ( Σ ) / R ( ∆ ) = L ( Σ ) / R (O ∈ ∆ ).u ∆
19
∆
M2
c-Cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe
On considère un solide (S) en rotation autour de
l’axe ∆ fixe dans le référentiel R.
z
+
En traitant le solide comme un système de points
matériels tous en rotation autour de ∆, on montre
que le moment cinétique scalaire par rapport à
l’axe ∆ est :
solide (S)
ri
L ( S) / R ( ∆ ) = J ∆ ω
Mi
où :
- ω = θ& est la vitesse angulaire du solide
- J∆ =
∑m r
2
i i
O
y
θ
en kg.m2 est le moment
i
d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe ∆.
Il mesure la répartition des masses autour de
l’axe de rotation.
x
axe ∆
2-Le moment d’une force
a-Moment d’une force par rapport à un point
r
Le moment au point O de la force F appliquée au point M est :
r
r
en N.m
M (O) = OM ∧ F
M
b- Moment d’une force par rapport à un axe
O
R
r
Le moment par rapport à l’axe ∆, orienté par le vecteur unitaire u ∆ ,
r
de la force F appliquée au point M est :
r
r
M (∆) = M (O ∈ ∆).u ∆
∆
c-Calcul du moment d’une force par rapport à un axe avec le « bras de levier »
Dans la situation fréquente représentée ci-contre, on a :
r
M ( ∆ ) = ± OH . F
r
avec : + si la force F tend à faire tourner autour de ∆
dans le sens > 0
r
- si la force F tend à faire tourner autour de ∆
dans le sens < 0
La distance OH entre l’axe ∆ et la droite support de la
force est appelée « bras de levier ».
20
+
O
∆
M
H
3-La loi du moment cinétique en un point fixe dans un référentiel galiléen
r
Soit un point matériel M mobile dans un référentiel galiléen R et soumis à une force F .
Soit O un point fixe dans R.
Loi du moment cinétique en O :
r
r
dL M / R ( O )
= M ( O)
dt
4-La loi scalaire du moment cinétique pour un solide en rotation autour d’un axe fixe dans un
référentiel galiléen
z
+
a-Enoncé de la loi
solide (S)
Soit un solide (S) en rotation autour de l’axe ∆ fixe
dans le référentiel R galiléen et soumis à des forces
extérieures.
Loi scalaire du moment cinétique par rapport à ∆ :
J∆
O
dω
= M ext →(S) ( ∆ )
dt
y
θ
x
axe ∆
Où : ω = θ& est la vitesse angulaire du solide.
J∆ est le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe ∆.
b-Exemples de forces extérieures subies par un solide
•
La liaison pivot :
Ce sont les actions de contact exercées par un support fixe sur l’axe de rotation ∆ du solide afin de le
maintenir fixe. Ces actions s’opposent à la rotation du solide, donc :
M liaisonpivot →(S) (∆) < 0 si ω > 0 et M liaisonpivot →(S) (∆) > 0 si ω < 0
La liaison pivot est dite parfaite si M liaisonpivot →(S) (∆) = 0 , elle ne s’oppose plus à la rotation.
•
Le couple :
C’est un système de forces dont la force totale (résultante) est nulle, mais dont le moment est non
r
r
nul : Fcouple = 0 et M couple→(S) (∆) ≠ 0
Le seul effet d’un couple est de faire tourner le solide :
- dans les sens > 0 autour de ∆ si M couple→(S) (∆) > 0
-
dans les sens < 0 autour de ∆ si M couple→(S) (∆) < 0
Exemple simple de couple :
solide
21
c-Application 1 : le pendule pesant
z
Le solide (S) de masse m est en rotation autour de l’axe horizontal
∆ = Ox fixe dans R galiléen.
Il tourne sous l’effet de son poids.
En supposant la liaison pivot parfaite, la loi scalaire du moment
cinétique conduit à l’équation du mouvement :
J∆
d2θ
dt 2
= − mgl sin θ
y
O
où l = OG
G
θ
La position d’équilibre stable correspond à θ = 0. Autour de celle-ci
les oscillations du pendule sont sinusoïdales de pulsation
ω0 =
mgl
J∆
d-Application 2 : le pendule de torsion
∆ = Oz
Le fil de suspension exerce un couple de
torsion de moment -Cθ (C constante de
torsion) qui tend à ramener le pendule à sa
position d’équilibre θ = 0 pour laquelle le fil
n’est pas tordu.
