LEÇON N˚ 10 : Division euclidienne dans Z

LEÇON N˚ 10 :
Division euclidienne dans Z, unicité du
quotient et du reste. Applications. L’exposé
pourra être illustré par un ou des exemples
faisant appel à l’utilisation d’une
calculatrice.
Pré-requis :
–Zest bien ordonné et archimédien;
–Toute partie non vide et minorée (respectivement majorée) de Zpossède un plus petit (repectivement
grand) élément;
–Notions de groupes, sous-groupes (les sous-groupes de Zsont les nZ);
–bdivise a(a, b ∈Z) s’il existe ctel que a=bc (on note b|a).
10.1 Division euclidienne dans Z
Théorème 1 (fondamental) : Soient (a, b)∈Z×Z∗. Il existe un unique couple (q, r)∈Z2tel que
a=bq +r,
avec 06r < |b|.
démonstration :
Unicité : Si a=bq +r=bq′+r′, alors b(q−q′) = r′−r⇒ |b| |q′−q|=|r′−r|<|b| ⇒ 06
|q−q′|<1⇒q=q′car q, q′∈Zet par suite, r=r′.
Existence : Supposons b > 0. Soit A={n∈Z|nb 6a}.An’est pas vide (en effet, si a60,0∈A
et si a < 0, alors a∈A), et majoré par max(0, a)(car n6a/b 61
bmax(0, a)6max(0, a)),
donc Aadmet un plus grand élément que l’on note qA. Soit r=a−qAb.qA∈Ace qui implique
que qAb6a, d’où r>0et qA+ 1 n’appartient pas à A. On en déduit que (qA+ 1)b > a ⇔
qAb+b > a ⇔b > a −qAb⇔r < b =|b|, donc 06r < |b|et l’on a bien a=qAb+r. Si
b>0, partir de (a, −b).
Ainsi s’achève la démonstration. 
Définition 1 : Déterminer qet r, c’est effectuer la division euclidienne de apar b. Dans cette division,
a,b,qet rsont respectivement appelés dividende,diviseur,quotient et reste.

2Division euclidienne, unicité du quotient et du reste
Remarques 1 :
1. Si r= 0, alors bdivise a.
2. bq n’est pas nécessairement le multiple de ble plus proche de a.
Exemple :14 = 2 ×5 + 4 (a= 14,b= 5). Or 15 est un multiple de bplus proche de aque 2b= 10.
Corollaire 1 : Soit (a, b)∈N×N∗. Il existe un unique couple (q, r)∈N2tel que a=bq +r, avec
r < b.
démonstration :Si a < b,q= 0. Sinon, a−r=bq > 0, donc q∈N.
Descente de Fermat
0ba
u0v0
u1v1
u2v2
··· ···
֒→ ←֓
֒→ ←֓
֒→ ←֓
տ=v0−1×b
(un, vn) = (q, r), où vnest le premier des viconstruits tels que vn< b. L’algorithme se termine car
vn=a−nb ⇔a6(n+ 1)b, et Zest archimédien (donc ∀a, b ∈N,∃c∈N|cb >a).
10.2 Sous-groupes de Zet algorithme d’Euclide
Théorème 2 : Pour tout sous-groupe Gde Z, il existe un unique a∈Ntel que G=aZ.
démonstration :Supposons G6={0}. Soit P=G∩N∗.Ppossède un plus petit élément a > 0. Par
récurrence, aZ⊂G. Soit alors b∈G. Par division euclidienne, b=aq +ravec 06r < a.Gétant
un groupe, r=b−aq ∈G, et donc r∈P∪ {0}car r>0. Mais par définition de a, et comme r < a,
rne peut appartenir à P, donc r= 0 et par suite, b=aq. Il vient que G⊂aZ.
Proposition 1 : Soit (a, b)∈Z2.Gab =aZ+bZ={au +bv |(u, v)∈Z2}est un sous-groupe
de Zet il existe un unique d∈Ntel que Gab =dZ.
démonstration :0∈Gab, et x=au +bv, y =au′+bv′⇒x−y=a(u−u′) + b(v−v′)∈Gab,
donc Gab est un sous- groupe de Z. Le théorème précédent assure l’existence de dtel que Gab =dZ.
Proposition 2 : Soit (a, b)∈Z2.dest l’unique entier naturel tel que :
(i) d|aet d|b;
(ii) (c|aet c|b)⇒c|d.

