Rappels sur les nombres et les calculs élémentaires

Rappels sur les nombres et les calculs élémentaires
I-
Les entiers et l’addition des relatifs :
La première famille de nombres que vous avez rencontrée dans votre vie est celle des entiers
naturels : 0 ; 1 ;2 ;3 ;…. On note leur ensemble ℕ. C’est : ℕ={0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;…}. Ces nombres
permettent par exemple de compter les billes dans un sac.
Avec ces nombres, plusieurs opérations sont possibles : addition, soustraction (mais pas
toujours : 5-11 ne donne pas un entier naturel), multiplication, division (là aussi pas toujours :
11/7 n’est pas un entier naturel), puissances. Ces opérations ont des propriétés :
-
On peut faire l’addition de nombres dans l’ordre qu’on veut : 5+8+26+9 = 8+9+26+5.
Ce n’est pas vrai pour la soustraction.
La multiplication peut aussi se faire dans l’ordre qu’on veut : 3×8×2×14=14×2×3×8.
Ce n’est pas vrai non plus pour la division, ni pour les puissances (on étudiera plus en détails
la puissance plus tard).
Addition et multiplication sont reliées comme il suit :
a + a + a + ... + a = n × a . On répète l’addition et cela donne la multiplication.
n fois
-
De même, multiplication et puissance sont reliées :
a × a × a × ... × a = a n . On répète la multiplication et cela donne la puissance.
n fois
-
Les deux définitions qui précèdent sont très importantes. Première erreur à éviter :
Ne pas croire qu’addition, multiplication et puissance sont la même chose.
Une propriété importante : distributivité de la multiplication par rapport à l’addition :
a × (b + c ) = a × b + a × c . On peut retrouver cette propriété en revenant à la définition de la
multiplication. On verra que l’on peut faire plein de choses avec cette propriété.
Exemple : en calcul mental. Faire 12×99 directement est difficile. Mais on peut faire :
12×(100-1) = 12×100-12×1=1200-12=1188 grâce à la distributivité.
Comme il est décevant de ne pas pouvoir toujours soustraire les nombres, ou ce qui revient
au même, de ne pas pouvoir résoudre des équations comme x+7 = 3 (il faudrait x = -4), les
mathématiciens ont inventé d’autres nombres, plus généraux, les entiers relatifs. Leur ensemble
est : ℤ={… ;-3 ;-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;…}. Il contient les entiers naturels. Les entiers relatifs représentent
par exemple le solde lors d’un échange de billes : si l’on donne trois billes, c’est -3 billes, si on en
reçoit cinq, c’est +5 billes.
Les mêmes opérations sont possibles qu’avec les entiers naturels, mais ici la soustraction existe
toujours. Par contre, la division et les puissances peuvent poser problème. Les propriétés restent
vraies (c’est très important).
Pour la multiplication, on a la règle des signes :
a↓
b→
+
-
+
+
Signe de a×b et de a/b
+
Addition et soustraction des relatifs :
Le gros avantage des relatifs est que d’une certaine manière, en introduisant la notion de signe d’un
nombre, on peut se passer de la soustraction. Ainsi :
« Soustraire un nombre a, c’est ajouter –a »
Attention ! Si a vaut 5, -a vaut -5. Et si a vaut -8, -a vaut 8 (les signes – se simplifient). Du coup –a
n’est pas toujours négatif !!! Il est négatif seulement quand a est positif !!
Avec la règle précédente et le fait qu’on peut additionner dans l’ordre qu’on veut, de nouvelles
choses sont possibles dans le calcul :
8-6+9-5+3+11-16-7 = 8+(-6)+9+(-5)+3+11+(-16)+(-7)=8+9+3+11+(-6)+(-5)+(-16)+(-7) =…(dans l’ordre
qu’on veut, à condition de garder les signes)
Par exemple : x-y = -y+x mais x-y≠y-x (on n’a pas gardé les signes).
Il est très important en calcul numérique ou littéral (avec des lettres) de savoir comment on peut
transformer l’expression sans changer sa valeur. C’est généralement ça qui pose problème aux
élèves.
Je mets des exercices sur WIMS pour travailler tout cela.
II-
Les priorités des opérations:
En fait les opérations sont des objets qui « mangent » 2 nombres et qui en fabriquent un troisième.
