ET(X)

1
distribution uniforme
distribution exponentielle
distribution normale (gaussienne)
approximation: binomiale avec normale
combinaisons de variables gaussiennes
théorème Central-Limite
distribution log normale
distribution bi normale
Distributions continues -ch06-ch07 HMGB
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
HORS PROGRAMME
•distribution gamma
•distribution Weibull
1-37
38-42

2
variables aléatoires : classification
DISCRÈTES CONTINUES
MESURAGE
COMPTAGE
distributions
binomiale
Poisson
géométrique
Hypergéométrique
binomiale négative
distributions
uniforme
exponentielle
normale
Log normale
Gamma
Weibull
Bernard CLÉMENT, PhD MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
hors programme
STATISTICA
18 distributions disponibles

3
distribution UNIFORME
X
a b
0 si x ≤a ou x ≥b
1 / ( b –a ) si a ≤x ≤b
Répartition F 0 si x <a
FX( x ) =( x –a ) / ( b –a ) si a ≤x ≤b
1 si x >b
Moyenne =E (X) = ( a +b ) / 2 Variance =Var (X) = ( b –a )2/ 12
Xp=Quantile d’ordre p (0 < p < 1) : Xp=a +p (b –a)
densité f
10%
8%
10%
11%
10% 11%
10% 11%
9% 9%
0.0009 0.1008 0.2007 0.3005 0.4004 0.5002 0.6001 0.6999 0.7998 0.8997 0.9995
UNIF
0
20
40
60
80
100
120
No of obs
Exemple : simulation
de 1000 nombres
sur l’intervalle (0, 1)
avec la fonction
Statistica : Rnd(x)
loi uniforme sur (0, x)
Bernard CLÉMENT, PhD
fX( x ) =
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
0 0

4
Lien entre la loi exponentielle et le processus de Poisson
X nombre de réalisations processus de Poisson d’intensité λ(fenêtre longueur 1)
X ~ Po (λ) λ= nombre moyen de réalisations par unité de temps (espace)
P( X = x) = λxexp (-λ) / x ! x= 0, 1, 2, 3, …
Y = nombre de réalisations processus de Poisson dans une fenêtre de longueur t
alors Y ~ Po (λt )
T = temps d’attente avant la prochaine réalisation après une réalisation
v.a sur (o, ∞)P( T > t ) = P[Y = 0 sur ( 0, t) ]= P( Y = 0 ) = exp (- λt )
alors T suit loi exponentielle de paramètre λT ~ Exp (λ)
fonction de répartition de T FT( t ) = 1 -P ( T > t )
= 0 si t < 0
= 1 - exp (-λt ) si t ≥ 0
fonction de densité de T fT(t) = (/) FT(t) = 0 si t < 0
=λexp (-λt ) si t ≥ 0
moyenne de T E(T) = 1/ λÉcart type de T ET(T) = 1/ λ
Bernard CLÉMENT, PhD
distribution EXPONENTIELLE : T ~ Exp (λ)
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

5
autre paramétrisation θ= 1/ λ
fT(t ) = 0 si t < 0
= (1/ θ) exp (-t / θ)si t ≥ 0
moyenne de T = E(T) = θ
écart type de T =ET(X) = θ
t p : quantile d’ordre p P (T < t p) = p 0 < p < 1
t p= -θln ( 1 –p )
Comment savoir si un si modèle exponentiel s’applique?
-vérification visuelle avec un graphique quantile-quantile
-test d’ajustement
Bernard CLÉMENT, PhD
4 exemples d’applications la loi exponentielle
pages suivantes
distribution EXPONENTIELLE : T ~ Exp (λ)
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques