Travail et puissance d`une force

OS, 30 mars 2006 214
Travail et puissance d’une force
• Seule la composante de F tangente à la trajectoire (Ft) travaille;
la composante normale à la trajectoire (Fn) ne travaille pas
– Exemples: la force centripète du mouvement circulaire uniforme ne travaille pas, les
forces de liaisons (perpendiculaires au déplacement) ne travaillent pas
• Une force dont le point d’application est immobile ne travaille pas:
– Exemple: force de frottement sur un cylindre roulant sans glisser sur un plan incliné
• Le travail élémentaire W a le signe de la projection de F sur la direction de
mouvement:
– Exemple: le travail d’une force de frottement sec vaut W12 = –µcN (s2–s1) < 0
W
12 =W
1
2
=r
F dr r
1
2
=Fcos
Ft
1 2 3
ds
1
2
trajectoire
F
dr
Fn
Ft
...
1
2
= intégrale curviligne le long de la trajectoire
s = abscisse curviligne le long de la trajectoire
ds = dr r
Puissance instantanée d’une force:
P=W
dt =
r
F dr r
dt =
r
F r v

OS, 30 mars 2006 215
Théorème de l’énergie cinétique
• Pour un point matériel:
• Pour un système de points matériels:
– Attention: les forces internes interviennent, car elles peuvent travailler !
– Cas d’un solide indéformable S (avec A, B  S):
K2K1=W
12  dK
dt =P =
r
F r v
K2
tot K1 tot =W
12
tot, ext +W
12
tot, int  dKtot
dt =P
tot, ext +Ptot, int
dKtot
dt =
r
F
ext r
v
A+
r
M
A
ext r
Ptot, ext +Ptot, int =
r
F
Br
v
B
B
=
r
F
Br
v
A+r
 AB
()
B
=
r
F
Br
v
A+r
 ABr F
B
()
[]
B
=
r
F
B
B
r
v
A+r
 ABr F
B
B
Note : W(rotation) =
r
M
Od
r
Rappel : Ktot =1
2MvG
2+1
2
r
 ˜ I
Gr
()
(valable quelle que soit la nature des forces)

OS, 30 mars 2006 216
Voiture en accélération
• Travail et énergie cinétique:
–F
route ne travaille pas (roulement sans glissement)
– Aucune force extérieure ne travaille sauf Fair
– Le travail de Fair est négatif et cause une diminution d’énergie cinétique
– Mais l’énergie cinétique augmente …
 il y a des forces internes dont le travail est positif !
mr g +
r
N +
r
F
route +
r
F
air =m
r
a  N=mg
ma = Froute Fair
Froute
mg
Fair
N
a
Froute est responsable de l’accélération
mais pas du gain en énergie cinétique !
dKvoiture
dt =P
tot, ext
< 0
1 2 3 +Ptot, int >0
• Forces extérieures s’exerçant sur la voiture:
– Poids mg
– Réaction du sol N
– Frottements de la route sur les roues Froute
– Frottement de l’air sur la carrosserie Fair
• 2ème loi de Newton:
démo: roulement à billes

OS, 30 mars 2006 217
Travail de la force de pesanteur
• Le travail ne dépend que des coordonnées z des points  et ;
il ne dépend pas de la trajectoire suivie entre ces deux points
• Le travail de la force de pesanteur est nul le long d’une
trajectoire fermée quelconque:
• On écrit:
W12 =
r
F dr r
1
2
=mg ˆ
e
zdr
r
1
2
=mg dz
1
2
=mg z2z1
()
=mgz
1mgz2
W121=m
r
g dr r
1
2
+m
r
g dr r
2
1
=W
12 +W 21 =0
mr g dr r
=0
(ou d’une force constante)
dr
trajectoire A
x
z
Oy
F=mg
trajectoire B
m

OS, 30 mars 2006 218
Travail de la force de rappel d’un ressort
• Le travail ne dépend que des
points de départ et d’arrivée
W
12 =
r
F dr r
1
2
=kx dx
1
2
=1
2kx2
[]
1
2
=1
2kx1
21
2kx2
2
r
F dr r
=0
m
k
x
O
F=–kx
Travail de la force de gravitation
W
12 =r
F dr r
1
2
=GmM
r2 ˆ
e
rdr
r
dr
1 2
3
1
2
=GmM
r
[]
1
2
=GmM
r
1
+GmM
r2
Terre
dr
trajectoire
F
r
M
m