groupe d`ordre 8

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Structure des groupes d’ordre 8
Théorème 1. Il y a à isomorphismes près 5groupes d’ordres 8, dont 3sont abéliens :
•Z/8Z,Z/2Z×Z/4Z,(Z/2Z)3.
et deux non abéliens :
•Le groupe diédral D4.
•Le groupe des quaternions H8.
Démonstration. :
Etape 1 : D’après le théorème de structure des groupes abéliens finis, il y a à isomorphismes
près 3groupes abéliens d’ordre 8correspondant aux suites d’exposants (1,1,1),(1,2),(3) telles
que :
•Z/21Z×Z/21Z×Z/21Z= (Z/2Z)3.
•Z/21Z×Z/22Z=Z/2Z×Z/4Z.
•Z/23Z=Z/8Z.
Etape 2 : Supposons Ggroupe d’ordre 8non abélien. dont on note la loi multiplicativement.
Notons rl’ordre maximal des éléments de Get montrons que r= 4. Par le théorème de Lagrange,
on a r∈ {2,4,8}. Or, si r= 8,Gadmet un élément d’ordre 8et est cyclique donc abélien, absurde.
Si r= 2, tous les éléments de Ghormis le neutre sont d’ordre 2et donc Gserait encore abélien,
absurde. D’où r= 4.
Méthode : on va montrer qu’à isomorphisme près, le groupe diédral D4et le groupe des qua-
ternions (dont nous savons qu’ils sont d’ordre 8non abéliens et non isomorphes), sont les seuls
groupes d’ordre 8non commutatifs.
Etape 3 : D’après ce qu’il précède, il existe dans Gun élément id’ordre 4et on note H=<i>.
Puisque [G:H]=2,H  G et G/H est muni d’une structure de groupe, ce qui donne la suite
exacte :
17→ H'Z/4Zi →Gπ G/H 'Z/2Z7→ 1
où i:H →Gest l’injection canonique et π:GG/H la surjection canonique. On dit que
la suite exacte est scindée s’il existe un morphisme sde Z/2Zdans Gtel que π◦s=IdZ/2Z
c’est-à-dire un morphisme inverse à droite de π. L’existence d’un tel morphisme garantira alors
que G'Z/4ZoZ/2Z
Objectif 1. Montrons que la suite est scindée si et seulement s’il existe a∈G\Hd’ordre 2.
Supposons pour commencer qu’il existe a∈G\Hd’ordre 2. Définissons s:Z/2Z−→ Gpar
s(0) = 1Get s(1) = a. Alors, sest bien un morphisme puisque
s(1 + 1) = s(0) = 1G=a2=s(1)2car aest d’ordre 2.
De plus, π(s(0)) = π(1G)=0Z/2Zet π(s(1)) = π(a)=1Z/2Z, puisque a6∈ H.Inversement, si
un tel morphisme sexiste alors nécessairement s(1 + 1) = s(0) = s(1)2= 1Get s(1) = aest un
élément d’ordre 2de Gcar s(1) 6= 0 car sinon on aurait π(s(1)) 6= 1, avec de plus π(s(1)) = 1
soit s(1) ∈G\H, car sinon on aurait π(s(1)) = 0. D’où l’équivalence annoncée.
Supposons que G\Hcontient un élément d’ordre 2. On a donc d’après ce qui précède Z/4Z oφ
Z/2Zoù φest un morphisme de Z/2Z−→ Aut(Z/4Z)qui participe à déterminer la loi de groupe
+sur l’ensemble Z/4Z×Z/2Zvia :
(k1, l1)+(k2, l2)=(k1+φ(l1)(k2), l1+l2).
Or, on sait que Aut(Z/4Z)'(Z/4Z)∗'Z/2Z, les inversibles de Z/4Zétant 1,3. On cherche
donc à déterminer les morphismes de Z/2Zsur Z/2Zet par cyclité de Z/2Z, on voit facilement
qu’il y a exactement deux tels morphismes :
•le morphisme trivial qui à 07→ 0et 17→ 0, qui munit le produit semi-direct d’une structure
de groupe commutatif.
•le morphisme φ1qui à 07→ 0et 17→ 1tel que Z/4Z oφ1Z/2Zsoit un vrai produit
semi-direct non commutatif
Comme Gest supposé non abélien, nécessairement G'Z/4Z oφ1Z/2Z'D4. En effet, D4est
lui aussi d’ordre 8, non abélien. On prend alors H=< r > où rdésigne la rotation de centre O
et d’angle 2π
4qui est bien d’ordre 4et toute réflexion sest alors un élément de D46∈ Hd’ordre
2qui permet de scinder la suite exacte :

2
17→< r >'Z/4Zi →D4
π
D4/ < r >'Z/2Z7→ 1
ce qui donne bien d’après l’étude précédente D4'Z/4Z oφ1Z/2Z=⇒G'D4.
