Oraux : mécanique du point.

Oraux : mécanique du point.
Extraits de rapports de jury :
-
-
-
-
-
-
-
La relation fondamentale de la dynamique est correctement maîtrisée, ce qui n’est pas toujours le cas
du théorème du moment cinétique (le moment cinétique du solide est trop souvent confondu avec son
énergie cinétique ou avec le moment cinétique d’une masse ponctuelle). Le calcul du moment des
actions pose problème et l’identification du « bras de levier » est souvent maladroite. Les candidats
confondent intégrale première et équation du mouvement et ne font pas la différence entre poids et
force de gravitation. Les bilans de force sont souvent incomplets : les forces de contact, les réactions
d’axe sont oubliées. Il est dans les capacités exigibles d’établir le caractère périodique d’un
mouvement par la méthode énergétique.
Pour la détermination de la force d’inertie d’entraînement, on peut regretter des développements
calculatoires donnant souvent des erreurs de signe, que le candidat a vraiment du mal à rectifier par
des considérations qualitatives (aspect centrifuge de la force d’inertie). L’accélération de Coriolis,
quant à elle, est totalement oubliée.
Les candidats ont beaucoup de difficulté à écrire la relation de rappel d'un ressort. L'expression de
l'énergie potentielle du poids est souvent fausse : signe, problème d'orientation des axes.
Régulièrement, la force d'interaction gravitationnelle est rajoutée au poids.
On ne peut appliquer un théorème mécanique ou thermodynamique sans définir le système auquel on
l’applique
Les candidats sont trop souvent bloqués par des problèmes de géométrie, tels que la projection des
vecteurs. Ils devraient faire systématiquement des schémas « propres » qui les aideraient dans leurs
résolutions.
Une erreur fréquente est revenue : comme r=cst pour un mouvement circulaire, l’accélération est
nulle.
Le théorème de l’énergie cinétique ne fait pas partie des classiques, alors qu’il a été vu en terminale.
dès que l’on aborde les référentiels non galiléens, c’est la panique. Les forces d’inertie sont peu
connues (elles sont parfois introduites dans un référentiel galiléen), et il est impossible d’avoir une
expression correcte de l’accélération d’entraînement que ce soit par dérivation vectorielle ou par le
point coïncidant.
Forces d’inertie : elles sont de temps en temps introduites en référentiel galiléen : le bilan des forces
étant souvent incomplet, les candidats rajoutent les forces d'inertie, au cas où….
Les exercices avec les satellites sont aussi mal maitrisés (des souvenirs très lointains) et la relation
entre la constante des Aires et la loi des Aires n’est pas claire. Le calcul de l’aire balayée n’est pas
connu.
Pour les satellites, l’approche énergétique est oubliée par beaucoup de candidats et les notions d’états
liés ou de diffusion à partir de l’énergie potentielle effective sont confuses.
La question « proposer deux constantes du mouvement » ne consiste jamais à deviner une relation
inédite mais presque toujours à rechercher une propriété énergétique et une autre associée à une
composante du moment cinétique ; le jury est toujours surpris de voir des candidats qui n’ont même
pas essayé de se ramener à ces deux éléments classiques.
Exercice 1 – Mesure de la viscosité cinématique (ouvert)
On dispose d’un ressort, d’une masse métallique m sphérique de rayon a et de masse volumique µ.
On donne la force de trainée de Stokes de norme 6.a..vz où  est la viscosité cinématique d’un
fluide.
1. Proposer une méthode expérimentale de mesure de la masse volumique
2. Faire de même pour mesurer la viscosité cinématique.
Exercice 2 – Mouvement à force centrale
On étudie le transfert d’une sonde de l’orbite terrestre à celle de la planète Mars que l’on
approximera à des cercles de rayons r1 et r2 avec r2 =1,5 r1 et r1 =1,5.108 km.
1
Oraux : mécanique du point.
