ET(X)

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
Distributions continues - ch06-ch07 HMGB
1-37
 distribution uniforme
 distribution exponentielle
 distribution normale (gaussienne)
 approximation: binomiale avec normale
 combinaisons de variables gaussiennes
 théorème Central-Limite
 distribution log normale
 distribution bi normale
38-42 HORS PROGRAMME
• distribution gamma
• distribution Weibull
Bernard CLÉMENT, PhD
1
STATISTICA
variables aléatoires : classification
COMPTAGE
DISCRÈTES
MESURAGE
CONTINUES
distributions
distributions
binomiale
uniforme
Poisson
géométrique
exponentielle
normale
18 distributions disponibles
Log normale
Hypergéométrique
Gamma
binomiale négative
Bernard CLÉMENT, PhD
Weibull
hors programme
2
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
distribution UNIFORME
0
si
fX ( x ) = 1 / ( b – a ) si
Répartition F
densité f
x ≤ a ou
x≥b
0
a ≤ x ≤ b
a
b
X
si x < a
si a ≤ x ≤ b
si x > b
0
(x–a)/(b–a)
1
FX ( x ) =
0
Variance = Var (X) = ( b – a )2 / 12
Moyenne = E (X) = ( a + b ) / 2
Xp = Quantile d’ordre p (0 < p < 1) :
Xp = a + p (b – a)
120
Exemple : simulation
11%
100
de 1000 nombres
11%
10%
10%
11%
10%
10%
9%
9%
8%
avec la fonction
Statistica : Rnd(x)
loi uniforme sur (0, x)
No of obs
sur l’intervalle (0, 1)
80
60
40
20
0
0.0009
0.2007
0.1008
0.4004
0.3005
0.6001
0.5002
0.7998
0.6999
0.9995
0.8997
UNIF
3
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
distribution EXPONENTIELLE :
T ~ Exp (λ )
Lien entre la loi exponentielle et le processus de Poisson
X nombre de réalisations processus de Poisson d’intensité λ (fenêtre longueur 1)
X ~ Po (λ)
λ = nombre moyen de réalisations par unité de temps (espace)
P( X = x) = λ x exp (- λ ) / x !
x = 0, 1, 2, 3, …
Y = nombre de réalisations processus de Poisson dans une fenêtre de longueur t
alors
Y ~ Po (λt )
T = temps d’attente avant la prochaine réalisation après une réalisation
v.a sur (o, ∞ )
P( T > t ) = P[ Y = 0 sur ( 0, t) ] = P( Y = 0 ) = exp (- λt )
alors T suit loi exponentielle de paramètre λ
fonction de répartition de T
fonction de densité de T
T ~ Exp (λ )
FT ( t ) = 1 - P ( T > t )
= 0
si t < 0
= 1 - exp (- λt )
si t ≥ 0
fT (t) = (𝒅𝒅/𝒅𝒅𝒅𝒅) FT (t) = 0
si t < 0
= λ exp (- λt )
moyenne de T
Bernard CLÉMENT, PhD
E(T) = 1/ λ
Écart type de T
si t ≥ 0
ET(T) = 1/ λ
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
4
distribution EXPONENTIELLE :
θ = 1/ λ
autre paramétrisation
fT (t ) = 0
si t < 0
= (1/ θ ) exp (- t / θ )
moyenne de T
= E(T) = θ
écart type de T
= ET(X) = θ
t p : quantile d’ordre p
tp
T ~ Exp (λ )
si t ≥ 0
P (T < t p ) = p
0<p<1
= - θ ln ( 1 – p )
Comment savoir si un si modèle exponentiel s’applique?
- vérification visuelle avec un graphique quantile-quantile
- test d’ajustement
4 exemples d’applications la loi exponentielle
pages suivantes
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
5
exemple 1 : calcul de probabilités avec une loi exponentielle
composant électronique utilisé dans la protection des lignes à haute tension.
essais ont montré que le taux de défaillance est décrit par une loi de Poisson
avec λ = 10 - 5 par heure
(moyenne = 105 heures)
Quelle est la probabilité que le composant tombe en panne avant :
1 an / 5 ans / 10 ans ?
1 an = 365 * 24 = 8760 heures
Solution
5 ans = 5 * 365 *24 = 43800 heures
10 ans = 10 * 365 * 24 = 87600 heures
T durée de vie du composant avant la première panne
P( T ≤ 1 an ) = P( T ≤ 8760 ) = 1 – exp( - 10- 5 * 8760 ) = 1- exp (- 0,0876) = 0,084
P( T ≤ 5 ans ) = P( T ≤ 43800 ) =1 – exp( - 10- 5 *43800 ) = 1- exp (- 0,438) = 0,355
P( T ≤10 ans ) = P( T ≤ 87600 ) =1 – exp( - 10- 5 *87600 ) = 1- exp (- 0,876) = 0,583
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
6
exemple 2 : les données proviennent-elles d’ une distribution exponentielle?
données xi : 27 - 879 – 132 - 290 - 94 - 78 - 88 - 80 - 404 - 82 - 386 – 321 - 3 - 5 – 124
données ordre x( i ) : 3 – 5 – 27 – 78 – 80 - 82 – 88 – 94 – 124 - 132 – 290 – 321 – 386 - 404 - 879
méthode: graphique quantile (données) vs quantile (distribution choisie)
ici : distribution exponentielle
diagramme quantile-quantile procédure : disponible dans STATISTICA
1- ordonner les observations x ( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤ …. ≤ x ( n )
2- calculer pi = i / ( n + 1 ) i = 1, 2,…, n
3- calculer xpi = F-1 (pi ) = quantile distribution de la distribution choisie
F = fonction répartition - ici distribution exponentielle
(x ( i ) , xpi )
4- droite de moindres carrés passant par
graphique Quantile-Quantile
avec une loi exponentielle
0,01 0,25
0,50
0,75
0,90
0,95
1000
900
alignement des points :
800
Observed Value
700
600
indication que
500
400
distribution exponentielle
est acceptable
300
200
100
0
-100
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
Theoretical Quantile
Bernard CLÉMENT, PhD
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7
exemple 3
- comparaison de 2 procédés
Procédé taux de défaillance (heure) coût opér. ($)
A
0,005
C
B
0,003
kC (k > 1)
garantie (h) pénalité (t<400)
400
D
400
D
Quel procédé choisir ? pour quelle valeur de k on choisira B (A) ?
Solution : les coûts d’opération et de garantie des procédés
CA = C + D
si t ≤ 400
et CA = C si t > 400
CB = k C + D si t ≤ 400 et CB = k C si t > 400
coût moyen de A : E(CA ) = (C+D)* P(T ≤ 400) + C * P( T > 400)
= C + D*( 1 – exp (- 400*0,005)) = C + 0,865 D
coût moyen de B : E(CB ) = (k C+D)* P(T ≤ 400) + k D* P( T > 400)
= k C + D*( 1 – exp (- 400*0,003)) = k C + 0,699 D
E(C A ) = E(C B )
si C + 0,865D = k C + 0,699D
si k = k * = 1 + 0,166(D/C)
Si k < k* choisir le procédé B : son coût moyen est plus petit que celui de A
Si k = k* les deux procédés ont des coûts moyens égaux : A ou B
Si k > k* choisir le procédé A car son coût moyen est plus petit que B
Bernard CLÉMENT, PhD
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8
exemple 4 : circuit électronique de 6 puces + 15 diodes + 20 condensateurs
+ 25 résistances placés en série. La fiabilité des composants suivent une loi exponentielle
avec les taux de défaillance (λ)
λ (défaillances heure)
défaillances (an = 24x 365)
175,2 x 10- 7
puces
6
0,02 x 10- 7
diodes
15
1,90 x 10- 7
16644 x 10- 7
condensateurs 20
0,50 x 10- 7
13140 x 10- 7
résistances
25
0,80 x 10- 7
7008 x 10- 7
Déterminer la fonction de fiabilité du système et faire son graphique.
