sce LOMBARKIA FARIDA

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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET
POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE DE BATNA
FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
THESE
Pr´esent´ee pour obtenir le diplˆome de DOCTORAT EN
SCIENCES
Option : Math´ematiques pures
par
LOMBARKIA Farida
THEME
Sur l’image et le noyau d’une
d´erivation g´en´eralis´ee
Soutenue le 14/04/2010 devant le Jury compos´e de :
Pr´esident : A. Benbernou, Professeur Universit´e de Mostaganem
Rapporteur : A. Bachir, Maˆıtre de conf´erences Universit´e de Abha
Examinateur : B. Bendoukha, Professeur Universit´e de Mostaganem
Examinateur : S. Guedjiba, Maˆıtre de conf´erences Universit´e de Batna
Examinateur : S. E. Rebiai, Professeur Universit´e de Batna
Examinateur : M. Nadir, Professeur Universit´e de M’sila

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Remerciements
Je remercie vivement le Docteur Ahmed Bachir qui a assur´e la direction de ce travail
avec amabilit´e et comp´etence. Qu’il veuille bien trouver ici l’expression de ma tr´es
profonde gratitude. J’exprime mes vifs remerciements au professeur A. Benbernou
pour m’avoir fait l’honneur d’accepter de pr´esider le jury de cette th`ese. Je tiens
`a remercier les professeurs S. E. Rebiai, B. Bendoukha, M. Nadir et le Docteur S.
Guedjiba pour avoir accept´e de participer au jury de cette th`ese et pour l’int´erˆet qu’ils
ont port´e `a ce travail. Je remercie mes coll`egues du d´epartement de math´ematiques
de la facult´e des sciences de Batna. Je leur exprime ma profonde sympathie. Enfin
mes remerciements vont `a ma famille, mes amies et tous ceux qui m’ont soutenu
durant l’´elaboration de ce travail.

Table des mati`eres
0 Introduction 4
0.1 Terminologie................................ 7
1 Pr´eliminaires 10
1.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 La transformation d’Aluthge des op´erateurs p-hyponormaux et log-
hyponormaux ............................... 16
1.3 La propri´et´e de l’extension unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Le Th´eor`eme g´en´eralis´e de Weyl pour dA,B 22
2.1 Introduction................................ 22
2.2 Le th´eor`eme g´en´eralis´e de Weyl pour
l’op´erateur dA,B avec Aet B∗
log-hyponormaux ............................. 23
2.3 La propri´et´e (gw) pour l’op´erateur dA,B ................ 29
3 Le th´eor`eme de Fuglede-Putnam 38
3.1 Introduction................................ 38
3.2 Le th´eor`eme de Fuglede-Putnam pour les
op´erateurs w-hyponormaux ....................... 39
3.3 Orthogonalit´e de l’image et du noyau de δA,B .............. 45
4 Exemples sur les Classes d’op´erateurs 47
4.1 Introduction................................ 47
4.2 Les op´erateurs log- et p-hyponormaux.................. 48
5 Appendices 51
5.1 Propri´et´e de l’extension unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
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TABLE DES MATI ` ERES 3
5.2 Propri´et´e(GW).............................. 54
5.3 Symboles et Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Bibliographie 60

Chapitre 0
Introduction
Ce travail a pour but l’´etude des op´erateurs ´el´ementaires satisfaisant le th´eor`eme
g´en´eralis´e de Weyl et la propri´et´e de Fuglede-Putnam pour des classes d’op
´erateurs g´en´eralisant le cas normal.
Un op´erateur ´el´ementaire sur une alg`ebre de Banach complexe Aest une appli-
cation lin´eaire de la forme
x7−→
n
X
i=1
aixbi,
o`u ai, bi∈ A(1 ≤i≤n).Dans le cas A=L(H),o`u Hd´esigne un espace de
Hilbert complexe de dimension infinie, L(H) l’alg`ebre des op´erateurs lin´eaires born´es
agissant sur H, on appelle op´erateur de multiplication `a gauche par A(resp. `a droite
par B) l’op´erateur LAd´efini sur L(H) par LA(X) = AX, (resp. RB(X) = XB),
l’op´erateur ´el´ementaire de base est MA,B =LARBd´efini sur L(H) par MA,B (X) =
AXB, o`u A, B ∈L(H). On note par dA,B l’op´erateur de d´erivation g´en´eralis´ee δA,B
d´efini sur L(H) par δA,B (X) = AX −XB ou l’op´erateur ´el´ementaire ∆A,B d´efini
sur L(H) par ∆A,B(X) = MA,B (X)−X.
Soient K(H) l’id´eal des op´erateurs compacts et F(H) l’id´eal des op´erateurs de
rang fini dans L(H).
Le spectre de Weyl est par d´efinition
σW(A) = \
K∈K(H)
σ(A+K).
H. Weyl [63] a prouv´e que si Aest un op´erateur normal, alors
σW(A) = σ(A)\E0(A),
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