Division euclidienne, unicité du quotient et du reste 3
démonstration :ddivise tous les éléments de dZ=Gab, donc en particulier aet b. Si cdivise aet b,
alors cdivise au +bv, donc cdivise d.
Définition 2 : dest appelé Plus Grand Commun Diviseur de aet b, noté PGCD(a, b)ou a∧b.
Algorithme d’Euclide
Soit (a, b)∈(N∗)2, avec a>b. Si b|a,a∧b=b. Sinon, a=bq1+r1, et a∧b=b∧r11. On réitère le
procédé : r0=bet rk−1=rkqk−1+rk+1 (k>1) jusqu’à trouver un dernier reste non nul rn, diviseur de
rn−1(rn+1 = 0). Le procédé s’arrête parce que r0> r1> r2>···>0. Au final, a∧b=rn.
Exemple : Déterminons 145 ∧7.
145 = 7 ×20 + 5
7 = 5 ×1 + 2
5 = 2 ×2 + 1←dernier reste non nul
2 = 1 ×2 + 0.
Conclusion : 145 ∧7 = 1. On dit que 145 et 7 sont premiers entre eux. Cet algorithme peut facilement être
implanté dans une calculatrice :
:pgcd(a,b)
:Prgm
:Local t,ta,tb,q
:If b<a Then: b->t: a->b: t->a
:EndIf
:ClrIO
:Disp "Algorithme d’Euclide"
:a->ta: b->tb
:Loop
:Disp string(tb)&" / "&string(ta)&": quo
tient "&string(int(tb/ta))&" reste "&st
ring(tb-ta*int(tb/ta))
:ta->t
:tb-ta*int(tb/ta)->ta
:t->tb
:If ta=0 Then
:Exit
:EndIf
:EndLoop
:Disp "pgcd("string(b)&","&string(a)&")
= "&string(tb)
:EndPrgm
On tape ceci sur l’écran Home, puis on valide :
On obtient ainsi l’écran suivant :
1: Démontrons cette égalité : a=bq1+r1. Soient d=a∧bet d1=b∧r1.d1|r1et d1|b, donc d1|bq1. Il vient que
d1|bq1+r1⇔d1|a, et comme d1|b,d1|d(d’après le point (ii) de la proposition 2). Or d|aet b, donc d|bq1−a⇔d|r1⇒d|d1.
Au final, d=d1.

4Division euclidienne, unicité du quotient et du reste
10.3 Applications
10.3.1 Congruences dans Z
Définition 3 : Soit n∈N∗. Deux nombres entiers a, b ∈Zsont dits congrus modulo nsi a−best
divisible par n. On note alors a≡b[n].
Propriétés : La relation de congruence est réflexive,symétrique et transitive : c’est une relation d’équiva-
lence.
Par division euclidienne de apar n, on a a=qn +r, donc a≡r[n], avec 06r < n.rest le seul nombre
congru à amodulo nvérifiant 06r < n. La classe ade apossède donc un élément unique dans [[0, n −1]].
Réciproquement, pour tout r∈[[0, n −1]],r={r+kn, k ∈Z}.
L’ensemble Zquotienté par ≡sera noté Z/nZ, et possède néléments : 0, . . . , n −1. Enfin,
x≡x′[n]
y≡y′[n]⇒x+y≡x′+y′[n]
xy ≡x′y′[n],
donc on peut munir canoniquement Z/nZde deux lois de composition interne :
x+y=x+yet x·y=x·y.
Muni de ces deux lois, (Z/nZ,+,·)est l’anneau des classes résiduelles modulo n.
10.3.2 Eléments inversibles de Z/nZ
Proposition 3 : aest inversible (dans Z/nZ) si et seulement si a∧n= 1 (dans Z). L’ensemble des
éléments inversibles de Z/nZforme un groupe.
démonstration :ainversible ⇔ ∃ a′|a a′= 1 ⇔aa′−kn = 1 Bézout ⇔a∧n= 1.
Remarque 2 :
Si ab ≡ac [n]et a∧n= 1, alors aadmet un inverse a′dans Z/nZ, d’où a′a b =a′a c ⇔b=c⇔b≡c[n]. On
peut donc « simplifier » une congruence par tout nombre premier avec n.
Corollaire 2 : Z/nZest un corps si et seulement si nest un nombre premier.
démonstration :Z/nZcorps ⇔1, . . . , n −1sont inversibles ⇔1,...,n−1premiers avec n⇔n
est premier. 

Division euclidienne, unicité du quotient et du reste 5
10.3.3 Ecriture d’un entier naturel en base b(b∈Net b>2)
Soit a∈N. Alors il existe un unique x0∈Ntel que a=bq0+x0(06x0< b,q0< a).
Il existe ensuite un unique x1∈Ntel que q0=bq1+x1(06x1< b,q1< q0), d’où
a=b2q1+bx1+x0.
En allant plus loin, il existe un unique x2∈Ntel que q1=bq2+x2(06x2< b,q2< q1), d’où
a=b3q2+b2x2+bx1+x0.
Itérant cet algorithme (qui se termine car (qn)est strictement décroissante), on voit qu’il existe une unique
suite finie x0,...,xntelle que
a=xnbn+xn−1bn−1+···+x2b2+x1b+x0,
avec xn6= 0, et où pour tout i,xi∈[[0, b −1]] : c’est l’écriture de adans la base b.
10.3.4 Critère de divisibilité en base 10
Soit a∈Nd’écriture a= 10nxn+ 10n−1xn−1+···+ 10 x1+x0.
⋄Un entier naturel est divisible par 2 (resp. 5) si et seulement si son chiffre des unités est divisible par 2
(resp. 5).
démonstration :2et 5divisent 10, donc 10k(pour tout k) : 10k≡0 [2/5], d’où a≡x0[2/5].
⋄Un entier naturel est divisible par 3 (resp. 9) si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par
3 (resp. 9).
démonstration :3et 9divisent 10 −1, donc 10 ≡1 [3/9] (pour tout k) : 10k≡1 [3/9], d’où
a≡Pn
i=0 xi[3/9].
⋄Un entier naturel est divisible par 11 si et seulement si la différence entre ses chiffres d’indice pair et la
somme de ses chiffres d’indice impair est divisible par 11.
démonstration :10 ≡ −1 [11] ⇒10k≡(−1)k[11], et donc a≡Pn
i=0(−1)ixi[11].