corrigé de l`examen de décembre

Universit´ e des Antilles et de la Guyane
U.F.R. Sciences Exactes et Naturelles
D´epartement Scientifique Interfacultaire
DEUG MIAS 2eann´ee — Alg`ebre 3
Examen terminal de d´ecembre 2004 — Dur´ee : 2 heures
Documents, t´el´ephones portables et calculatrices non autoris´es.
N.B. : la clart´e des raisonnements et le soin apport´e `a la r´edaction sont des
´el´ements importants d’appr´eciation ![1 pt]
Exercice 1. Soit G= GL3(C) le groupe multiplicatif des matrices 3 ×3 complexes inversibles. Soient G1=
{A∈G| ∃λ∈C:A=λ I3}le sous-groupe des matrices scalaires de G, et G2={A∈G|det A= 1 }
celui des matrices unimodulaires.
(a) Montrer que G1et G2sont sous-groupes distingu´es de G.
Solution : La partie G1est sous-groupe d’apr`es l’´enonc´e, et ∀g∈G:g(λI3)g−1=λ g g−1=
λI3, ainsi G1CG. L’ensemble G2est le noyau du morphisme det : G→R∗(det(A B) =[1 pt]
(det A)(det B)), donc aussi distingu´e dans G.[1 pt]
(b) Montrer que pour tout A∈G, il existe exactement trois couples (A1, A2)∈G1×G2tels que
A=A1·A2.
Solution : On a : A=A1·A2avec A1=λ I3et det A2= 1 ⇐⇒
A=λA2et det A= det(λA2) = λ3det A2=λ3⇐⇒[1 pt]
A2=1
λA, et λ=|det A|1/3ei ϕ,ϕ∈1 3arg(det A) + 0,2π 3,4π 3.[1 pt]
Exercice 2. Soit (G, +) un groupe ab´elien et E= End Gles endomorphismes de G.
(a) V´erifier que (E, +,◦) est un anneau unitaire.
(On admet la structure de groupe(-produit) de GGsans d´emonstration.)
Solution : Eest sous-groupe de (GG,+) car idG∈E(morphisme) et pour f, g ∈E, on a[1.5 pts]
f−g∈E: (f−g)(x+y) = f(x+y)−g(x+y) = ... = (f−g)(x)+(f−g)(y). D’autre part,
◦est l.c.i. (compos´ee de morphismes est morphisme), associative (connu), admettant idG∈E(!)[1 pt]
comme ´el´ement neutre, et distributive : (f+g)◦h=f◦h+g◦hpar d´efinition, et f◦(g+h) =[1.5 pts]
[x7→ f(g(x) + h(x))] = [x7→ f(g(x)) + f(h(x))] = f◦g+f◦h.
(b) Pour G=Z/nZ(n≥2), montrer que Eest l’ensemble des applications de la forme x7→ k x
avec k∈G, et que Eest isomorphe `a l’anneau Z/nZ.
Solution : Soit f∈E, alors ∀˜x∈G:f(˜x) = f(x˜ 1) = x f(˜ 1) = ˜x k avec k=f(˜ 1) ∈G.[0.5 pts]
R´eciproquement, pour tout k∈G, l’application fk:x7→ k x est endomorphisme de G(car[0.5 pts]
k(x+y) = kx +ky), on a donc l’application ϕ:G→E;k→fkqui est surjective d’apr`es ce[0.5 pts]
qui pr´ec`ede, et injective : k6=k0⇐⇒ fk(˜ 1) 6=fk0(˜ 1) ⇒fk6=fk0, et un morphisme d’anneaux[0.5 pts]
car fk+k0= (x7→ (k+k0)x) = fk+fk0et fk k0= (x7→ k k0x) = fk◦fk0.[1 pt]
Exercice 3. On consid`ere l’ensemble D=x∈R| ∃k∈N: 10kx∈Z.
(a) V´erifier que Dest un anneau int`egre. Est-ce un corps ?
Solution : Dest un sous-anneau unitaire de Rcar 1 ∈D(k= 0), et pour x, y ∈D, on a[0.5 pts]
k, ` ∈N: 10kx, 10`y∈Z, donc 10k+`(x−y) = 10`(10kx)−10k(10`y)∈Zd’o`u x−y∈D, et[0.5 pts]
10k+`(x·y) = 10kx·10`y∈Z, donc x·y∈D. Or, Rest commutatif et sans diviseurs de z´ero,[0.5 pts]
donc tout sous-anneau l’est, d’o`u Danneau int`egre. Ce n’est pas un corps : 3−1= 0.333... /∈D.[1
2+ 1 pts]
(b) Rappeler la d´efinition d’un id´eal principal et d’un anneau principal.
Solution : Un id´eal Iest principal ssi, il est engendr´e par un seul ´el´ement.[0.5 pts]
Un anneau Aest principal ssi, il est int`egre et tout id´eal de Aest principal.[1 pt]
(c) Montrer que pour tout m, n ∈Zil existe d∈mZ+nZtels que m, n ∈dZ.
Solution : mZ+nZest id´eal car somme de deux id´eaux. Z´etant principal, cet id´eal est engendr´e[1 pt]
par d= pgcd(m, n)∈Z:mZ+nZ= (d) = dZ, donc en particulier m∈dZet n∈dZ.[1 pt]
(d) Montrer que tout id´eal de Dest de la forme a D, avec a∈D.
Solution : Soit Iid´eal de D, alors I∩Zest sous-groupe de (Z,+) (intersection de sous-groupes
de (R,+)) donc de la forme aZ,a∈Z(cours). Aussi a∈I, donc a D ⊂I. Or, pour tout x∈I,[2.5 pts]
on a k∈Nt.q. 10kx∈Z, d’o`u 10kx∈I∩Z=aZ, donc x∈10−kaZ⊂a D. Ainsi, I=a D.
(e) D´eduire que Dest un anneau principal.
Solution : D’apr`es (a) et (d), c’est un anneau int`egre dont tout id´eal est principal (aD = (a)[1 pt]
dans un anneau commutatif unitaire), donc anneau principal.