1. Démontrer les caractéristiques d’un mouvement à force centrale.
2. Faire un schéma du transfert. En déduire sa durée.
3. Calculer la vitesse v1 de la sonde sur l’orbite terrestre. Doit-on accélérer la sonde ou la
décélérer afin de la faire passer sur l’orbite de transfert ? En supposant que la variation de
vitesse est rapide, calculer-la.
4. Calculer la vitesse de la sonde lorsqu’elle atteint l’orbite de Mars. Conclure
5. Exprimer l’énergie potentielle effective et faire le lien entre la valeur de l’énergie
mécanique et la nature du mouvement
Exercice 3 : frottement solide, mécanique du solide : déménagement d’un meuble
1.
Enoncer les lois de Coulomb pour le frottement solide.
On place une armoire en bois de hauteur h = 2 m, de profondeur e = 0,5 m, de largeur l = 1,2 m, de
masse m = 70 kg en dans un camion de déménagement. (cf schéma : le fond de l’armoire contre
l’arrière de la cabine). Le centre d’inertie de l’armoire sera pris à mi-hauteur. Le coefficient de
frottement statique du bois sur le sol sera pris à µs = 0,2.
2. Calculer l’accélération maximale du camion compatible avec un non glissement de
l’armoire.
3. Que passe-t-il dans le cas du glissement ?
4. On revient dans le 1er cas. Calculer l’accélération maximale compatible avec un non
basculement de l’armoire. Conclusion.
5. Que pensez-vous du choix du chauffeur quant au positionnement de l’armoire dans le
camion.
Exercice 4 : Equilibre et stabilité : double puits de potentiel de la molécule d’ammoniac
Dans un modèle simplifié et classique de la molécule d’ammoniac NH3, les trois atomes
d’hydrogène H forment la base d’une pyramide dont l’azote N de masse m occupe le sommet.
Les trois atomes d’hydrogène sont supposés fixes dans le référentiel du laboratoire supposé
galiléen et définissent le plan (Oxy)
L’atome d’azote est en mouvement suivant l’axe Oz perpendiculaire au plan des atomes
d’hydrogène. Il peut passer de part et d’autre de ce plan et sa côte est notée z.
2
Oraux : mécanique du point.
Le champ de pesanteur est négligeable pour décrire la structure moléculaire et la résultante des
forces électromagnétiques qui s’exerce sur l’atome d’azote N supposé ponctuel peut être modélisé
par un potentiel Ep(z)  ¼..z2(z2-2a2) avec a et  deux constantes positives.
1) En déduire les mouvements possibles de la molécule en fonction de l’énergie mécanique de
celle-ci.
2) Trouver les positions d’équilibres et étudier leur stabilité
3) Dans le cas de mouvement de faible amplitude autour d’une des positions d’équilibre
stables, calculer la fréquence de vibration de l’atome d’azote.
Exercice 6– référentiels non galiléen : perle sur un anneau
Une perle quasi ponctuelle M de masse (m) est susceptible de coulisser sans frottements sur un
cerceau de rayon R. On met le cerceau en rotation autour de axe fixe  à la vitesse angulaire  telle
que 2 > g/R. On cherche à trouver les positions d’équilibres possibles et d’étudier leur stabilité.
On se placera dans le référentiel tournant lié au cerceau (O, x , y, z)
z
e
y
O
H
M
er
1) Etablir l’équation différentielle portant sur (t)
2) En déduire la ou les position(s) d’équilibre(s) possible(s).
3) On souhaite faire une approche énergétique de ce problème. A quelle(s) force(s) peut-on
associer une énergie potentielle ?
4) Tracer l’allure du profil d’énergie potentielle ; déduire de cette nouvelle approche les
positions d’équilibres et leurs stabilités relatives.
Exercice 7 : Transitoire du second ordre et régime forcé : amortisseur de voiture.
