Travail et puissance d’une force W12 = 2 1 • 2 1 W = 2 1 r r F dr = 2 1 Fn F 1cos 23 ds Ft ... = intégrale curviligne le long de la trajectoire s = abscisse curviligne le long de la trajectoire r ds = d r F Ft dr trajectoire Seule la composante de F tangente à la trajectoire (Ft) travaille; la composante normale à la trajectoire (Fn) ne travaille pas – Exemples: la force centripète du mouvement circulaire uniforme ne travaille pas, les forces de liaisons (perpendiculaires au déplacement) ne travaillent pas • Une force dont le point d’application est immobile ne travaille pas: – Exemple: force de frottement sur un cylindre roulant sans glisser sur un plan incliné • Le travail élémentaire W a le signe de la projection de F sur la direction de mouvement: – Exemple: le travail d’une force de frottement sec vaut W12 = –µcN (s2–s1) < 0 r r r r Puissance instantanée d’une force: P = W = F d r = F v dt dt OS, 30 mars 2006 214 Théorème de l’énergie cinétique (valable quelle que soit la nature des forces) • Pour un point matériel: r r K 2 K1 = W12 dK = P = F v dt • Pour un système de points matériels: tot tot, ext tot, int dK tot = P tot, ext + P tot, int K tot K = W + W 2 1 12 12 dt – Attention: les forces internes interviennent, car elles peuvent travailler ! – Cas d’un solide indéformable S (avec A, B S): r r r r r P tot, ext + P tot, int = FB v B = FB ( v A + AB) B B r r r r r r r r = FB v A + ( AB FB ) = FB v A + AB FB B [ r ext r dK tot = Fr ext vr + M A A dt OS, 30 mars 2006 ] B B r r Note : W(rotation) = M O d r r Rappel : K tot = 12 Mv 2G + 12 ( ˜IG ) 215 démo: roulement à billes Voiture en accélération N • Forces extérieures s’exerçant sur la voiture: – Poids mg Fair a – Réaction du sol N – Frottements de la route sur les roues Froute – Frottement de l’air sur la carrosserie Fair Froute • 2ème loir derNewton: r N = mg r r mg + N + Froute + Fair = ma ma = Froute Fair • Travail et énergie cinétique: – – – – mg Froute est responsable de l’accélération mais pas du gain en énergie cinétique ! Froute ne travaille pas (roulement sans glissement) Aucune force extérieure ne travaille sauf Fair Le travail de Fair est négatif et cause une diminution d’énergie cinétique Mais l’énergie cinétique augmente … il y a des forces internes dont le travail est positif ! dK voiture = P tot, ext + P tot, int > 0 dt 123 <0 OS, 30 mars 2006 216 Travail de la force de pesanteur (ou d’une force constante) W12 = 2 1 r r F dr = 2 1 r mg eˆ z d r trajectoire B dr 2 = mg dz = mg(z 2 z1 ) 1 z = mgz1 mgz 2 x O m trajectoire A F=mg y • Le travail ne dépend que des coordonnées z des points et ; il ne dépend pas de la trajectoire suivie entre ces deux points • Le travail de la force de pesanteur est nul le long d’une trajectoire fermée quelconque: 2 1 r r r r W121 = mg d r + mg d r = W12 + W21 = 0 1 2 r r • On écrit: mg d r = 0 OS, 30 mars 2006 217 Travail de la force de rappel d’un ressort 2 = [ W12 = 1 r r F dr = 1 2 2 1 F=–kx m k kx dx x 2 kx 2 ]1 = 12 kx12 12 kx 22 O Travail de la force de gravitation W12 = 2 1 [ r r F dr = = GmM r ] 2 1 r eˆ r d r 1 GmM 2 123 r dr = GmM + GmM r1 r2 2 • Le travail ne dépend que des points de départ et d’arrivée Terre M F r dr m trajectoire r r F dr = 0 OS, 30 mars 2006 218 Forces conservatives • Force conservative: – force F(r) dont le travail ne dépend que des points de départ et d’arrivée (quels que soient ces points), et non de la trajectoire entre les deux • Propriétés: c c c c r r r La force F = F( r ) est conservative r r F d r = 0, courbe fermée r une fonction V( r ) telle que 2r r r r r r 1 F d r = [V( r2 ) V( r1 )], r1 , r2 r une fonction V( rr) (potentiel) r r r r telle que F( r ) = V( r ), r r Le champ de force F r restr irrotationnel r c'est - à - dire F( r ) = 0, r OS, 30 mars 2006 On dit que la force F dérive du potentiel V Abus de langage: «potentiel» = énergie potentielle Notions d'analyse vectorielle : /x r Nabla : " = /y " /zr r r r) Gradient : gradr V( r ) =r V( r r r Rotationnel : rot F( r ) = F( r ) 219 Energie potentielle potentiel dont une force conservative dérive = énergie potentielle du point matériel soumis à cette force • • L’énergie potentielle est définie à une constante arbitraire près Elle représente le travail que la force doit fournir pour amener le point position de référence matériel à une position de référence arbitraire: V= position du point matériel r r F dr Exemple de force : Energie potentielle associée : R essort : Pesanteur : Gravitation : V = 12 kx 2 + C V = mgz + C V = GMm/r + C F = kx r r F = mg r F = (GMm/r 2 ) eˆ r r Centrale : F = F(r) eˆ r r Frottement : F = f(v) vˆ r V = F(r')dr' + C 0 aucune (force non conservative) OS, 30 mars 2006 220 démo: bille dans saladier Théorème de l’énergie • Point matériel soumis à: r r des forces conservatives Fk = grad Vk ( r ) r des forces non conservatives de résultante F NC • Energie mécanique: rr r r r r E( r , v) = K(v) + V( r ) = 12 mv 2 + Vk ( r ) k • Entre les points 1 et 2, on a: r r K 2 K1 = W12 = V( r1 ) V( r2 ) + W12NC NC 12 E 2 E1 = W r NC r NC dE =P =F v dt Théorème de l’énergie La variation (dérivée) de l’énergie mécanique est égale au travail (à la puissance) des forces non-conservatives – si seules des forces conservatives travaillent: E = constante OS, 30 mars 2006 Conservation de l’énergie mécanique 221 démo Cylindre oscillant sur plan incliné • Connus: – – – – – – N Masse m du cylindre Rayon R du cylindre Constante k du ressort Coefficient de frottement µc Angle (tg > µs) x Fil et poulie sans masses • Conditions initiales (t=0): • Question: – Pourquoi le cylindre finit-il par s’arrêter définitivement ? T’ v Ffrot E xf kx f E – x=0, v=0 – Fil tendu et T’=0 T mg ressort fixé = 12 mv 2 + 12 I 2 + mg(x sin) + 12 kx 2 = position finale (équilibre) = mg sin x f = (mg/k) sin = E f E t =0 = (mg(x f sin) + 12 kx 2f ) 0 = 12 kx 2f = travail des forces non conservatives (frottements sur l’axe du cylindre et de la poulie, amortissement du ressort, …) OS, 30 mars 2006 222 Au tableau démo Yoyo fil G R z • Conditions initiales (à t=0): v G = 0 et z = 0 vG mg • Equations du mouvement: r r M G = dL G /dt RF = I G ˙ = 12 mR 2 (a G /R) F F = 12 ma G 2g r = a r r G A 3 mg + F = ma G F = mg ma G v = a t • Solution: G 1 G 2 v G = 2a Gz = 4 gz 3 z = 2 a Gt • Le poids est conservatif et F ne travaille pas le problème peut être résolu par la conservation de l’énergie: K* = 12 I G 2 = 12 ( 12 mR 2 )(v /R) 2 = 14 mv 2G K = 12 mv 2G + K* = 43 mv 2G E = 43 mv 2G mgz = E 0 = 0 v G = 4 gz 3 OS, 30 mars 2006 223