composant
nombre
solution le circuit fonctionne si tous les composants sont opérants
La probabilité que le circuit soit opérant jusqu’au temps t est :
P ( T > t ) = P ( T1 > t ) * P ( T2 > t ) * . . . * P ( T n > t )
= exp ( – λ 1t ) * exp ( – λ 2 t ) * . . . * exp (- λ n t ) = exp [ ( - ∑ λ i ) t ]
Le taux de défaillance (heure) du circuit est ∑ λ i
=
( 6* 0,02 + 15 * 1,90 + 20 * 1,50 + 25 * 0,80 ) x 10 7 = 78,62 x 10 7
annuellement - taux de défaillance = 24* 365 * 78,62 x 10 7 = 0,688711
Bernard CLÉMENT, PhD
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9
Exemple 4 (suite) : la fonction de fiabilité (annuelle) du circuit
FT ( t ) = exp ( - 0,688711* t )
1.2
1.0
FT
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
Bernard CLÉMENT, PhD
0.5
1
1.5
2
2.5
3
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3.5
4
t (an)
10
Distribution normale
aussi appelée distribution gaussienne
courbe en cloche : distribution la plus importante
raison :
vient du fait que cette v. a. est très souvent observée
à cause du résultat :
si plusieurs facteurs distincts et indépendants influencent l’issue d’un
processus chacun avec sa loi propre, alors la résultante (somme) tend
vers une distribution normale
Exemples
- somme de v.a uniformes
- somme de v.a exponentielles
- sommes de v.a Binomiales
- sommes de v.a Poisson
- sommes de v.a de lois diverses
autre rôle : approximer autres distributions
Bernard CLÉMENT, PhD
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11
distribution normale
Scatterplot (chap05.sta 10v*1000c)
0.14
0.12
densité en forme de cloche
0.10
X ~ N ( μ ,σ2 )
0.08
GAUSS
Notation :
paramètres
μ (mu) : moyenne
centre de la distribution
σ (sigma) > 0 : écart type
évasement de la distribution
Densité
σ
0.06
0.04
0.02
0.00
-0.02
-2
0
2
4
6
8
μ
12
14
16
18
20
22
24
26
U
1 _ exp (- ( x – μ )2 / 2 σ2 )
f (x) =
10
√
_∞
<x<∞
σ 2π
x
Répartition FX (x) = P (X ≤ x) =
Intégration numérique seulement
Moyenne (X) = E(X) = μ
Bernard CLÉMENT, PhD
-∞
1 exp (- ( t – μ )2 / 2 σ2
σ√ 2π
Variance (X) = σ2
) dt
approximation plus loin
Écart type (X) = ET(X) = σ
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12
Exemples de distributions normales
densité
répartition
ou
cumulative
Bernard CLÉMENT, PhD
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13
Z ~ N ( μ = 0, σ2 = 1)
normale centrée réduite :
Densité
f(z)=
1
√2π
exp (- z 2 / 2 )
-∞<z<∞
z
Ф (z) = P ( Z ≤ z ) =
Répartition
Φ (- z) = 1 - Φ (z)
1 exp ( - t 2 / 2
√2π
)dt
-∞
Approximation de la fonction Φ ( z )
(peut remplacer la table)
Φ (z) ≈ 1/ [ 1 + exp ( -1,5976 z - 0,0706 z3 ) ]
Approximation de la fonction inverse Φ-1 ( p )
si 0.5 ≤ p < 1
a = ( - 2ln ( 1-p)) 0 . 5
b=
2,30753 - 0,27061a
1 + 0,99229a + 0,04481a2
Φ -1 ( p ) = a - b
si 0 < p ≤ 0.5
Φ -1 ( p ) = - Φ -1 ( 1 - p )
14
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
Table
fonction Φ
normale
centrée
réduite
N(0,1)
Φ (- z) = 1 - Φ (z)
Bernard CLÉMENT, PhD
15
Quantile normale centrée réduite Z ~ N ( 0, 1)
Probability Density Function
Probability Distribution Function
y=normal(x;0;1)
p=inormal(x;0;1)
1.0
0.6
0.5
0.8
0.4
0.6
0.3
0.4
0.2
0.2
0.1
0.0
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Percentile (quantile) d’ordre p (0 < p < 1) de Z
noté zp :
solution de
Ф (zp) = p
zp = Φ -1(p)
Quantiles souvent employés
p
0,001
0,005
0,01
0,025
0,05
0,10
0,90
0,95
0,975 0,99
0,995