On suppose qu’il y a en plus un couple de
frottement fluide de moment -hdθ/dt opposé à
la vitesse angulaire.
y
O
La loi scalaire du moment cinétique conduit à
l’équation du mouvement :
J∆
d 2θ
dt 2
θ
dθ
+h
+ Cθ = 0
dt
x
C’est l’équation d’un oscillateur harmonique amorti. Les trois régimes possibles (pseudo-périodique,
critique, apériodique) conduisent tous à un retour à l’équilibre.
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VI-ETUDE ENERGETIQUE DU MOUVEMENT D’UN SOLIDE EN ROTATION AUTOUR
D’UN AXE FIXE
z
1-L’énergie cinétique
+
L’énergie cinétique du solide (S) en rotation autour de
l’axe ∆ fixe dans le référentiel R est :
Ec =
solide (S)
1
J ∆ ω2
2
où :
- ω = θ& est la vitesse angulaire du solide
- J∆ est le moment d’inertie du solide (S) par rapport à
l’axe ∆.
O
y
θ
x
axe ∆
2-Puissance d’une force extérieure
La puissance d’une force extérieure appliquée à un solide(S) en rotation autour de l’axe ∆ fixe dans le
référentiel R est :
Pext →(S) = M ext →(S) (∆).ω
3-Loi de la puissance cinétique
dE c
= Pext →(S ) dans R galiléen pour le solide (S) en rotation autour de l’axe
dt
dω
∆ fixe, conduit à l’équation du mouvement : J
= M ext →(S) ( ∆ )
dt
La loi de la puissance cinétique
C’est le même résultat que celui obtenu grâce à la loi du moment cinétique.
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VII-LOI DE L’ENERGIE CINETIQUE POUR UN SYSTEME DEFORMABLE
Pour un système fermé (Σ) quelconque (ensemble de points, ensemble de solides, système élastique…)
déformable, c’est-à-dire dont les constituants peuvent se déplacer les uns par rapport aux autres, on a :
Loi de l’énergie cinétique dans R galiléen entre les instants t1 et t2 : ∆Ec = Wext→(Σ) + Wint
Loi de la puissance cinétique dans R galiléen :
dE c
= Pext →( Σ ) + Pint
dt
où : Wint est le travail des forces intérieures à (Σ) entre les instants t1 et t2
Pint est la puissance des forces intérieures à (Σ)
Dans le cas d’un système indéformable, Wint et Pint sont nuls.
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VIII-MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE CONSERVATIF
1-Propriétés du mouvement
Soit un point matériel P de masse m en mouvement dans le
référentiel galiléen de repère (Oxyz).
y
P
r
La force F exercée sur le point P est dite centrale de centre O
si, à chaque instant, le support de la force passe par O.
Le point fixe O est appelé le centre de force.
La loi du moment cinétique en O permet de montrer que :
r
Le moment cinétique L M / R (O) est constant au cours du temps.
r
θ
x
O
Propriété 1 : Le mouvement du point P est plan
En choisissant les axes Ox et Oy dans le plan du mouvement et en utilisant les coordonnées cylindriques,
r
r
on a : L P / R (O) = mr 2 θ& u z
r
Propriété 2 : Pendant des durées égales, le vecteur position r = OP balaie des surfaces égales.
C’est la loi des aires. La grandeur C = r 2 θ& est appelée la constante des aires.
2-Energie potentielle effective
r
La force F est supposée conservative, dérivant d’une énergie potentielle Ep(r).
L’énergie mécanique est constante et s’écrit :
Em = Ec + Ep(r) =
[
]
1 
C2 
1
1
m r& 2 + r 2 θ& 2 + E p (r ) = m r& 2 + 2  + E p (r ) = m&r 2 + E peff (r )
2
2 
2
r 
Avec : E peff ( r ) =
1 C2
m
+ E p (r )
2 r2
appelé énergie potentielle effective.
