Rappels sur les nombres et les calculs élémentaires

Rappels sur les nombres et les calculs élémentaires
I- Les entiers et l’addition des relatifs :
La première famille de nombres que vous avez rencontrée dans votre vie est celle des entiers
naturels : 0 ; 1 ;2 ;3 ;…. On note leur ensemble ℕ. C’est :   
   !  "  # !  $ 
%#&'(!! $)%#
*+,(!"""#
' On peut faire l’addition de nombres dans l’ordre qu’on veut : 5+8+26+9 = 8+9+26+5.
' Ce n’est pas vrai pour la soustraction.
' La multiplication peut aussi se faire dans l’ordre qu’on veut : 3×8×2×14=14×2×3×8.
' Ce n’est pas vrai non plus pour la division, ni pour les puissances (on étudiera plus en détails
la puissance plus tard).
' Addition et multiplication sont reliées comme il suit :
...
n fois
a a a a n a
+ + + + = ×
. On répète l’addition et cela donne la multiplication.
' De même, multiplication et puissance sont reliées :
...
n
n fois
a a a a a
× × × × =
. On répète la multiplication et cela donne la puissance.
Les deux définitions qui précèdent sont très importantes. Première erreur à éviter :
Ne pas croire qu’addition, multiplication et puissance sont la même chose.
' Une propriété importante : distributivité de la multiplication par rapport à l’addition :
( )
a b c a b a c
× + = × + ×
. On peut retrouver cette propriété en revenant à la définition de la
multiplication. On verra que l’on peut faire plein de choses avec cette propriété.
Exemple : en calcul mental. Faire 12×99 directement est difficile. Mais on peut faire :
12×(100-1) = 12×100-12×1=1200-12=1188 grâce à la distributivité.
Comme il est décevant de ne pas pouvoir toujours soustraire les nombres, ou ce qui revient
au même, de ne pas pouvoir résoudre des équations comme x+7 = 3 (il faudrait x = -4), les
mathématiciens ont inventé d’autres nombres, plus généraux, les entiers relatifs. Leur ensemble
est : ℤ={… ;-3 ;-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;…}. Il contient les entiers naturels. Les entiers relatifs représentent
par exemple le solde lors d’un échange de billes : si l’on donne trois billes, c’est -3 billes, si on en
reçoit cinq, c’est +5 billes.
Les mêmes opérations sont possibles qu’avec les entiers naturels, mais ici la soustraction existe
toujours. Par contre, la division et les puissances peuvent poser problème. Les propriétés restent
vraies (c’est très important).

Pour la multiplication, on a la règle des signes :
a↓ b→
+
-
+
+
-
-
-
+
Signe de a×b et de a/b
Addition et soustraction des relatifs :
Le gros avantage des relatifs est que d’une certaine manière, en introduisant la notion de signe d’un
nombre, on peut se passer de la soustraction. Ainsi :
« Soustraire un nombre a, c’est ajouter –a »
Attention ! Si a vaut 5, -a vaut -5. Et si a vaut -8, -a vaut 8 (les signes – se simplifient). Du coup –a
n’est pas toujours négatif !!! Il est négatif seulement quand a est positif !!
Avec la règle précédente et le fait qu’on peut additionner dans l’ordre qu’on veut, de nouvelles
choses sont possibles dans le calcul :
8-6+9-5+3+11-16-7 = 8+(-6)+9+(-5)+3+11+(-16)+(-7)=8+9+3+11+(-6)+(-5)+(-16)+(-7) =…(dans l’ordre
qu’on veut, à condition de garder les signes)
Par exemple : x-y = -y+x mais x-y≠y-x (on n’a pas gardé les signes).
Il est très important en calcul numérique ou littéral (avec des lettres) de savoir comment on peut
transformer l’expression sans changer sa valeur. C’est généralement ça qui pose problème aux
élèves.
Je mets des exercices sur WIMS pour travailler tout cela.
II- Les priorités des opérations:
En fait les opérations sont des objets qui « mangent » 2 nombres et qui en fabriquent un troisième.
Par exemple : 2+3 = 5 (remarque : « = » ne signifie pas « donne » mais « ça vaut pareil ». On peut
écrire 2×3 = 2+4 parce que à gauche et à droite ça vaut 6). Du coup, quand on écrit 2 + 3 + 5, on ne
sait pas s’il faut faire d’abord 2 + 3, puis le résultat plus cinq, ou 3+5, puis deux plus le résultat. Pour
faire la différence, on met des parenthèses : (2+3)+5 ou 2+(3+5). Mais comme on a vu, ici ce n’est pas
grave parce que le résultat final est le même. Du coup, on se donne le droit d’écrire 2+3+5. Ce n’est
qu’une notation. On a le même phénomène avec la multiplication, mais pas avec la soustraction, la
division et la puissance.
Exemple : a priori 2×3+5 n’a pas de sens car on pourrait faire (2×3)+5=11 ou 2×(3+5) = 16.
En conséquence, pour commencer, on doit faire très attention aux parenthèses. En fait on obtient
des arbres de calculs qui sont différents suivant les parenthèsages. Parfois, des arbres de calcul
donnent le même résultat, et c’est une propriété profonde des nombres, parfois pas du tout.
Exemple :

Mais comme on aimerait simplifier les notations des calculs, on se permet d’écrire des choses
comme 2×4+9×11-3×2
5+3×4
sans parenthèse, mais en se donnant des règles pour savoir où sont les
parenthèses « cachées ». Ce sont les règles de priorité dans les opérations.
Voici ces règles, de la priorité la plus grande à la plus petite :
1- Parenthèses, et parenthèses implicites (comme dans les quotients :
machin
truc
revient à
( )
( )
machin
truc
et les exposants : truc
machin
revient à truc
(machin)
).
2- Puissances : ab
c
revient à a(b
c
).

