COHOMOLOGIE ÉQUIVARIANTE DES ESPACES ET DE LEURS RÉDUCTIONS

Sébastien Racanière
COHOMOLOGIE
ÉQUIVARIANTE DES ESPACES
SU(n)2gET DE LEURS
RÉDUCTIONS
QUASI-HAMILTONIENNES

Sébastien Racanière
Institut de Recherche Mathématique Avancée, Université Louis Pasteur et
CNRS, Bureau 113, 7 rue René Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France.
E-mail : [email protected]
Url : www-irma.u-strasbg.fr/~racanier

COHOMOLOGIE ÉQUIVARIANTE DES
ESPACES SU(n)2gET DE LEURS
RÉDUCTIONS QUASI-HAMILTONIENNES
Sébastien Racanière

TABLE DES MATIÈRES
Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Résumé des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 8
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1. Les espaces quasi-hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1. Action d’un groupe abélien sur une variété symplectique . . . . . . 17
1.2. Origines de la définition d’un espace quasi-hamiltonien . . . . . . . . 19
1.3. Exemples concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
1.4. Propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5. Liens avec les espaces hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6. Réduction et produit de fusion . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . 32
2. Motivations .................................................. 35
2.1. L’application de restriction de Kirwan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2. Les espaces de modules de fibrés semi-stables . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3. L’espace de modules des fibrés semi-stables (cas lisse) . . . . . . . . . . 47
3.1. Construction d’un fibré universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2. Un fibré sur (SU(n)2g)SU(n)×X0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3. Des générateurs de H∗
SU(n)(µ−1(ζI))/hωiet de H∗ SU(n)(SU(n)2g)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4. Un calcul de classes de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5. La description de l’application de restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4. L’espace de modules des fibrés semi-stables (cas singulier) . . . . . . 67
4.1. Une fonction de Morse-Bott équivariante sur SU(n). . . . . . . . . . 68
4.2. Étude d’une fonction définie sur SU(n)2g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74