Par exemple : 2+3 = 5 (remarque : « = » ne signifie pas « donne » mais « ça vaut pareil ». On peut
écrire 2×3 = 2+4 parce que à gauche et à droite ça vaut 6). Du coup, quand on écrit 2 + 3 + 5, on ne
sait pas s’il faut faire d’abord 2 + 3, puis le résultat plus cinq, ou 3+5, puis deux plus le résultat. Pour
faire la différence, on met des parenthèses : (2+3)+5 ou 2+(3+5). Mais comme on a vu, ici ce n’est pas
grave parce que le résultat final est le même. Du coup, on se donne le droit d’écrire 2+3+5. Ce n’est
qu’une notation. On a le même phénomène avec la multiplication, mais pas avec la soustraction, la
division et la puissance.
Exemple : a priori 2×3+5 n’a pas de sens car on pourrait faire (2×3)+5=11 ou 2×(3+5) = 16.
En conséquence, pour commencer, on doit faire très attention aux parenthèses. En fait on obtient
des arbres de calculs qui sont différents suivant les parenthèsages. Parfois, des arbres de calcul
donnent le même résultat, et c’est une propriété profonde des nombres, parfois pas du tout.
Exemple :
Mais comme on aimerait simplifier les notations des calculs, on se permet d’écrire des choses
comme 2×4+9×11-3×25+3×4 sans parenthèse, mais en se donnant des règles pour savoir où sont les
parenthèses « cachées ». Ce sont les règles de priorité dans les opérations.
Voici ces règles, de la priorité la plus grande à la plus petite :
1- Parenthèses, et parenthèses implicites (comme dans les quotients :
(machin)
et les exposants : trucmachin revient à truc(machin)).
(truc)
2- Puissances : abc revient à a(bc).
machin
revient à
truc
3- Multiplication, quotient et changement de signe, au même niveau car on peut les faire dans
l’ordre qu’on veut (en effet : −
ab
b
(a × b)
= ( − a ) × ( ) = −(
) = ... . Mais a+b×c = a+(b× .) et
c
c
c
pas (a+b)×c).
4- Addition et « soustration »(c’est-à-dire addition de l’opposé (= le nombre avec son signe
changé)), au même niveau car on peut les faire dans l’ordre qu’on veut (déjà vu).
Du coup, lorsqu’on donne une expression, même si on peut croire qu’il manque des parenthèses,
avec ces règles, il y a un seul arbre de calcul, c’est-à-dire une seule façon de faire les calculs. Il n’y a
plus d’ambiguïté.
La règle la plus importante à mémoriser dans un premier temps, avant d’aller travailler avec les
puissances, c’est « La multiplication est prioritaire par rapport à l’addition ».
Retenir aussi qu’il vaut mieux mettre des parenthèses même si elles sont inutiles en fait avec les
priorités, plutôt que de laisser dans le vague et de se tromper.
Je mets là aussi des exercices sur WIMS.
A ce sujet, voici une petite catastrophe qu’un de mes collègues a trouvée dans une copie :
« Exemple dans une copie de Terminale que je viens de corriger:
/ 3
2
01 4
1 4
6
5 /
7
;
=
7
= 89 + < × 9 − < .
Vous remarquerez que le calcul n'est pas acquis !! Les parenthèses sont aussi oubliées, tout comme
la priorité des opérateurs.
Il faut comprendre, Numérateur divisé par Dénominateur, il y a des parenthèses cachées.
2 4
? + 3@
15
=
5 3
? − 2@
6
Je calcule le numérateur, puis le dénominateur et ensuite, je fais le quotient pour trouver
−11
. J'ai rajouté des parenthèses et ce n'est pas inutile pour comprendre. »
5
III-
Fractions et quotients :
La notion de fraction est difficile et pose beaucoup de problèmes aux étudiants. Au départ, elle a été
introduite pour résoudre des équations qu’on ne savait pas résoudre dans ℤ, comme par exemple
3×x = 2. Il n’y a pas de solution entière. C’est un problème du type « on a 2 gâteaux et 3 convives.