3- Multiplication, quotient et changement de signe, au même niveau car on peut les faire dans
l’ordre qu’on veut (en effet :
( )
( ) ( ) ( ) ...
ab b a b
a
c c c
×
− = − × = − =
. Mais a+b×c = a+(b- .) et
pas (a+b)×c).
4- Addition et « soustration »(c’est-à-dire addition de l’opposé (= le nombre avec son signe
changé)), au même niveau car on peut les faire dans l’ordre qu’on veut (déjà vu).
Du coup, lorsqu’on donne une expression, même si on peut croire qu’il manque des parenthèses,
avec ces règles, il y a un seul arbre de calcul, c’est-à-dire une seule façon de faire les calculs. Il n’y a
plus d’ambiguïté.
La règle la plus importante à mémoriser dans un premier temps, avant d’aller travailler avec les
puissances, c’est « La multiplication est prioritaire par rapport à l’addition ».
Retenir aussi qu’il vaut mieux mettre des parenthèses même si elles sont inutiles en fait avec les
priorités, plutôt que de laisser dans le vague et de se tromper.
Je mets là aussi des exercices sur WIMS.
A ce sujet, voici une petite catastrophe qu’un de mes collègues a trouvée dans une copie :
« Exemple dans une copie de Terminale que je viens de corriger:
/
01
2
3
4
1
5
6
4
/
7
89
:
;
<
-
=
9
>
7
<
.
Vous remarquerez que le calcul n'est pas acquis !! Les parenthèses sont aussi oubliées, tout comme
la priorité des opérateurs.
Il faut comprendre, Numérateur divisé par Dénominateur, il y a des parenthèses cachées.
?
& :
@
?&
A> @
Je calcule le numérateur, puis le dénominateur et ensuite, je fais le quotient pour trouver
11
5
−
. J'ai rajouté des parenthèses et ce n'est pas inutile pour comprendre. »
III- Fractions et quotients :
La notion de fraction est difficile et pose beaucoup de problèmes aux étudiants. Au départ, elle a été
introduite pour résoudre des équations qu’on ne savait pas résoudre dans ℤ, comme par exemple
3×x = 2. Il n’y a pas de solution entière. C’est un problème du type « on a 2 gâteaux et 3 convives.
Comment couper les gâteaux pour que chacun des convives en aient autant ? ». En fait on doit
donner deux tiers de gâteau à chaque participant : on coupe les gâteaux en trois, et on donne 2 parts
à chacun. Les fractions représentent donc des parts d’unités en on en prend un certain nombre.
nombre de parts
fraction =
en combien de parts on divise les unités

En fait, le trait au milieu de la fraction correspond aussi à la division. A partir de maintenant on
n’utilise plus le symbole de division mais seulement le trait de fraction qu’on appelle « quotient ».
C’est la même chose car si je multiplie
2
3
par 3, c’est que je prends trois fois 2 tiers, et ça revient à
prendre 2 unités pleines. Donc le quotient comme la division sont le contraire de la multiplication.
C’est donc bien la même chose.
Les fractions représentent donc un certain nombre de parts égales d’unités (de quelque chose qu’on
peut couper, comme des litres d’eau, ou des gâteaux, etc.)
L’ensemble des fractions d’entiers relatifs (fractions positives ou négatives) est noté :
ℚ
={….,-10;-8 ;-3/4 ;-8/3 ;0 ;1/2 ;3/4 ;8/7 ;9/10 ;52 ;….}.
Ses éléments sont appelés nombres rationnels.
Les entiers relatifs sont des fractions particulières : 3 =
3
1
(on coupe les unités en 1, c’est-à-dire on les
prend en entier), -8 =
8
1
−
, etc.
Les décimaux (nombres à virgules) sont aussi des fractions particulières, mais avec le nombre du bas
(appelé dénominateur) qui s’écrit comme 10 ; 100 ; 1000 ; 10000 ; …. Exemple :
86
0,086
1000
=
;
-75,98=
7598
100
−
.
Il y a quelque chose de remarquable avec les fractions : c’est la simplification. SI on divise les
unités en quatre parts égales, et qu’on en prend un nombre pair, par exemple 10, on a la même
quantité que lorsqu’on coupe en deux, et qu’on en prend 5.
10 5
4 2
=
Voici la règle qui exprime cela :
a b a
c b c
×
=
×
(quand b≠0, on va voir qu’il y a un problème dans ce cas).
Il faudra donc autant que possible écrire les fractions de manière simplifiée.
Puis, pour définir les opérations sur les fractions, on se débrouille pour qu’elles prolongent
les opérations classiques et qu’elles vérifient les bonnes propriétés du début.
Pour l’addition et la soustraction, il y a un problème, car lorsqu’on veut additionner des quarts et des
tiers, a priori on ne sait pas faire (ça serait comme additionner un nombre de carottes et un nombre
de navets). Il faut donc se ramener au même type de parts. Pour cela on coupe les quarts en trois