0,999
z p - 3,09 -2,576 -2,326 -1,96 -1,645 -1,282 1,282 1,645 1,96 2,326 2,576 3,09
Bernard CLÉMENT, PhD
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16
Transformation : de N ( μ, σ 2 ) à
Si X ~ N ( μ , σ 2 )
alors
Z=( X–μ )/ σ
est une v.a normale centrée réduite
X ~N(μ,σ2) :
X p = μ + σ Zp
Évaluation
N ( 0 , 1)
Z ~ N ( μ = 0 , σ2 = 1)
Xp quantile d’ordre p (0 < p < 1)
où
Z p quantile d’ordre p
loi N (0,1)
Ф( - z ) = 1 - Ф ( z )
P ( a < X < b ) = Ф[( b – μ ) / σ)] - Φ[( a – μ ) / σ)]
P ( | X | ≤ a ) = 2 Φ[( a – μ ) / σ)] - 1
X dans ( μ - σ, μ + σ)
probabilité = 0.683
X dans ( μ - 2σ, μ + 2σ)
probabilité = 0.955
X dans ( μ - 3σ, μ + 3σ)
probabilité = 0.997
Exemple : X ~ N ( μ = 50 , σ2 = 16 )
(a) P ( X ≤ 55 ) = Φ [ ( 55 - 50 ) / 4) ] = Φ (1,25) = 0,8925
(b) P ( X > 48 ) = 1- P ( X < 48) = 1 - Φ [ ( 48 - 50 ) / 4 ]
= 1 - Φ ( - 0,5 ) = 1 - ( 1 - Φ (0,5) ) = Φ (0,5) = 0,6915
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
17
distribution normale? - méthodes pour répondre
Pourquoi?
nombreuses procédures statistiques reposent sur l’hypothèse
que la variable de réponse Y du processus étudié est normale
Méthodes pour vérifier la normalité
1. histogrammes : au moins 50 observations
2. comparaisons : effectifs dans xbar ± s , xbar ± 2s , xbar ± 3s
3. diagramme quantile-quantile : valable même pour moins de 50 obs.
procédure : disponible dans STATISTICA
1- ordonner les observations x
2- calculer p i = i / ( n + 1 )
(1)
≤ x ( 2 ) ≤ …. ≤ x ( n )
i = 1, 2,…, n
3- calculer z p i = Φ -1 ( p i ) : quantile d’une loi gaussienne
4- droite de moindres carrés passant par
( x ( i ) , zpi )
4. tests d’ajustement : Khi-deux, Shapiro-Wilk
chapitre 11 tests d’hypothèses
méthodes 1-2-3 : jugement visuel
Bernard CLÉMENT, PhD
méthode 4 : calcul
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
18
Exemple graphique quantile-quantile
Exemple 1:
n = 12
X = 104 - 97- 83 – 113 – 107 – 119 - 161- 123 – 129 -134 – 124 - 146
quantile – quantile distribution normale
normal probability plot
Distribution: Normal
X-ex5.8 = 120+22.4366*x
0.05
0.10
0.25
Normal Probability Plot of X-ex5.8 (chap05-V5.sta 21v*1000c)
2.0
0.50
0.75
0.90
0.95
170
1.5
160
1.0
Expected Normal Value
150
Observed Value
140
130
120
110
100
0.5
0.0
-0.5
-1.0
90
-1.5
80
70
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-2.0
70
80
Theoretical Quantile
100
110
120
130
140
150
160
170
Observed Value
différence : inversion
Bernard CLÉMENT, PhD
90
axe vertical
axe horizontal
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19
Exemple graphique quantile-quantile
Exemple 2 :
n = 100 - données simulées N ( mu=50, sigma=0,5)
51,00 - 50,37- ...- 50,05 - 49,50
0.01
0.05
0.25
0.50
0.90
0.75
0.99
52.0
51.5
51.0
50.5
50.0
Observed Value
49.5
49.0
48.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
Theoretical Quantile
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
20
Exemple 3 : production composants caractéristique qualité X
doit avoir une valeur nominale de 3,500 = µ
procédé de fabrication est sujet à variations
- par expérience écart type σ (sigma) = 0,01
- valeur nominale µ peut se dérégler (usure, … ) ± 1,5*σ autour de 3,500
- limites XL = ? XU = ? telles que : Prob (XL ≤ X ≤ XU) = 0,995
X
XL
Δ = ± 1,5* σ = ± 0,015
3,500
3,485 ≤
µ≤
XU
3,515
QUESTIONS
(a) déterminer les valeurs XL et XU de X qui engloberaient
disons 99,5% de la production?