Comment couper les gâteaux pour que chacun des convives en aient autant ? ». En fait on doit
donner deux tiers de gâteau à chaque participant : on coupe les gâteaux en trois, et on donne 2 parts
à chacun. Les fractions représentent donc des parts d’unités en on en prend un certain nombre.
fraction =
nombre de parts
en combien de parts on divise les unités
En fait, le trait au milieu de la fraction correspond aussi à la division. A partir de maintenant on
n’utilise plus le symbole de division mais seulement le trait de fraction qu’on appelle « quotient ».
C’est la même chose car si je multiplie
2
par 3, c’est que je prends trois fois 2 tiers, et ça revient à
3
prendre 2 unités pleines. Donc le quotient comme la division sont le contraire de la multiplication.
C’est donc bien la même chose.
Les fractions représentent donc un certain nombre de parts égales d’unités (de quelque chose qu’on
peut couper, comme des litres d’eau, ou des gâteaux, etc.)
L’ensemble des fractions d’entiers relatifs (fractions positives ou négatives) est noté :
ℚ ={….,-10;-8 ;-3/4 ;-8/3 ;0 ;1/2 ;3/4 ;8/7 ;9/10 ;52 ;….}.
Ses éléments sont appelés nombres rationnels.
Les entiers relatifs sont des fractions particulières : 3 =
prend en entier), -8 =
3
(on coupe les unités en 1, c’est-à-dire on les
1
−8
, etc.
1
Les décimaux (nombres à virgules) sont aussi des fractions particulières, mais avec le nombre du bas
(appelé dénominateur) qui s’écrit comme 10 ; 100 ; 1000 ; 10000 ; …. Exemple : 0, 086 =
-75,98=
86
;
1000
−7598
.
100
Il y a quelque chose de remarquable avec les fractions : c’est la simplification. SI on divise les
unités en quatre parts égales, et qu’on en prend un nombre pair, par exemple 10, on a la même
quantité que lorsqu’on coupe en deux, et qu’on en prend 5.
10 5
=
4 2
Voici la règle qui exprime cela :
a×b a
= (quand b≠0, on va voir qu’il y a un problème dans ce cas).
c×b c
Il faudra donc autant que possible écrire les fractions de manière simplifiée.
Puis, pour définir les opérations sur les fractions, on se débrouille pour qu’elles prolongent
les opérations classiques et qu’elles vérifient les bonnes propriétés du début.
Pour l’addition et la soustraction, il y a un problème, car lorsqu’on veut additionner des quarts et des
tiers, a priori on ne sait pas faire (ça serait comme additionner un nombre de carottes et un nombre
de navets). Il faut donc se ramener au même type de parts. Pour cela on coupe les quarts en trois
pour faire des douzièmes, et les tiers en quatre pour faire aussi des douzièmes. On peut alors ajouter
(ou soustraire). Exemple :
3 5 3 × 3 5 × 4 9 20 29
.
+ =
+
= +
=
4 3 4 × 3 3 × 4 12 12 12
12 s’appelle ici le dénominateur commun des deux fractions. Un gros travail consiste à trouver des
dénominateurs communs avec les fractions.
Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les met au même dénominateur.
Pour la multiplication, c’est plus simple. Inutile de mettre au même dénominateur :
a c a×c
× =
b d b×d
Pour multiplier des fractions, on multiplie en haut et en bas.
Autre cas :
a×
b a b a×b
a×b
(et pas
! attention !!)
= × =
c 1 c
c
a×c
Pour le signe – on peut le mettre où on veut : −
a −a a
. Et quand il y en a plusieurs, on peut
=
=
b
b
−b
les simplifier.
Maintenant, le gros problème est quand on empile des quotients. Il faut déjà connaître les choses
suivantes :
-
L’opposé de A, c’est –A.
-
L’inverse de A, c’est
1
A
B
. L’inverse de
, c’est
.
A
B
A
C’est un point de vocabulaire. En fait l’inverse d’un nombre est le nombre qui lorsqu’on le multiplie
au premier donne 1.
Puis :
Diviser c’est multiplier par l’inverse : faire /A, c’est faire ×
Diviser par
A
B
, c’est multiplier par
B
A
1
.