Etape 4 : On suppose toujours Gd’ordre 8non abélien avec H=<i>d’ordre 4mais ici
G\Hne contient aucun élément d’ordre 2. Alors, Hétant cyclique d’ordre 4avec 2|4, il
contient ϕ(2) = 1 élément d’ordre 2. Or, puisque iest d’ordre 4,i2est d’ordre 2et c’est donc le
seul élément d’ordre 2de Hdonc aussi de G\Hpar hypothèse, on note i2=−1. Considérons
j∈G\H, alors jn’est pas d’ordre 2et comme 1∈H,jest nécessairement d’ordre 4(ne pouvant
être d’ordre 8) et j2=−1est d’ordre 2. On note k=ij 6∈ H, car sinon iétant dans H,jle
serait également, absurde. On a donc également kest d’ordre 4et k2=−1est d’ordre 2. D’où :
i2=j2=k2=−1
Objectif 2. montrons que card(Z(G)) = 2 et Z(G) = {1,−1}.
Comme Z(G)est un sous-groupe de G, par le théorème de Lagrange card(Z(G)) ∈ {1,2,3,4,8}.
Or, card(Z(G)) 6= 8, car Gest non abélien et card(Z(G)) 6= 1 car Gest un 2-groupe et tout
p-groupe a d’après la formule des classes un centre non trivial. D’où, card(Z(G)) ∈ {2,4}. Si on
suppose card(Z(G)) = 4,Z(G)serait d’indice 2dans Get donc distingué dans G. On aurait alors
G/(Z(G)) 'Z/2Zcyclique et Gserait abélien, absurde. D’où card(Z(G)) = 2 et Z(G) = {1,−1}.
Les éléments 1, i, j, k, −1,−i, −j, −ksont alors 8éléments distincts de G, ce qui montre que :
G={1, i, j, k, −1,−i, −j, −k}avec H={1, i, −1,−i}.
Alors, ij, ik, jk 6∈ Z(G) = {1,−1}et comme ji 6∈ Hcar i∈Het j6∈ H, on a ji ∈ {j, k, −j, −k}.
Objectif 3. Montrons que ji =−k=−ij
On a :
•ji 6=jsinon on aurait 1 = j, absurde.
•ji 6=−jsinon on aurait i=−1, absurde.
•ji 6=ij =k, sinon on aurait icommute à j(donc à −j=j3car −1∈Z(G)), puis i
commute à ij =k(donc à −k=j2kcar −1∈Z(G)). De plus comme i∈Het que H
abélien, on aurait finalement i∈Z(G), absurde.
On en conclut nécessairement ji =−ksoit ji =−ji. On montre de même que :
ki =−ik =jet jk =−kj =i, avec i2=k2=j2=−1
ce qui donne bien G'H8par construction du groupe des quaternions.
Rappel 1. Soit Gest un groupe abélien fini de cardinal n. Il existe une unique suite a1, . . . , as
d’entiers tels que 1< a1|a2. . . |aset G'Z/a1Z×. . . ×Z/asZ.
Rappel 2. Si Gest un groupe dont tous les éléments (hormis le neutre) sont d’ordre 2, alors G
est commutatif.
Démonstration. Calculons pour x, y ∈G, le commutant xyx−1y−1. Comme x, y sont d’ordres 2,
on a x−1=x,y−1=y=⇒xyx−1y−1= (xy)(xy) = (xy)2= 1Gce qui donne xy =yx et Gest
donc abélien.
Rappel 3. Soit Gun groupe fini tel que Z(G)soit d’indice 2dans G. Alors G/Z(G)'Z/2Zet
Gest abélien.
Démonstration. Soit G/Z(G)est isomorphe à Z/2Z. On note g6∈ Z(G), alors G/Z(G) = {1, g}
et tout élément de Gs’écrit gkzpour k∈Zet z∈Z(G). Pour deux éléments gk1z1et gk2z2de G,
on a alors (gk1z1)(gk2z2) = gk1gk2z1z2=gk1+k2z1z2et gk2z2gk1z1=gk2gk1z2z1=gk2+k1z1z2.
D’où le résultat.
Références :
•F GN, algèbre 1.
•Boyer-Risler pour les théorèmes de structure des groupes abéliens finis.
•Perrin cours d’algèbre pour les notions de produit semi-direct.