corrigé de l`examen de décembre

DEUG MIAS 2e année — Algèbre 3
Examen terminal de décembre 2004 — Durée : 2 heures
Documents, téléphones portables et calculatrices non autorisés.
[1 pt]
N.B. : la clarté des raisonnements et le soin apporté à la rédaction sont des
éléments importants d’appréciation !
Exercice 1. Soit G = GL3 (C) le groupe multiplicatif des matrices 3 × 3 complexes inversibles. Soient G1 =
{ A ∈ G | ∃λ ∈ C : A = λ I3 } le sous-groupe des matrices scalaires de G, et G2 = { A ∈ G | det A = 1 }
celui des matrices unimodulaires.
(a) Montrer que G1 et G2 sont sous-groupes distingués de G.
Solution : La partie G1 est sous-groupe d’après l’énoncé, et ∀g ∈ G : g (λI3 ) g −1 = λ g g −1 =
[1 pt]
λI3 , ainsi G1 C G. L’ensemble G2 est le noyau du morphisme det : G → R∗ (det(A B) =
[1 pt]
(det A)(det B)), donc aussi distingué dans G.
(b) Montrer que pour tout A ∈ G, il existe exactement trois couples (A1 , A2 ) ∈ G1 × G2 tels que
A = A1 · A2 .
Solution : On a : A = A1 · A2 avec A1 = λ I3 et det A2 = 1 ⇐⇒
[1 pt]
A = λA2 et det A = det(λA2 ) = λ3 det A2 = λ3 ⇐⇒
[1 pt]
A2 = λ1 A , et λ = | det A|1/3 ei ϕ , ϕ ∈ 31 arg(det A) + 0, 2π
, 4π
.
3
3
Exercice 2. Soit (G, +) un groupe abélien et E = End G les endomorphismes de G.
(a) Vérifier que (E, +, ◦) est un anneau unitaire.
(On admet la structure de groupe(-produit) de GG sans démonstration.)
[1.5 pts]
Solution : E est sous-groupe de (GG , +) car idG ∈ E (morphisme) et pour f, g ∈ E, on a
f − g ∈ E : (f − g)(x + y) = f (x + y) − g(x + y) = ... = (f − g)(x) + (f − g)(y). D’autre part,
[1 pt]
◦ est l.c.i. (composée de morphismes est morphisme), associative (connu), admettant idG ∈ E(!)
[1.5 pts]
comme élément neutre, et distributive : (f + g) ◦ h = f ◦ h + g ◦ h par définition, et f ◦ (g + h) =
[x 7→ f (g(x) + h(x))] = [x 7→ f (g(x)) + f (h(x))] = f ◦ g + f ◦ h.
(b) Pour G = Z/nZ (n ≥ 2), montrer que E est l’ensemble des applications de la forme x 7→ k x
avec k ∈ G, et que E est isomorphe à l’anneau Z/nZ.
[0.5 pts]
Solution : Soit f ∈ E, alors ∀x̃ ∈ G : f (x̃) = f (x 1̃) = x f (1̃) = x̃ k avec k = f (1̃) ∈ G.
[0.5 pts]
Réciproquement, pour tout k ∈ G, l’application fk : x 7→ k x est endomorphisme de G (car
[0.5 pts]
k (x + y) = kx + ky), on a donc l’application ϕ : G → E ; k → fk qui est surjective d’après ce
[0.5 pts]
qui précède, et injective : k 6= k 0 ⇐⇒ fk (1̃) 6= fk0 (1̃) ⇒ fk 6= fk0 , et un morphisme d’anneaux
[1 pt]
car fk+k0 = (x 7→ (k + k 0 )x) = fk + fk0 et fk k0 = (x 7→ k k 0 x) = fk ◦ fk0 .
Exercice 3. On considère l’ensemble D = x ∈ R | ∃k ∈ N : 10k x ∈ Z .
(a) Vérifier que D est un anneau intègre. Est-ce un corps ?
[0.5 pts]
Solution : D est un sous-anneau unitaire de R car 1 ∈ D (k = 0), et pour x, y ∈ D, on a
[0.5 pts]
k, ` ∈ N : 10k x, 10` y ∈ Z, donc 10k+` (x − y) = 10` (10k x) − 10k (10` y) ∈ Z d’où x − y ∈ D, et
[0.5 pts]
10k+` (x · y) = 10k x · 10` y ∈ Z, donc x · y ∈ D. Or, R est commutatif et sans diviseurs de zéro,
[ 21 + 1 pts] donc tout sous-anneau l’est, d’où D anneau intègre. Ce n’est pas un corps : 3−1 = 0.333... ∈
/ D.
(b) Rappeler la définition d’un idéal principal et d’un anneau principal.
[0.5 pts]
Solution : Un idéal I est principal ssi, il est engendré par un seul élément.
[1 pt]
Un anneau A est principal ssi, il est intègre et tout idéal de A est principal.
(c) Montrer que pour tout m, n ∈ Z il existe d ∈ m Z + n Z tels que m, n ∈ d Z.
[1 pt]
Solution : mZ+nZ est idéal car somme de deux idéaux. Z étant principal, cet idéal est engendré
[1 pt]
par d = pgcd(m, n) ∈ Z : mZ + nZ = (d) = d Z, donc en particulier m ∈ d Z et n ∈ d Z.
(d) Montrer que tout idéal de D est de la forme a D, avec a ∈ D.
Solution : Soit I idéal de D, alors I ∩ Z est sous-groupe de (Z, +) (intersection de sous-groupes
[2.5 pts]
de (R, +)) donc de la forme a Z, a ∈ Z (cours). Aussi a ∈ I, donc a D ⊂ I. Or, pour tout x ∈ I,
on a k ∈ N t.q. 10k x ∈ Z, d’où 10k x ∈ I ∩ Z = a Z, donc x ∈ 10−k aZ ⊂ a D. Ainsi, I = a D.
(e) Déduire que D est un anneau principal.
[1 pt]
Solution : D’après (a) et (d), c’est un anneau intègre dont tout idéal est principal (aD = (a)
dans un anneau commutatif unitaire), donc anneau principal.