A
Après, il faut être très rigoureux sur la longueur des traits de fraction et la position du « = ». C’est
cela qui va dire dans quel ordre on fait les opérations. Exemple :
2
3 = 2 × 5 = 10 = 5 , mais
4
3 4 12 6
5
2
2
2
4
8
=
=
= 2 × = . On peut compliquer ce genre de choses à l’envie. On peut faire
3
5
15
15 15
3×
4
4
4
5
les arbres de calcul pour voir ce qui se passe.
Avec toutes ces règles de calcul, les bonnes propriétés du début restent vraies (on ajoute dans
l’ordre qu’on veut, distributivité, etc…).
Un point de vocabulaire : ce qu’il y a en haut de la fraction s’appelle le numérateur, ce qu’il y en bas
le dénominateur.
ATTENTIONS AUX CATASTROPHES DANS LES SIMPLIFICATIONS !!
Pour simplifier une fraction, il faut que la quantité par laquelle on simplifie en haut et en bas soit en
produit avec tout le reste.
Exemple de catastrophe :
1 + 2x 2x
=
C’est faux ! Le 1 est additionné en haut et en bas ! La preuve :
1+ 5y 5y
si c’était possible, on aurait :
Autre exemple :
3 1+ 2 2
=
= . On voit bien que c’est faux.
4 1+ 3 3
2 x(1 + 5 y ) + 3 1 + 5 y + 3
=
. C’est faux aussi car le 3 d’en haut n’est pas pris dans la
2 x(3 + 4 y )
3+ 4y
multiplication à cause des priorités et de la position des parenthèses. Par contre :
2 x(1 + 5 y ) 1 + 5 y
=
est vrai.
2 x(3 + 4 y ) 3 + 4 y
On ne peut pas diviser par zéro !!
Voici un autre gros problème avec les quotients. En partie d’une unité on ne sait pas faire des
« zéro-ièmes ». La preuve : si zéro avait un inverse, disons un
multipliant par 0, on aurait 1 : 0 ×
1
, ce serait le nombre tel qu’en le
0
1
= 1 . Mais on sait bien que 0 fois n’importe quoi vaut 0 ! Donc
0
zéro serait égal à un, gros problème. Donc zéro n’a pas d’inverse, on ne peut pas diviser par zéro. Il
faut être très attentif à cela : on ne peut calculer
x≠6, sinon, on divise par zéro !
3x + 5
que lorsque x-6≠0, c’est-à-dire lorsque
x−6
IV-
Un petit résumé sur les opérations :
Les opérations peuvent se ranger en familles suivant leurs propriétés (c’est une théorie appelée
théorie des groupes). En fait les relations qu’elles ont entre elles se ressemblent, mais il ne faut
surtout pas confondre les opérations entre elles.
Voici un récapitulatif :
Famille addition
Famille
multiplication
Opération de
base
+
×
Passage au
« symétrique »
Opposé : a → - a
Inverse : a →
1
a
Opération
contraire
Additionner
l’opposé, c’est
soustraire
Multiplier par
l’inverse, c’est
diviser
Opération
répétée
On répète n fois
l’addition de a,
c’est comme faire
a×n
On répète n fois
la multiplication
de a, c’est comme
faire an (a
puissance n)
Une erreur classique des élèves est de tout mélanger là-dedans.
En fait, on peut s’en sortir en faisant avec seulement deux opérations qui « mangent 2 nombres » :
addition et soustraction (et en fait, on rajoute puissance, mais c’est pour plus tard), et deux
opérations qui ne « mangent qu’un nombre » pour faire un autre nombre : opposé et inverse. Tout le
reste est affaire de notations.
V-
Nombres réels et racines carrées :
On pourrait croire qu’avec les rationnels on a fini le travail de la construction des nombres parce
qu’entre deux rationnels, on peut en trouver autant qu’on veut. Comme sur une droite : entre deux
points, on peut en trouver autant qu’on veut. On pourrait croire (et des mathématiciens le croyaient
il y a longtemps) que les rationnels permettent de repérer tous les points d’une droite (une fois
choisie une unité de longueur et une origine). En fait c’est faux, et c’est difficile à prouver. Par
exemple, avec le théorème de Pythagore, on peut construire une longueur telle que son carré fasse
2. Regarder un carré dont l’aire vaut 2 cm2. La longueur de son côté est solution de x2=2. (l’aire d’un
carré de côté x est x2). Mais on peut prouver que cette équation ne peut pas se résoudre avec des
fractions. On doit alors introduire un nouveau nombre, comme on a fait jusqu’à maintenant,
dont le carré vaut 2. En fait
2,
2 ≈ 1, 414... et le développement décimal ne s’arrête jamais. On
définit ainsi un nouvel ensemble de nombres, les réels, d’ensemble noté ℝ.