(b) une client exige des composants situés dans l’intervalle de tolérance
(spécifications)
3,500 ± 0,030
( 3,47 ≤ X ≤ 3,53 ).
On ne peut pas régler la valeur nominale mieux qu’en (a).
Quelle devrait être la valeur de σ pour que 99,5% de la production
soit dans l’intervalle de tolérance désiré?
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
21
Exemple 3 : suite - solution
(a) Posons Δ = - 0,015
P ( XL ≤ X ≤ XU ) = 0,995
XL = ? XU = ?
P [ ( XL - 3,485 ) / 0,01 ≤ (X – 3,485 ) / 0.01 ≤ ( XU – 3,485 ) / 0,01] = 0,995
P [ ( XL - 3,485 ) / 0,01 ≤
Z
≤ ( XU – 3,485 ) / 0,01] = 0,995
P [ ZL ≤ Z ≤ ZU ] = 0.995
Z suit loi N ( 0,1)
0.45
table N(0,1)
0.40
ZL = -2,81
= (XL - 3,485) / 0,01
0.35
0.30
0.25
XL = 3,485 -2,81*0,01
= 3,4569
0.20
gauss-std
ZU = 2,81
= (XU – 3,485) / 0,01
0,995
0,0025
0.15
0.10
0.05
XU = 3,485+2,81*0,01
= 3,5138
0.00
-0.05
ZL= - 2,81
Bernard CLÉMENT, PhD
0
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
ZU = 2,81
22
Δ
Exemple 3 : suite (a)
σ = 0.01
μ
XL
XU__
Δ = -1,5* σ
-0,0075
3,485
3,4569
3,5138
Δ = 1,5* σ
0,0075
3,515
3,4869
3,5431
Δ =0
si on pose
0
3,500
3,4719
3,5281
XL = 3,4569 et XU = 3,5431 on aura toujours
P( XL ≤ X ≤ XL ) = 0,995
quel que soit μ
(b) On veut que X ne soit jamais inférieur à 3,47 (avec probabilité 0,0025)
et ne soit jamais supérieur à 3,53 (avec probabilité de 0,0025).
Quelle doit être la valeur de σ?
Si Δ = 0 ( μ = 3,500 ) la condition est satisfaite. Voir tableau.
Si Δ = ± 0,015 la condition n’est pas satisfaite avec σ = 0,01
On veut
P ( 3,47 ≤ X ≤ 3,53 ) = 0,995 pour
3,485 ≤ μ ≤ 3,515
et une valeur de σ à déterminer.
Si μ = 3,485
P [( 3,47 – 3,485) / σ ≤ (X – 3,485) / σ ≤ (3,53 – 3,485) / σ ] = 0.995
P ( - 0,015 / σ ≤ Z ≤ 0,045 / σ ) = 0,995
Ф( 0,045 / σ ) - Ф( - 0,015 / σ ) = 0.995
Mais σ ≤ 0,01 donc 0,045 / σ > 4,5 et Φ ( 0,045 / σ ) ≈ Φ (4,5) = 1
1 - Φ ( - 0,015 / σ ) = 0,995
donne σ = 0,015 / 2,575 = 0,0058
Si μ = 3,515 on obtient aussi σ = 0,0058
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
23
Approximation binomiale avec normale
rappel: masse binomiale est en forme de cloche
approximation binomiale avec normale
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
Bar/Column Plot (ch3.sta 10v*31c)
0.20
0.16
0.18
0.18
0.14
0.16
n = 30
θ = 0,3
0.14
0.12
0.10
n = 30
0.16
0.12
n = 30
0.10
θ = 0,9
0.12
θ = 0,5
0.08
0.08
0.14
0.10
0.08
0.06
0.06
0.06
0.04
0.04
0.02
0.02
0.04
0.02
BINOM-3
0.00
3
1
0.00
1
BINOM-2
0.00
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
29
binom
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
n = 100
0.09
0.08
0.14
n = 100
0.08
θ = 0,3
0.07
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
0.09
0.10
θ = 0,5
0.07
0.06
n = 100
0.12
θ = 0,9
0.10
0.06
