Ch 8 Parallélogrammes I/ Parallélogramme quelconque

Ch 8 Parallélogrammes
I/ Parallélogramme quelconque
1) Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux.
Ex : 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme car (𝐴𝐵)//(𝐶𝐷) et (𝐴𝐷)//(𝐵𝐶).
Rq :
- S’il n’y a que deux côtés parallèles, il s’agit d’un trapèze. Un parallélogramme est donc un
trapèze particulier.
- Pour nommer un parallélogramme, il faut faire attention à l’ordre des points : il faut les noter
suivant un sens giratoire.
2) Premières propriétés
- Tout parallélogramme possède un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.
- Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, et réciproquement.
- Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur, et réciproquement.
- Dans un parallélogramme, les angles sont de même mesure deux à deux, et réciproquement.
𝐴𝐵 =𝐶𝐷 et 𝐵𝐶 =𝐴𝐷
𝑂 est le milieude [𝐴𝐶] et de [𝐵𝐷]
𝐴𝐵𝐶
̂= 𝐴𝐷𝐶 ̂ et 𝐵𝐴𝐷 ̂= 𝐵𝐶𝐷 ̂
Rq : Si un quadrilatère non croisé possède deux côtés parallèles et de même longueur, alors c’est un
parallélogramme.

3) Construction
Ces différentes propriétés permettent la construction de parallélogrammes à partir d’un triangle par
différentes méthodes :
- en utilisant les côtés parallèles.
- en utilisant les côtés de même longueur.
- en utilisant le milieu des diagonales
II/ Parallélogrammes particuliers
1) Rectangle
Propriétés :
- Si un quadrilatère possède trois angles droits, alors c’est un rectangle.
- Si un parallélogramme possède un angle droit, alors c’est un rectangle.
- Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.
𝑂𝐴 =𝑂𝐵 =𝑂𝐶 =𝑂𝐷
(𝐴𝐷)⊥(𝐵𝐶) et (𝐴𝐵)⊥(𝐴𝐷)
(𝐴𝐵)//(𝐶𝐷) et (𝐴𝐷)//(𝐵𝐶)
𝐴𝐵 =𝐶𝐷 et 𝐵𝐶 =𝐴𝐷

2) Losange
Définition : Un losange est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur.
Propriétés :
- Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un
losange.
- Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =𝐶𝐷 =𝐷𝐴
𝑂 est le milieude [𝐴𝐶] et de [𝐵𝐷]
(𝐴𝐶)⊥(𝐵𝐷)
3) Carré
Propriétés :
- Si un parallélogramme a deux côtés perpendiculaires et de même longueur, alors c’est un carré.
- Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur, alors c’est un
carré.
- Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un carré.
- Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un carré.
- Si un losange a deux côtés perpendiculaires, alors c’est un carré.
- Si un losange a ses diagonales de même longueur, alors c’est un carré.
𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =𝐶𝐷 =𝐷𝐴
(𝐴𝐷)⊥(𝐵𝐶) et (𝐴𝐵)⊥(𝐴𝐷)
(𝐴𝐵)//(𝐶𝐷) et (𝐴𝐷)//(𝐵𝐶)
(𝐴𝐶)⊥(𝐵𝐷)
𝑂𝐴 =𝑂𝐵 =𝑂𝐶 =𝑂𝐷

III/ Schéma récapitulatif
Quadrilatère − diagonales
− côtés
Parallélogramme
Rectangle
Losange
Carré
Parallèles deux à deux
De même longueur deux à
deux
Se coupent en leur milieu
Perpendiculaires
Perpendiculaires
Perpendiculaires
Perpendiculaires
De même longueur
De même longueur
De même longueur
De même longueur