Exercices : Logique, Applications, Systèmes linéaires et bonus

Exercices : Logique, Applications, Systèmes linéaires et bonus
Quentin Guilmant
23 novembre 2016
1 Crédits
Ces exercices sont largement inspirés des exercices de M.Guezou, professeur aggrégé au lycée Aux Lazaristes de
Lyon en classe de MPSI.
2 Logique
Exercice 2.1. Montrer que pour tout ensemble A, B, C, si A∩B⊂A∩Cet A∪B⊂Au¸pC alors B⊂C.
L’exercice suivant sert à vous entraîner à utiliser les symboles ∀,∃,∈...
Exercice 2.2. Soit El’ensemble des élève de la classe de Terminale S de V.Girona. Soit Fl’ensemble des formations du
supérieure que ses élève de cette classe ont choisis d’inscrire sur APB. Notons x#fl’assertion "l’élève xà choisi de classer
la formation fsur APB".
2.2.1. Écrire les assertions suivantes avec les quanticateur :
— Tout élève de Ea choisi une formation pour l’année prochaine
— Tous les élèves de Eont mis une formation commune dans leur liste de choix sur APB
— Il y a formation de Fqui n’a été choisi que par une partie non pleine de la classe.
2.2.2. Donnez la négation des énoncés précédents.
Exercice 2.3. Montrez l’équivalence entre les propositions suivantes :
—x∈Nn’est divisible que par des nombres paires
—xest une puissance de 2
—xest pair et n’admet qu’un seul facteur premier.
On demande de réaliser cet exercice en au plus 3 implications.
Exercice 2.4. Montrer que toute partie non vide de Net majorée admet un plus grand élément.
3 Applications et relations binaires
Exercice 3.1. Soit Xun ensemble, soit 2Xl’ensemble des partie de X. Montrer que ⊆est un ordre sur 2X. Est-il total ?
Exercice 3.2. Donner un ordre sur Rnà partir de de la dénition de l’ordre usuel sur R.
Exercice 3.3. Soit Eet Fdeux ensemble et f∈EF. Soit Rune relation d’équivalence sur F. Soit Sla relation dénie
par ∀(a, b)∈E2, aRb⇔f(a)Rf(b). Montrer que Sest une relation d’équivalence.
Exercice 3.4. Soit Eun ensemble et Fl’ensemble des bijections de Edans lui même. On déni la relation Ret ∀(f, g)∈
EE, fRg⇔ ∃φ∈F, g =φ−1◦f◦φ.Rest elle une relation d’équivalence ?
Exercice 3.5. Soit Eun ensemble de taille n∈Nnie, soit Fune ensemble de taille k∈Nnie. Dénombrer les applications
des Edans F. Combien y a-t-il d’injections de Edans F, de surjections, de bijections ?
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4 Systèmes linéaires
Exercice 4.1. Résoudre selon α∈Rle système :
(2 −α)x−y+ 3z= 1
−x+ (1 −α)y−2z= 2
2x+ 3y+ (2 −α)z= 3
Exercice 4.2. Discuter et résoudre le système suivant selon les valeur de m:
2x+y+z= 0
−x+my +z= 0
3x+y−nz = 0
5 Une structure plus complexe que les réels
On donne la dénition d’un corps :
Dénition 5.1 (Corps).Un ensemble Kest un corps s’il possède deux opérations internes (l’ensemble est stable par ces
opérations), +,×telles que :
— + est associative ET commutative
— + possède un neutre 0K,x+ 0K= 0K+x=x
—∀x∈K,∃y∈K, x +y=y+x= 0K(tout élément possède un opposé, l’opposé de xest noté −x)
—×est associative
—×possède un neutre 1K,x×1K= 1K×x=x
—∀x∈K\{0K},∃y∈K, xy =yx = 1K(tout élément possède un inverse, l’inverse de xest noté x−1)
—×est distributive sur +.
On notera (K,+,×)le corps Kmuni de +et ×.
On pourra remarquer que Rmuni des opérations d’addition et de multiplication usuel est un corps, que 0=0Ret
1=1R.
Dénition 5.2 (Corps commutatif).Le corps (K,+,×)est dit commutatif si la multiplication, ×sur Kest commutative.
Rest un corps commutatif.
Cette partie propose la construction d’une structure de corps sur l’ensemble R2. On ne se contentera pas de faire
l’addition sur chaque composante et la multiplication sur chaque composante. On notera ⊕l’addition sur R2et ⊗la
multiplication sur R2. On voudra identier Ravec la première composante de ce corps. On considérera ∀x∈R, x =
(x, 0). Ce nouveau corps devra être compatible avec le corps Ret posséder enn une nouvelle propriété : tout élément
du corps doit posséder une racine carrée.
J’invite le lecteur à se servir de dessins dans le plan pour faire cet exercice.
Exercice 5.1 (Un nouveau corps).On déni (x, y)⊕(z, t)=(x+z, y +t). Le but de cet exercice est de construire ⊗.
5.1.1. Proposer un résultat pour la multiplication (x, 0) ⊗(y, 0). On rappelle que cette multiplication doit être compatible
avec celle sur les réels.
5.1.2. Observer ce que fait la multiplication par un nombre négatif sur le plan (faire un dessin). Que fait la multiplication
par un nombre positif ? Pouvez vous synthétiser ces deux remarques pour faire une remarque générale sur les réels ? Proposer
alors une racine carrée au couple (-1,0). Dans la suite nous la noterons I.
5.1.3. Grâce à I, proposer le résultat de la multiplication (0, x)⊗(0, y)
5.1.4. Quel est le résultat actuel sur la première composante de (x, y)⊗(z, t)?
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5.1.5. On rappelle que l’on souhaite une multiplication cohérente avec celle des réels où 1 = (1,0) est le neutre. Proposer
alors une ébauche du résultat de la multiplication sur la deuxième composante.
5.1.6. On veut une multiplication, ⊗, qui soit commutative. Mettez à jour votre deuxième composante
5.1.7. Vériez que vous avez bien obtenu un corps.
5.1.8. Factorisez le polynôme x2+ 1 avec des solutions dans le corps (R2,⊕,⊗).
En indice pour la question 5.1.2, on parle de rotations de centre (0,0).
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