0.08
0.05
0.05
0.04
0.06
0.04
0.03
0.03
0.04
0.02
0.02
0.01
0.01
BINOM-4
0.00
1
8
15
22
29
36
43
50
Bernard CLÉMENT, PhD
57
64
71
78
85
92
99
0.02
0.00
BINOM-5
1
9
17
25
33
41
49
57
65
73
81
89
97
BINOM-6
0.00
1
9
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
17
25
33
41
49
57
65
73
81
89
97
24
Approximation binomiale avec normale
Une variable X binomiale ( n, θ) est discrète : x = 0, 1, 2, 3,…., n
Une variable Y normale « équivalente » a pour paramètres:
μ = nθ
et
σ2 = n θ ( 1 – θ )
Condition : faut que n soit « assez grand » : n θ ( 1 – θ ) > 5
θ 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95
n 105 50 32 24 21 20 21 24 32 50 105
Formules d’approximation :
σ = [n θ ( 1 – θ )]0,5
et μ = n θ
Binomiale
Gaussienne
Évaluation avec Φ_______________
PB ( X = x)
PG ( x- 0,5 ≤ X ≤ x+ 0.5)
Ф[ (x + 0,5 - μ)/σ ] - Φ [ (x - 0,5 - μ)/σ ]
PB( X ≤ x)
PG ( X ≤ x+0,5)
Φ [ (x + 0,5 - μ )/σ ]
PB( a ≤ X ≤ b )
PG (a - 0,5 ≤ X ≤ b + 0,5)
Φ [(b + 0,5 - μ) /σ ] - Φ [(a - 0,5 - μ) /σ ]
± 0,5 : correction de continuité
Exemple : loi binomiale (n=100, θ = 0,4)
nθ = 40 et nθ(1 - θ ) = 24 = 4,902
P(X = 35) ≈ Ф[ (35 + 0,5 - 40) / 4,90] - Φ[ (35 - 0,5 - 40) / 4,90]
≈ Φ( - 0,92 ) - Φ( - 1,12 ) = 0,1788 - 0,1314 = 0,0474
P( 22 < X ≤ 30 ) = P(23 ≤ X ≤ 30) ≈ Φ[( 30 + 0,5 - 40) / 4,90] - Φ [(23 - 0,5) / 4,90 ]
= Φ(-1,94) - Φ(-3,57) = 0,0262 - 0,0002 = 0,0260
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
25
Combinaison linéaire de variables normales
RÉSULTAT
Soient X
X i~
1
, X 2,, ….. , X n des v. a indépendantes
N ( μ i , σi2 )
Soient
a0, a1, a 2,, …. , an des constantes.
n
Posons
Y = a0 + ∑ ai Xi
i=1
une combinaison linéaire des Xi
alors
Y ~ N ( μY ,
μ Y = a0 + ∑a i μ i
Bernard CLÉMENT, PhD
σY 2 )
où
σY2 =
∑
a i2 σi2
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
26
Exemple 1 : X1 ~ N ( mu = 2, var = 9)
Calculer :
(a) P( X1- X2 > 1.5)
(c) P( X1 + X2 ≤ 1)
X2 ~ N ( mu = 1, var = 16)
(b) P(X1 > X2)
(d) P( 2X1 + X2 > 6)
Solution
(a) X1 - X2 ~ N (mu =2 -1 = 1, var = 9+16 = 25)
P(X1 - X2 > 1.5) = 1 - P(X1-X2< 1.5) = 1- Φ ((1,5 -1) / 5) = 1- Φ( 0,1 )
= 1 - 0,5398 = 0,4602
(b) P(X1 > X2) = P( X1- X2 > 0) = 1 - Φ((0 - 1) / 5) = 1- Φ(-0,2) = 0,5793
(c) X1 + X2 ~ N (mu = 2+1 = 3, var = 9 + 16 = 25)
P( X1 + X2 ≤ 1) = Φ((1 - 3) / 5) = Φ(-0,40) = 0,3446
(d) 2X1 + X2 ~ N ( mu = 2*2+1 = 5, var = 4*9+16 = 52)
P(2X1+X2 > 6) = 1 - Φ((6 - 5) / 520.5 ) = 1 - Φ(0,14) = 0,44443
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
27
Exemple 2 insertion d’une tige dans un cylindre évidé
X 1 ~ N ( μ1 = 1,005 , σ1 = 0,003 ) : diamètre intérieur
cylindre
X 2 ~ N ( μ 2 = 1 , σ2 = 0,002 ) : diamètre extérieur tige
Quelle est la probabilité de faire l’insertion tige dans cylindre?