Les réels sont les nombres qui correspondent aux abscisses des points d’une droite munie d’un
origine et d’une unité de longueur.
Cet ensemble va nous être très utile en Mathématiques, car c’est l’ensemble naturel pour décrire la
géométrie, la physique, etc… Il contient toutes les fractions, mais aussi les racines carrées, cubiques,
et des nombres très particuliers comme π ≈ 3,14159... qui est important pour les cercles. Dans cet
ensemble, on peut résoudre plus d’équations.
Racines carrées : Ne confondez pas les racines carrées et les quotients !!
Par exemple 2x=3 a pour solution x =
3
, mais x2=3 a pour solution x =
2
3 (et une autre, c’est ce
qu’on va voir).
Les racines carrées ont été inventées pour résoudre les équations du type :
x2=A,
où A est un
nombre choisi. Résoudre une équation signifie chercher toutes ses solutions, c’est-à-dire les
nombres qui, lorsqu’on remplace x, font marcher l’égalité.
Par exemple, cherchons à résoudre x2=9. On voit que 3 est une solution car 3 × 3 = 32 = 9 . Mais il en
a une autre ! C’est -3 : ( −3) × ( −3) = 9 car les signe – se simplifient (avec la règle des signes). En fait
ce sont les seules solutions (pas si évident à prouver).
Autre chose, lorsque je mets un nombre au carré, s’il est positif, son carré est positif, et s’il est
négatif, les signes s’en vont, et le carré est encore positif. Du coup :
Un carré de nombre réel est toujours positif.
En conséquence, si je veux résoudre x2=-2, il n’y a pas de solution x, car pour tout nombre x, x2 est
positif.
Pour finir, il y a le cas spécial de zéro : x2=0 n’a qu’une solution, c’est x=0.
On peut déjà dire :
L’équation x2=A n’a pas de solution dans ℝ si A<0, et si A=0, la seule solution
est 0.
Puis, quand A>0, il y a deux solutions, et elles sont opposées : elles diffèrent juste par leur signe. On
définit alors A comme étant celle qui est positive, l’autre sera − A . (Et pas − A qui ne veut pas
du tout dire la même chose). Donc une racine carrée est toujours positive car on la choisit comme ça.
De plus, comme on fait cette définition pour A≥0 (en posant
0 = 0 ),
On ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre (strictement) négatif !!
Pour finir :
L’équation x2=A a deux solutions si A>0 : A et − A .
Rien n’interdit d’empiler les racines carrées : x2= 2 a pour solutions
2 et −
2.
On peut maintenant se poser la question des équations x2= -1, un négatif. Ne pourrait-on pas créer
des nouveaux nombres pour les résoudre ? La réponse est oui, ce sont les nombres complexes. Mais
c’est une autre histoire.
Je conclus ce cours avec les propriétés des racines carrées. On verra plus tard les puissances et les
calculs littéraux, équations et inéquations.
a × b = a × b quand a et b sont positifs
a
a
=
quand a et b sont strictement positifs
b
b
a+b ≠ a + b pas de formule
a-b ≠ a − b pas de formule
a n = ( a ) n quand a positif
Et surtout le plus important : a 2 = ( a )2 = a quand a est positif
Les racines carrées sont faites pour que la dernière propriété marche.
Attention ! a 2 n’est pas toujours égal à a !! Cela ne marche pas quand a est
négatif !! Et ( a )2 n’existe pas quand a est négatif (on prend la racine carrée
d’un négatif) !!
En fait quand a est négatif,
puis encore -).
a 2 = −a , c’est-à-dire que ça enlève le signe – (comme quand on fait –
Exemple :
Pour a = -3:
a 2 = (−3) 2 = 9 = 3 qui n'est pas -3
par contre : -a=-(-3)=3.
Donc a →
a 2 enlève le signe de a et met un + à la place.