Le tracé de la fonction Epeff(r) et celui de la droite horizontale correspondant à l’énergie mécanique Em
permet de faire des prévisions qualitatives sur la trajectoire :
1 2
m&r = Em – Epeff (r) > 0 => On doit avoir Epeff (r) < Em au cours du mouvement.
2
Cette inégalité permet d’identifier les seules valeurs de r accessibles par la
particule, donc de savoir si le mouvement est borné ou non.
Quand la trajectoire est bornée, on dit qu’il s’agit d’un état lié.
Quand la trajectoire n’est pas bornée, on dit qu’il s’agit d’un état de diffusion.
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Epeff(r)
Epeff(r)
Em
Em
r
rmin
rmax
r
rmin
Mouvement borné entre rmin et rmax
Mouvement non borné entre rmin et l’infini
3-Cas particulier : le champ newtonien
a-Définitions
Pour un champ newtonien, gravitationnel ou électrostatique, la force
centrale s’écrit :
y
r
k r
F = − 2 ur
r
L’énergie potentielle est : E p = −
P
r
k
r
O
θ
x
Attraction gravitationnelle : k = GmM
avec : G = 6,67.10-11 S.I constante de la gravitation
m masse de la particule P
M masse du centre attracteur O
L’interaction gravitationnelle est toujours attractive.
Interaction électrostatique : k = −
qQ
4πε 0
avec : ε0 = 8,84.10-12 F.m-1 permittivité du vide
q charge de la particule P
Q charge du centre attracteur O
L’interaction électrostatique est répulsive si les charges sont de même signe et attractive si elles sont de
signes opposés.
b-Nature des trajectoires dans le cas de l’interaction gravitationnelle
1 C 2 GmM
m
−
2 r2
r
Suivant la valeur de l’énergie mécanique Em, on obtient les trajectoires suivantes :
GmM
• Pour E = Emin = −
: la trajectoire est un cercle de rayon R, de centre O.
2R
• Pour Emin < Em < 0 : la trajectoire est une ellipse dont l’un des foyers est O, de demi-grand-axe a.
GmM
L’énergie de la particule est : Em = −
2a
• Pour Em = 0 : la trajectoire est une parabole de foyer O.
• Pour Em > 0 : la trajectoire est une hyperbole de foyer O
L’énergie potentielle effective est : E peff ( r ) =
25
Epeff(r)
Em > 0
rmin
O
R
rmax
r
Emin < Em < 0
Em = Emin
c-Mouvement des planètes du système solaire : les lois de Kepler
Elles ont été énoncés par Kepler, au début du XVIIème à partir d’observations expérimentales :
1ère loi : Les planètes décrivent des orbites elliptiques dont le soleil S est l’un des foyers.
2ème loi : Pendant des durées égales, le vecteur position SP de la planète P balaie des aires égales.
3ème loi : Les carrés des temps de révolution T sont proportionnels au cube des grands axes des ellipses
a 3 GM soleil
.
Plus précisément : 2 =
T
4π 2
d-Mouvement d’un satellite autour de la Terre
•
Les lois de Kepler s’appliquent également au cas d’un satellite en mouvement autour de la Terre.
•
Cas d’un satellite en orbite circulaire de rayon R :
satellite
(masse m)
GM T
R
où g est le champ de pesanteur en surface.
La vitesse du satellite est : v =
R
Orbite basse : On a R ≈ RT
La vitesse du satellite vaut v 1 =
GM T
RT
Elle est appelée première vitesse cosmique
et vaut environ 8 km.s-1.
RT
O
Terre
(masse MT)
Orbite géostationnaire :
La période de révolution du satellite est T = 24 h.
La trajectoire est un cercle de rayon R = 42300 km situé dans le plan équatorial.
•
La vitesse de libération, appelée deuxième vitesse cosmique est v 2 =
2GM T
= 11 km.s-1.
RT
C’est la vitesse à fournir pour que le satellite échappe à l’attraction terrestre en prenant une trajectoire
parabolique d’énergie mécanique Em = 0.
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