Solution
W= X 1– X
2
loi N ( 0,005, σ W = √13 * 0.001 = 0,0036 )
P ( W > 0) = 1 - P ( W < 0 ) = 1 - Φ [ ( 0 - 0,005) / 0,0036 ]
= 1 - Φ ( -1,39 ) = 0,92
ou 92%
quoi faire pour augmenter la probabilité à 0,99 ?
réponse :
Bernard CLÉMENT, PhD
réduire
σ1 ou σ2 (page suivante)
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
28
Exemple 3 (suite)
insertion d’une tige dans un cylindre
X 1 ~ N ( μ1 =1,005 , σ 1 = ? ) : diamètre intérieur
cylindre
X 2 ~ N ( μ 2 =1 , σ2 = 0,002 ) : diamètre extérieur tige
Valeur de σ1 pour faire l’insertion avec probabilité 0,99 ?
Solution :
N ( 0,005, σ W )
W = X 1– X
2
on veut
P ( W > 0) = 0,99
suit loi
P ( W < 0 ) = 0,01 = 1 - P [( 0- 0,005) / σ W ]
(0 - 0,005) / σ W = Z 0.01 = - 2,33 (table)
- 0,005 / σ W = - 2,33
σ W = 0,00215
σ W = 0,00215 = (σ12 + 0.002 2 )0.5
σ 1 = 0,0028
29
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
Théorème Central-Limite
Théorème Central Limite (TCL)
X1 , X2 , …, Xn suite de variables aléatoires indépendantes telles que
E(Xi) = µi
alors si n est « grand »
(1)
Z = ( ∑ Xi
Cas particulier
-
Var(Xi) = σi2
i = 1 ,2, …, n
(n ≥ 30 généralement suffisant)
∑ µi ) / ( ∑ σi2 )0,5 ~ N(0 , 1) approximativement
application au processus d’échantillonnage
X1 , X2 , …, Xn une suite de variables aléatoires indépendantes,
identiquement distribuées avec
E(Xi) = µ
alors si n est « grand »
(2)
(𝟑𝟑)
(4)
Y = ∑ Xi
~
Var(Xi) = σ2
i = 1 ,2, …, n
(n ≥ 30 généralement suffisant)
N(µY , σY2 ) avec
𝐗𝐗𝐗𝐗𝐗𝐗𝐗𝐗 = ∑ Xi / n
~
µY = n µ
σY2 = n σ2
N(µ , σ2 /n)
[ (∑ Xi / n) - µ ) / (σ/ 𝐧𝐧 ) ~ N(0 , 1)
Bernard CLÉMENT, PhD
30
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
Théorème Central-Limite
Exemple : 50 nombres Xi au hasard dans intervalle [ 0, 1 ]
Prob ( ∑ Xi ≥ 28 ) = ?
réponse = 0,0708
Exemple : échantillon de 9 bouteilles dont le volume a pour
moyenne de 750 ml et un écart-type de 15 ml.
Prob ( Xbar ≤ 745) = ?
Bernard CLÉMENT, PhD
réponse = 0,1587
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
31
distribution lognormale
X suit distribution lognormale de
paramètres µ et σ si
Y = ln(X) suit une distribution normale N(µ , σ2)
µ et σ : pas la moyenne et l’écart-type de X
mais
µ = E(X) = moyenne de Y = ln(X)
σ = ET(Y) = écart-type de Y = ln(X)
fonction densité
fonction
répartition
Fx(x) = Prob (X ≤ x ) = Prob ( ln(X) ≤ lnx ) = Φ [ (ln(x) - µ )/ σ) ]
moyenne =
médiane =
mode
=
variance =
32
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
distribution lognormale
Exemple:
X distance (m) entre 2 véhicules consécutifs
sur une autoroute
distribution de X : lognormale
paramètres µ = 0,5 σ = 0,8
Questions
a) Prob (X ≥ 3) = ?
= Prob (lnX ≥ ln3) = Prob( (lnX - 0,5) / 0,8 ≥ (ln3 – 0,5) / 0,8) )
= Prob ( Z ≥ ( (1,099 - 0,5) / 0,8) ) avec Z ~ N(0,1)
= 1 – P( Z ≤ 0, 75) = 1 - Φ (0,75) = 1 - 0,773
= 0,227
b) moyenne de X = ?
moyenne de X = exp( 0,5 + (0,8)2 (1/2) ) = 1,36 (formule p.32)
c) écart-type de X = ?
