sce MIDOUNE NOUREDDINE

ﺔــــﻴﺒﻌﺸﻟا ﺔــــﻴﻃاﺮﻘﻤﻳﺪﻟا ﺔــــﻳﺮﺋاﺰﺠﻟا ﺔــــﻳرﻮﻬﻤﺠﻟا
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE HADJ LAKHDAR
BATNA (ALGERIE)
THESE
Présentée à la Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Pour l'obtention du diplôme de
DOCTORAT EN SCIENCES
Option: Mathématique
Par
NOUREDDINE MIDOUNE
THEME
Soutenue le : 26 / 05 / 2009
Devant le jury d’examen
Mr. A. BOUDAOUD Prof. Université de M’Sila Président
Mr. L. NOUI Prof. Université de Batna Directeur de thèse
Mr. M. KERADA M.C. Université de Jijel Examinateur
Mr. A. AMROUNE M.C. Université de M’Sila Examinateur
Mr.M.GUEDJIBA
M.C. Université de Batna Examinateur
CLASSIFICATION DES FORMES TRILINEAIRES ALTERNEES DE
RANG 8 SUR LES CORPS FINIS

TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION ........................................................................................ 02
I- PRELIMINAIRES ................................................................................ 05
1- Algèbre extérieure ................................................................................. 05
2- Invariants et trivecteurs ......................................................................... 07
3-Certaines propriétés des formes bilinéaires alternées ou des bivecteurs .. 10
II- CLASSIFICATION DES TRIVECTEURS ..................................... 14
1- Classi…cation en dimension inférieur à 6 ............................................. 14
2- Classi…cation en dimension 6 .................................................................. 14
3- Classi…cation en dimension 7 .................................................................. 19
4- Classi…cation en dimension 8 .................................................................. 21
5- Groupes d’automorphismes .................................................................... 24
6- Autres méthodes pour déterminer certains groupes d’automorphismes ... 35
III- COMPLEXITE DES TRIVECTEURS ............................................ 38
1- Longueur d’un trivecteur .................................................................... 38
2- Complexité d’un trivecteur ................................................................. 39
3- Complexité et longueur ....................................................................... 40
4- Plongements canoniques et complexité maximale ............................. 42
IV- CLASSIFICATION SUR LES CORPS FINIS ............................... 49
1- Cohomologie galoisienne ................................................................... 49
2- Classi…cation sur un corps de caractéristique di¤érente de 2 et de 3. 53
3- Classi…cation sur un corps …ni .......................................................... 61
BIBLIOGRAPHIE ................................................................................. 66
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INTRODUCTION
Soit Eun espace vectoriel de dimension …nie nsur un corps commutatif K.La
classi…cation des trivecteurs est l’étude de l’action du groupe linéaire GL(E)sur l’espace
vectoriel ^3E :Comme ^3E'(^3E), on parle indi¤éremment des formes trilinéaires
alternées et des trivecteurs . Cette classi…cation se fait en deux étapes:
1) Classi…cation sur un corps algébriquement clos de caractéristique quelconque.
2) Utilisation de la cohomologie galoisienne pour en déduire la classi…cation sur un
corps quelconque ou sur certains corps particuliers (corps …nis , corps ordonnés ,...).
Plusieurs auteurs ont étudié les formes multilinéaires alternées ;le cas bilinéaire étant
simple,celui des formes trilinéaires est l’objet principal des recherches.Des références et
une description des orbites pour n7peuvent être trouvées dans [23] ;[25] ;[32] ;[8]et[36].
La classi…cation des trivecteurs de rang 8est connue sur C:il n’y a encore qu’un
nombre …ni d’orbites dont la liste est donnée dans [11] :Une classi…cation complète et
connue aussi pour n= 8 et K=R([9]) et dans le cas algébriquement clos de caractéris-
tique quelconque [26] :Notons que si dim E9,dim ^3E > dim End(E) = dim GL (E)
et il y a une in…nité d’orbites ( du moins si Kest un corps in…ni ) , cela a été fait dans
[38] :
Dans [13], J.Hora donne une borne supérieure de la complexité maximale Cn(K)dans
le cas où Kest le corps à deux éléments et il montre que C7(K)=4(voir III§2 pour la
dé…nition ).
Dans ce travail , en utilisant l’invariant arithmétique d1(!)d’un trivecteur !;nous
donnons une borne supèrieure de la complexité maximale Cn(K)où Kest un corps
arbitraire. Pour n68,Cn(K)est déterminée. Ensuite ,nous donnons une approche
de la classi…cation des trivecteurs de rang 8, sur un corps quelconque , en particulier
2

sur un corps …ni ;ceci repose sur la détermination des groupes d’automorphismes de
chaque trivecteur sur un corps algébriquement clos, puis sur l’utilisation de la cohomologie
galoisienne.
Dans le premier chapitre, on donne des généralités où apparaissent les notions de
scindabilité , de puissances divisées , d’invariants , groupe d’automorphismes , commutant
et dérivation , parties stables et des propriétés du commutant . En…n nous rappelons
l’essentiel des résultats sur les formes bilinéaires alternées.
Le deuxième chapitre est consacré aux trivecteurs de rang au plus 8.A la lumière
de [8] ;[23] ;[25] ;[26] ;[32] et [34] nous rappelons les principaux résultats connus sur la
classi…cation des formes trilinéaires alternées avec n67et Kun corps quelconque.
Les énoncés que nous reprendrons montrent que la classi…cation dépend du corps de
base choisie.Ensuite et après avoir donné la classi…cation des trivecteurs pour n= 8
et Kalgébriquement clos ([26]) , nous déterminons leurs groupes d’automorphismes.
Toute fois, il y a lieu de prendre en considération que le fait de mettre en évidence
le groupe d’automorphismes à un isomorphisme local près , est insu¢ sant pour appli-
quer la cohomologie ([27]) , et ceci resulte de la négligence du groupe discret , ce qui
motive la détermination complète de ces groupes par les suites exactes en utilisant les
parties stables. Nous donnons aussi d’autres méthodes pour déterminer certains de ces
groupes.
L’objet du chapitre III , est l’étude de la complexité maximale des trivecteurs de rang
au plus 8. On donne aussi des résultats connus concernant leur longueur. Ensuite , on
calcule la complexité pour chaque trivecteur sur un corps arbitraire. On généralise un
résultat de J.Hora ([13]) et nous donnons une borne supérieure de la complexité maximale
Cn(K):
Dans le dernier chapitre , nous traitons le problème de classi…cation des trivecteurs
de rang 8, en particulier sur un corps …ni. On utilise la cohomologie galoisienne a…n
de décrire toute les formes trilinéaires alternées !non équivalentes sur Kmais équiv-
alentes sur une clôture algébrique Kde Kà un même trivecteur !: Nous donnons un
3