Applications sur le chapitre 1 méthode de Lagrange

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Applications sur le chapitre 1
La demande optimale
du consommateur
Exercice 1 : choix optimal par la
méthode de Lagrange
! Soit la fonction d’utilité suivante d’un
consommateur représentatif qui a le choix
entre deux catégories de biens X et Y.
4.05.0
),( yxyxU =
Question a
! Déterminer la fonction de demande du bien X
et du bien Y par la méthode de Lagrange.
4.05.0
),( yxyxU =
)(),,(
4.05.0
yx
ypxpRyxyxL !!+= ""
yx
yx
ypxpRcs
yxyxUMax
+=
=
.
),(
4.05.0
,

2
La méthode de Lagrange
! chercher les CPO
05,0)1(
4,05,0
=!=
#
#
!
x
pyx
x
L
"
04,0)2(
6,05,0
=!=
#
#
!
y
pyx
y
L
"
0)3( =!!=
#
#
yx
ypxpR
L
"
y
x
p
p
yx
yx =$
!
!
6,05,0
4,05,0
4,0
5,0
)4(
)(),,(
4.05.0
yx
ypxpRyxyxL !!+= ""
y
x
p
p
x
y
bis =!
4
5
)4(
y
x
p
p
xx
yy =$
5,05,0
6,04,0
4
5
y
x
p
p
x
y
bis =
4
5
)4
(
Reprenons les équations 4bis et 3.
0 )3(
=
!
!
yx
ypxpR
On en déduit :
0
5
4
)5( =!!
xx
xpxpR
0
4
5
)6( =!!
yy
ypypR
x
p
R
x9
5
=!
y
p
R
y9
4
=!
xy
xpyp =!
4
5
yx
ypxp =!
5
4
0
5
4
5
5
=!!!
xx
xpxpR
0
4
5
4
4
=!!!
yy
ypypR
Question b
! Calculer les élasticités de X et déterminer la
nature du bien X (bien typique ou atypique,
bien normal ou inférieur) et son type de relation
àY.
• x est un bien inférieur car ∂x/∂Px < 0
• X n'est pas un bien inférieur car ∂x/∂R > 0
• x et y sont des biens indépendants car ∂x/∂Py = 0

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Calculons l’élasticité-prix
x
p
R
x9
5
=!
x
p
p
x
x
x
px
x
#
#
=
/
%
1
9
5
!9
5
/
!=!=
x
x
x
px
p
R
p
p
R
x
%
Le bien X est iso-
élastique. C’est un
bien typique.
Calculons l’élasticité-revenu
x
R
R
x
Rx
#
#
=
/
%
x
p
R
x9
5
=!
1
9
5
9
5
/
==
x
x
Rx
p
R
R
p
%
Le bien X est
supérieur.
Calculons l’élasticité-prix croisée
x
p
R
x9
5
=!
0
/
=
#
#
=x
p
p
x
y
y
px
y
%
X et Y sont indépendants (non liés)
Une hausse du prix de 1% se traduit par une bais s e de
la demande de 1%.

4
Question et réponse c
! Q. Supposons que le consommateur ait un revenu de R = 4000
CHF et que les prix des biens X et Y soient de 40 CHF et 50
CHF. Déterminer la consommation optimale du consommateur.
! R. On remplace ces valeurs dans les fonctions de demande de
biens.
x
p
R
x9
5
=!
y
p
R
y9
4
=!
55,55
40
9
40005
*=
&
&
=!x
55,35
50
9
40004
*=
&
&
=!y
Question et réponse d
! Q : Le marché est composé de 50
consommateurs homogènes, quelle est la
demande globale du produit X ?
! R : d’après le cours, on sait que :
i
x
globale
x
qnQ .=
x
globale
x
p
R
Q9
5
50&=
Exercice 2
! Le marché du bien X est composé de deux
segments de clientèle différents :
– A (la clientèle des 20-35 ans)
– et B (la clientèle des plus de 35 ans).
! La clientèle du bien X est composée de 5000
personnes, 25% sont issus du segment A et
75% du segment B.

5
! Les comportements d’achat des agents
représentatifs des segments A et B peuvent
être saisis par les équations de demande
suivantes :
x
A
pq
x
5,010 !=
x
B
pq
x
3,015 !=
Question et réponse a
! Q : Déduisez-en la demande globale de chaque segment.
! R : Le marché est composé de 5000 personnes :
! Segment A : 25% de 5000 = 1250
! Segment B : 75% de 5000 = 3750
! D’où les demandes globales PAR SEGMENT
x
B
pq x3,015 !=
x
A
pq
x
5,010 !=
x
AA
x
pqQ
x
625125001250 !=&=
x
BB
x
pqQ x1125562503750 !=&=
Question et réponse b
! Quel est le prix maximum de vente sur chaque
segment ?
! On cherche le prix tel que les quantités s’annulent
:
20
062512500
=!
=!=
x
x
A
x
p
pQ
50
0112556250
=!
=!=
x
x
B
x
p
pQ
fonction de demande
du segment A
fonction de demande du
segment B
Plus grande sensibilité dans la classe A.
1250(10-0,5Px)
3750(15-0,3Px)