Bernard CLÉMENT, PhD
réponse : 0,97
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
33
propriétés distribution lognormale
Bernard CLÉMENT, PhD
34
DISTRIBUTION BI-NORMALE: distribution normale en 2 dimensions
Un vecteur de 2 variables aléatoires (X1, X2)’ suit une distribution normale
en 2 dimensions (bi normale) si leur densité conjointe est définie par
Bernard CLÉMENT, PhD
35
DISTRIBUTION BI-NORMALE: distribution normale en 2 dimensions
Si ρ = 0, alors les variables X1 et X2 sont indépendantes.
Ce résultat constitue une exception
2 variables à corrélation nulle ne sont pas nécessairement indépendantes
PROPRIÉTES
Bernard CLÉMENT, PhD
36
DISTRIBUTION BI-NORMALE: distribution normale en 2 dimensions
EXEMPLE
On suppose que les notes au cours de probabilités (X1) et de
résistance des matériaux (X2) pour un groupe d’étudiants est
un vecteur aléatoire (X1 , X2) suit une distribution bi normale avec les
paramètres
(μ1, μ2) = (80, 75)
(σ1, σ2) = (2, 3)
ρ = 0,7
Si un étudiant a obtenu 82 en probabilités, quelle est la probabilité
qu’il obtienne un meilleur résultat en résistance des matériaux?
RÉPONSE : 0,011
Bernard CLÉMENT, PhD
37
distribution gamma : Γ(c, λ)
fX (x) = [ 1/ Γ(c) ] λc x c – 1 e - λ x
Γ (Gamma) est la fonction Gamma
c > 0 est le paramètre de forme
λ > 0 est le paramètre d’échelle
Moyenne
E (X) = c / λ
Variance
Var (X) = c / λ 2
loi gamma avec c = 2 et lambda = 1
fonction répartition
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
x >0
0.0
0
Bernard CLÉMENT, PhD
2
4
6
8
10
0
2
4
6
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
8
10
38
distribution gamma : Γ(c, λ)
c = 0,5
c=1
exponentielle
c = 1,5
c=2
λ=1
Bernard CLÉMENT, PhD
λ=2
λ=4
39
Distribution Gamma : relation avec processus Poisson
Résultat
(généralisation résultat de la page 4 où n = 1)
X un processus de Poisson d’intensité
λ
λ réalisations en moyenne par unité de temps
Y le nombre de réalisations du processus durant t unités de temps
Y suit une loi de Poisson de paramètre λt
T le temps d’attente jusqu’à la n-ième réalisation
T suit une loi Gamma de paramètres α = n et θ = 1 / λ
distribution Khi-deux : cas particulier Gamma
Si
λ = 0,5
et
c=k/2
où k est un entier :
la loi porte le nom du khi-deux.
employée
Bernard CLÉMENT, PhD
chapitres 9 - 10 - 11 - 12
40
distribution Weibull : W (c, λ)
c paramètre de forme
λ paramètre d’échelle
- 1 exp [- ( x / λ)c ]
densité
f ( x ) = (c / λ) (x /λ ) c
répartition
F ( x) = 1 – exp [ - (x / λ) c ]
quantile d’ ordre p :
fiabilité
x>0
x p = ln [ ln (1 / (1-p) ) ]
0<p<1
c = 1 : distribution exponentielle
densité
répartition
Weibull
1.0
1.2
c = 2, λ =1
0.8
1.0
0.8
λ =1
β =c
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
Bernard CLÉMENT, PhD
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
41
Exemple :
X = 525 – 880 – 1200 – 1600 – 1980 – 2420 - 3294
distribution Weibull ?
examen avec graphique quantile - quantile
graphique quantile - quantile
Q uantile-Q uantile Plot of X-ex5.24 chap05.sta 24v*1000c)
Distribution: Weibull(1)
alignement
X-ex5.24 = 649.8774+1139.6854*x
0.01
0.25
0.50
0.75
des points :
0.90
4000
indication
3500
loi
3000
Weibull
2500
semble
2000
acceptable
1500
Observed Value
1000
500
0
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
Theoretical Quantile
Bernard CLÉMENT, PhD
42