On réalise un amortisseur de voiture de la façon suivante : un ressort de raideur k (longueur à vide
L0) et un amortisseur (par frottement fluide) de coefficient de frottement fluide a.
Cet amortisseur supporte un quart de la masse M d’une voiture. Les
roues on pour rayon R
On repère par z(t) la position du châssis de la voiture.
1.
Quelle est la longueur L et la position z0 du châssis si la
voiture et au repos ?
2. On écarte (en appuyant sur la voiture) le châssis de sa
position d’équilibre. Quelle est l’équation différentielle du
3
Oraux : mécanique du point.
mouvement vérifiée par Z(t) où Z(t) représente la côte du châssis par rapport à sa côte à
l’équilibre.
3. On usine l’amortisseur de façon à fixer une valeur de a rendant l’amortissement le plus
efficace possible. Quelle valeur de a doit-on fixer en fonction de M et k ?
La voiture roule sur une route ondulée. L’amplitude des ondulations est noté A et elles se
répètent dans le temps à la pulsation ω
4. Etablir l’équation différentielle portant sur Z(t) et en déduire la fonction de transfert H =
Z/A
Exercice 8 – Poussée d’Archimède, frottements : ascension d’une bulle de champagne
On envisage une bulle de champagne unique (constituée de dioxyde de carbone), sphérique, de
rayon variable a(t).
On suppose tout d’abord que a(t) est une constante au cours de l’ascension. On modélise les
actions du champagne liquide, de masse volumique  = 1.0.103 kg.m-3, par la poussée d’Archimède et
une force de trainée de Stokes de norme 6.a..vz où  = 1.0.10-3 Pl est la viscosité cinématique du
champagne et vz la composante positive de la vitesse selon l’axe Oz.
Faire un bilan des forces s’appliquant sur la bulle et les exprimer en fonction des données du
problème.
z
1. Sachant que la masse volumique du CO2 vaut 1 = 1.3 g.L1
, comparer les normes du poids et de la poussée
v
d’Archimède. Quelle approximation peut-on faire ?
z (t) 2. En déduire l’équation différentielle vérifiée par v(t).
v
3. La résoudre en supposant que la vitesse initiale est nulle
à t = 0. Vers quelle vitesse limite vlim tend la vitesse de la
ez
z = 0 à t = 0 bulle ? En quelle durée approximative est-elle atteinte ?
Applications numériques pour a = 0,1 mm.
En réalité la rayon de la bulle varie au cours de
l’ascension(elle se charge en CO2). On admet que
l’expression de a(t) est donnée par a(t) =
a 0  2kt où k
2
= 4.10-9 m2.s-1. et a0 = 10-6 m la dimension initiale de la
bulle.
4. Quelle durée est nécessaire pour que la bulle passe du rayon initial a0 au rayon a1 = 0,1 mm
évoqué à la question 4 ? Quelle approximation peut-on faire ?
5. En déduire la vitesse d’ascension de la bulle v(t).
6. Evaluer numériquement la durée de son ascension dans une flûte de hauteur H = 8 cm.
Exercice 9 : 2 ressorts
La masse m est maintenant reliée à 2 ressorts identiques placés verticalement. L’idée est ici de
modéliser les déformations transversales d’un système mécanique. Les extrémités des ressorts sont
distantes de 2a. Chaque ressort possède une longueur à vide l0 < a et une raideur k. On néglige la
hauteur occupé par la masse.
z
1. Calculer à l’équilibre les longueurs l1 et l2 des ressorts.
Montrer que si mg<<2.k.a, on peut prendre l1 =l2.
Dans la suite on garde cette hypothèse.
La masse m peut se déplacer horizontalement de x à
l1
partir de sa position d’équilibre.
m
x
2. Exprimer l’équation différentielle vérifiée par x(t).
3. En supposant que x << a, que peut-on en conclure sur
l’oscillateur obtenu ? En déduire la période T des
oscillations en fonction des données.
2a
l2
4