Travail et puissance d`une force Théorème de l`énergie cinétique

OS, 30 mars 2006 214
Travail et puissance d’une force
• Seule la composante de F tangente à la trajectoire (Ft) travaille;
la composante normale à la trajectoire (Fn) ne travaille pas
– Exemples: la force centripète du mouvement circulaire uniforme ne travaille pas, les
forces de liaisons (perpendiculaires au déplacement) ne travaillent pas
• Une force dont le point d’application est immobile ne travaille pas:
– Exemple: force de frottement sur un cylindre roulant sans glisser sur un plan incliné
• Le travail élémentaire W a le signe de la projection de F sur la direction de
mouvement:
– Exemple: le travail d’une force de frottement sec vaut W12 = –µcN (s2–s1) < 0
W
12 =W
1
2
=r
F dr r
1
2
=Fcos
Ft
1 2 3
ds
1
2
trajectoire
F
dr
Fn
Ft
...
1
2
= intégrale curviligne le long de la trajectoire
s = abscisse curviligne le long de la trajectoire
ds = dr r
Puissance instantanée d’une force:
P=W
dt =
r
F dr r
dt =
r
F r v
OS, 30 mars 2006 215
Théorème de l’énergie cinétique
• Pour un point matériel:
• Pour un système de points matériels:
– Attention: les forces internes interviennent, car elles peuvent travailler !
– Cas d’un solide indéformable S (avec A, B  S):
K2K1=W
12  dK
dt =P =
r
F r v
K2
tot K1 tot =W
12
tot, ext +W
12
tot, int  dKtot
dt =P
tot, ext +Ptot, int
dKtot
dt =
r
F
ext r
v
A+
r
M
A
ext r
Ptot, ext +Ptot, int =
r
F
Br
v
B
B
=
r
F
Br
v
A+r
 AB
()
B
=
r
F
Br
v
A+r
 ABr F
B
()
[]
B
=
r
F
B
B
r
v
A+r
 ABr F
B
B
Note : W(rotation) =
r
M
Od
r
Rappel : Ktot =1
2MvG
2+1
2
r
 ˜ I
Gr
()
(valable quelle que soit la nature des forces)

OS, 30 mars 2006 216
Voiture en accélération
• Travail et énergie cinétique:
–F
route ne travaille pas (roulement sans glissement)
– Aucune force extérieure ne travaille sauf Fair
– Le travail de Fair est négatif et cause une diminution d’énergie cinétique
– Mais l’énergie cinétique augmente …
 il y a des forces internes dont le travail est positif !
mr g +
r
N +
r
F
route +
r
F
air =m
r
a  N=mg
ma = Froute Fair
Froute
mg
Fair
N
a
Froute est responsable de l’accélération
mais pas du gain en énergie cinétique !
dK
voiture
dt =P
tot, ext
< 0
1 2 3 +P
tot, int
>0
• Forces extérieures s’exerçant sur la voiture:
– Poids mg
– Réaction du sol N
– Frottements de la route sur les roues Froute
– Frottement de l’air sur la carrosserie Fair
• 2ème loi de Newton:
démo: roulement à billes
OS, 30 mars 2006 217
Travail de la force de pesanteur
• Le travail ne dépend que des coordonnées z des points  et ;
il ne dépend pas de la trajectoire suivie entre ces deux points
• Le travail de la force de pesanteur est nul le long d’une
trajectoire fermée quelconque:
• On écrit:
W12 =
r
F dr r
1
2
=mg ˆ
e
zdr
r
1
2
=mg dz
1
2
=mg z2z1
()
=mgz
1mgz2
W121=m
r
g dr r
1
2
+m
r
g dr r
2
1
=W
12 +W 21 =0
mr g dr r
=0
(ou d’une force constante)
dr
trajectoire A
x
z
Oy
F=mg
trajectoire B
m

