Applications sur le chapitre 1 méthode de Lagrange

Applications sur le chapitre 1
La demande optimale
du consommateur
Exercice 1 : choix optimal par la
méthode de Lagrange
!
Soit la fonction d’utilité suivante d’un
consommateur représentatif qui a le choix
entre deux catégories de biens X et Y.
U ( x, y ) = x 0.5 y 0.4
U ( x , y ) = x 0.5 y 0.4
Question a
!
Déterminer la fonction de demande du bien X
et du bien Y par la méthode de Lagrange.
Max U ( x, y ) = x 0.5 y 0.4
x, y
s.c R = xp x + yp y
L( x, y, " ) = x 0.5 y 0.4 + " ( R ! xp x ! yp y )
1
L( x, y, " ) = x 0.5 y 0.4 + " ( R ! xp x ! yp y )
La méthode de Lagrange
!
(1)
( 2)
chercher les CPO
$ ( 4)
#L
= 0,5 x !0, 5 y 0, 4 ! "p x = 0
#x
#L
= x 0,5 0,4 y !0 ,6 ! "p y = 0
#y
#L
(3)
= R ! xpx ! yp y = 0
#"
$
0,5 x !0 ,5 y 0, 4 p x
=
x 0,5 0,4 y !0 , 6 p y
5 y 0, 4 y 0 , 6 p x
=
4 x 0, 5 x 0 ,5 p y
! (4bis)
5 y px
=
4x py
Reprenons les équations 4bis et 3.
(4bis )
5 y px
=
4x py
!
5
yp y = xp x
4
!
4
xpx = yp y
5
• x est un bien inférieur car ∂x/∂Px < 0
• X n'est pas un bien inférieur car ∂x/∂R > 0
• x et y sont des biens indépendants car ∂x/∂Py = 0
(3) R ! xpx ! yp y = 0
On en déduit :
(5) R ! xp x !
(6) R ! yp y !
4
xp x = 0
5
5
yp y = 0
4
5
4
! R ! xp x ! xp x = 0
5
5
! R!
4
5
yp y ! yp y = 0
4
4
!x=
5R
9 px
!y=
4R
9 py
Question b
!
Calculer les élasticités de X et déterminer la
nature du bien X (bien typique ou atypique,
bien normal ou inférieur) et son type de relation
à Y.
2
!x=
5R
9 px
Calculons l’élasticité-prix
% x/ p =
x
#x p x
#p x x
% x/ p = !
x
Le bien X est isoélastique. C’est un
bien typique.
Une hausse du prix de 1% se traduit par une baisse de
la demande de 1%.
5R p x
= !1
9 px ! 5 R
9 px
!x=
5R
9 px
Calculons l’élasticité-revenu
#x R
#R x
5 R
=
=1
9 p x 5R
9 px
% x/ R =
% x/R
Le bien X est
supérieur.
!x=
5R
9 px
Calculons l’élasticité-prix croisée
% x/ p =
y
#x p y
=0
#p y x
X et Y sont indépendants (non liés)
3
Question et réponse c
!
!
Q. Supposons que le consommateur ait un revenu de R = 4000
CHF et que les prix des biens X et Y soient de 40 CHF et 50
CHF. Déterminer la consommation optimale du consommateur.
R. On remplace ces valeurs dans les fonctions de demande de
biens.
!x=
5R
9 px
! x* =
5 & 4000
= 55,55
9 & 40
!y=
4R
9 py
! y* =
4 & 4000
= 35,55
9 & 50
Question et réponse d
!
!
Q : Le marché est composé de 50
consommateurs homogènes, quelle est la
demande globale du produit X ?
R : d’après le cours, on sait que :
Qxglobale = n.q xi
Qxglobale = 50&
5R
9 px
Exercice 2
!
Le marché du bien X est composé de deux
segments de clientèle différents :
–
–
!
A (la clientèle des 20-35 ans)
et B (la clientèle des plus de 35 ans).
La clientèle du bien X est composée de 5000
personnes, 25% sont issus du segment A et
75% du segment B.
4
!
Les comportements d’achat des agents
représentatifs des segments A et B peuvent
être saisis par les équations de demande
suivantes :
q xA = 10 ! 0,5 p x
q Bx = 15 ! 0,3 p x
fonction de demande
du segment A
fonction de demande du
segment B
q xA = 10 ! 0,5 p x
q Bx = 15 ! 0,3 p x
Question et réponse a
!
Q : Déduisez-en la demande globale de chaque segment.
!
!
R : Le marché est composé de 5000 personnes :
Segment A : 25% de 5000 = 1250
Segment B : 75% de 5000 = 3750
!
D’où les demandes globales PAR SEGMENT
!
Plus grande sensibilité dans la classe A.
1250(10-0,5Px)
QxA = 1250 & q xA = 12500 ! 625 p x
QxB = 3750 & q Bx = 56250 ! 1125 p x
3750(15-0,3Px)
Question et réponse b
!
!
Quel est le prix maximum de vente sur chaque
segment ?
On cherche le prix tel que les quantités s’annulent
:
QxA = 12500 ! 625 p x = 0
! p x = 20
QxB = 56250 ! 1125 p x = 0
! p x = 50
5
QxA = 12500 ! 625 p x
QxB = 56250 ! 1125 p x
Question et réponse c
!
!
Q. Quelle est la demande globale du marché ?
R. Elle est définie « par morceaux »
si p x ' 50 ! Qxglobale = 0
si 20 ( p x < 50 ! Qxglobale = QxB = 56250 ! 1125 p x
si p x < 20 ! Qxglobale = QxA + QxB = 68750 ! 1750 p x
Représentation graphique
1/ On étudie la fonction de demande représentative de
chaque segment du marché.
Prix
QxB
50
2/ On étudie le poids (relatif) de chaque segment dans
le marché global.
Qxglobale
20
3/ (peut être interverti avec le 2)
On étudie les prix max d'achat (au-delà duquel on
n'achète plus). On étudie donc Pmax tel que Qs = 0.
QxA
12,5
56,25 68,75
Quantité (en
milliers)
4/ On définit la demande globale par morceau (de prix)
et les bornes de chaque morceau sont définis par les
prix max de chaque segment.
6