OS, 30 mars 2006 218
Travail de la force de rappel d’un ressort
• Le travail ne dépend que des
points de départ et d’arrivée
W
12 =
r
F dr r
1
2
=kx dx
1
2
=1
2kx2
[]
1
2
=1
2kx1
21
2kx2
2
r
F dr r =0
m
k
x
O
F=–kx
Travail de la force de gravitation
W
12
=r F dr r
1
2
=GmM
r
2
ˆ e
r
dr r
dr
1 2
3
1
2
=GmM
r
[]
1
2
=GmM
r
1
+GmM
r
2
Terre
dr
trajectoire
F
r
M
m
OS, 30 mars 2006 219
Forces conservatives
• Force conservative:
– force F(r) dont le travail ne dépend que des points de départ et d’arrivée
(quels que soient ces points), et non de la trajectoire entre les deux
• Propriétés:
Notions d'analyse vectorielle :
Nabla : "
r
 =
/x
/y
/z
"
Gradient : grad V(r
r ) =
r
 V(r r )
Rotationnel : rot
r
F (r r ) =
r
 r F (r r )
La force
r
F =
r
F (r r ) est conservative
r
F dr r
=0,  courbe fermée
 une fonction V(r r ) telle que
r
F dr r
1
2
=V(r
r
2
)V(r r
1
)
[]
, r r
1
,r r
2
 une fonction V(r r ) (potentiel)
telle que
r
F (r r ) = 
r
 V(r r ), r r
Le champ de force
r
F est irrotationnel
c'est - à - dire
r r
F (r r ) = 0, r r
c
c
c
c
On dit que la force F
dérive du potentiel V
Abus de langage:
«potentiel» = énergie potentielle

OS, 30 mars 2006 220
Energie potentielle
• L’énergie potentielle est définie à une constante arbitraire près
• Elle représente le travail que la force doit fournir pour amener le point
matériel à une position de référence arbitraire:
potentiel dont une force conservative dérive
=
énergie potentielle du point matériel soumis à cette force
Exemple de force : Energie potentielle associée :
R essort : F = kx V = 1
2kx2+C
Pesanteur :
r
F = mr g V = mgz + C
Gravitation :
r
F = GMm/r2
()
ˆ
e
rV=GMm/r +C
Centrale :
r
F = F(r) ˆ e
rV=F(r')dr'
0
r
+C
Frottement :
r
F = f(v) ˆ v aucune (force non conservative)
V=
r
F dr r
position du point matériel
position de référence
OS, 30 mars 2006 221
Théorème de l’énergie
• Point matériel soumis à:
• Energie mécanique:
• Entre les points 1 et 2, on a:
– si seules des forces conservatives travaillent:
 des forces conservatives
r
F
k=grad Vk(r
r )
 des forces non conservatives de résultante
r
F
NC
E(r r ,r v ) = K(r v ) +V(r r ) =
1
2
mr v
2
+V
k
(r r )
k
K2K1=W
12 =V(
r
r
1)V(r
r
2)+W 12
NC
 E 2E1=W
12
NC  dE
dt =P
NC =
r
F
NC r
v
Théorème de
l’énergie
E = constante
Conservation de
l’énergie mécanique
La variation (dérivée) de l’énergie mécanique est égale
au travail (à la puissance) des forces non-conservatives
démo: bille dans saladier

OS, 30 mars 2006 222
Cylindre oscillant sur plan incliné
• Connus:
– Masse m du cylindre
– Rayon R du cylindre
– Constante k du ressort
– Coefficient de frottement µc
– Angle  (tg  > µs)
– Fil et poulie sans masses
• Conditions initiales (t=0):
– x=0, v=0
– Fil tendu et T’=0
• Question:
– Pourquoi le cylindre finit-il
par s’arrêter définitivement ?
démo
mg
N
Ffrot
T
xressort fixé
T’
v
E=1
2mv2+1 2I2+mg(x sin)+1 2kx2
xf= position finale (équilibre)
kxf= mg sin  xf= (mg/k) sin
E=E
fEt=0 =mg(xf sin)+1
2kxf
2
()
0
=1
2kxf
2
= travail des forces non conservatives
(frottements sur l’axe du cylindre
et de la poulie, amortissement du
ressort, …)
OS, 30 mars 2006 223
Yoyo
• Equations du mouvement:
• Conditions initiales (à t=0):
• Solution:
démo
K*=1
2IG2=1 2
1
2mR2
()
(v/R)2=1
4mvG
2
K=1
2mvG
2+K*=3
4mvG
2
E=3
4mvG
2mgz = E0=0  vG=4
3gz
v
G
=a
G
t
z=
1
2
a
G
t
2
  v
G
=2a
G
z = 4
3gz
r
M
G
=d
r
L
G
/dt  RF = I
G
˙
 =
1
2
mR
2
(a
G
/R)
 F =
1
2
ma
G
mr g +
r
F = mr a
G
 F = mg ma
G
 a
G
=2
3g
v
G
= 0 et z = 0
• Le poids est conservatif et F ne travaille pas
 le problème peut être résolu par la conservation de l’énergie:
Au tableau
A
mg
F
vG
fil
z
G
R