Leçon 241: Suites et séries de fonctions. Exemples

Leçon 241: Suites et séries de fonctions.
Exemples, contre-exemples.
Adrien Fontaine
14 novembre 2012
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Table des matières
1 Modes de convergences, propriétés 3
1.1 Suitesdefonctions ................................... 3
1.2 Continuitéetdérivabilité................................ 3
1.3 Sériesdefonctions ................................... 5
2 Intégrabilité de suites et séries de fonctions 6
2.1 Convergences dans un espace mesuré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Théorèmesprincipaux ................................. 7
2.3 Interversion Ret P................................... 8
3 Séries entières et fonctions holomorphes 8
3.1 Sériesentières...................................... 8
3.2 Fonctionsholomorphes................................. 11
4 Séries de Fourier 12
4.1 Définitions........................................ 12
4.2 Théorèmesprincipaux ................................. 12
4.3 Théorie L2........................................ 15
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1 MODES DE CONVERGENCES, PROPRIÉTÉS 3
On considère des fonctions à valeurs dans K=Rou C.
1 Modes de convergences, propriétés
1.1 Suites de fonctions
Xdésigne un ensemble quelconque, fune fonction de Xdans Ket (fn)une suite de fonctions
de Xdans K.
Définition 1
On dit que (fn)converge simplement (sur X) vers fsi pour tout x∈X, la suite fn(x)converge
vers f(x), en d’autres termes si
∀ε > 0,∃N∈N,∀n≥N, |fn(x)−f(x)|< ε
Définition 2
On dit que (fn)converge uniformément sur Xvers fsi
∀ε > 0,∃N∈N,∀n≥N, ∀x∈X, |fn(x)−f(x)|< ε
Proposition 1
La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
La réciproque est fausse comme le montre le contre-exemple suivant :
Exemple 1
La suite de fonctions fn: [0,1[→Rdéfinie par fn(x) = xnconverge simplement vers 0 sur
[0,1[, mais pas uniformément car pour tout n∈N, il existe x∈[0,1[ tel que |fn(x)−0|≥ 1/2
(la définition n’est plus vérifiée dès que ε < 1/2).
Proposition 2 (Critère de Cauchy uniforme)
(fn)converge uniformément vers fsur X, si et seulement si,
∀ε > 0,∃N∈N,∀p, q ≥N, ∀x∈X, |fp(x)−fq(x)|< ε
Démonstration : Gourdon, proposition 1p221
1.2 Continuité et dérivabilité
On suppose désormais que Xest muni d’une métrique d.
Théorème 1
Si (fn)converge uniformément vers fsur Xet si toutes les fonctions fnsont continues en
x0∈X, alors fest continue en x0.
Démonstration : Gourdon, théorème 2p222

1 MODES DE CONVERGENCES, PROPRIÉTÉS 4
Corollaire 1
Si (fn)est continue sur Xet si (fn)converge uniformément vers fsur X, alors fest continue
sur X.
Exemple 2 (Limite simple d’une suite de fonctions continues qui est discontinue)
La suite de fonctions fn: [0,1[→Rdéfinie par fn(x) = xnest continue et converge simplement
vers la fonction égale à 0 sur [0,1[ et à 1en 1, qui n’est pas continue.
Démonstration : Hauchecorne, 12.1p231
On a cependant, une réciproque partielle :
Théorème 2 (Théorèmes de Dini)
1. Soit (fn)une suite croissante de fonctions réelles continues et définies sur un segment
I= [a, b]de R. Si (fn)converge simplement vers une fonction fcontinue sur I, alors la
convergence est en fait uniforme.
2. Soit (fn)une suite de fonctions croissantes réelles, continues et définies sur un segment
I= [a, b]de R. Si (fn)converge simplement vers une fonction fcontinue sur I, alors la
convergence est en fait uniforme.
Démonstration : Gourdon, exercice5p228
Exemple 3
La suite de fonctions (fn)définie sur [0,1] par fn(x) = (1 + x
n)nest continue sur [0,1], et
converge simplement vers exsur [0,1] qui est une fonction continue, donc la convergence est
en fait uniforme.
Théorème 3 (Dérivabilité et dérivée de la fonction limite)
Soit (fn)une suite de fonctions de classe C1d’un segment [a, b]de Rdans K. On suppose que
– il existe x0∈[a, b]tel que la suite (fn(x0)) converge.
– la suite de fonctions (f0
n)converge uniformément sur [a, b]vers une fonction g.
Alors, fnconverge uniformément sur [a, b]vers une fonction fde classe C1et vérifiant f0=g.
Démonstration : Gourdon, théorème 4p223
Corollaire 2
Soit p∈N∗et (fn)une suite de fonctions de classe Cpd’un segment [a, b]de Rà valeurs dans
K. On suppose que pour tout k∈ {0, ..., p}, la suite de fonctions (fn)(k)converge uniformément
vers une fonction gksur [a, b]. Alors la limite uniforme f=g0de (fn)est de classe Cpet vérifie
f(k)=gkpour tout k∈ {0, ..., p}.
Exemple 4
IL existe une suite de fonctions (fn)de classe C1sur Rayant pour limite uniforme une fonction
dérivable, alors que la suite f0
n)des fonctions dérivée ne converge pas.
On considère la suite de fonctions (fn)n≥1de Rdans Rdéfinie par fn(x) = sin(nx)
√n.
Démonstration : Hauchecorne, 12.14p240

1 MODES DE CONVERGENCES, PROPRIÉTÉS 5
1.3 Séries de fonctions
Comme pour les séries numériques, une série de fonctions Pgnest définie comme étant la
suite de fonctions (fn)avec fn=g0+... +gn. On définit donc de manière analogue aux suites de
fonctions, la notion de série de fonctions simplement convergente et uniformément convergente.On
dispose par ailleurs du théorème suivant, pour caractériser la convergence uniforme des séries de
fonction :
Théorème 4
Si la série de fonctions Pfnconverge simplement sur Xet si sa somme est la fonction S, la
série Pfnconverge uniformément sur X, si et seulement si, la suite de fonctions Pp≥n+1 fp
converge uniformément sur Xvers la fonction nulle de Xdans R.
Démonstration : Hauchecorne, théorème 13.1p251
Définition 3
On dit qu’une série de fonctions Pfnconverge normalement si Pkfnk∞converge.
Exemple 5
La série de fonction Pfndéfinie sur [0,1] par fn(x) = xn
n2converge normalement sur [0,1] car
kfnk∞=1
n2donc Pkfnk∞converge.
Théorème 5
Une série de fonctions Pfnqui converge normalement sur Xconverge uniformément sur X.
Démonstration : Gourdon, théorème 1p222
Exemple 6
La série de fonctions Pfnoù fnest définie sur R+par fn(x)=(−1)nx
n2+x2, converge unifor-
mément sur R+tout entier mais la convergence n’est pas normale sur R+.
Théorème 6
Si (fn)est une suite de fonctions définies et continues sur une partie Xde Ret si la série Pfn
converge uniformément sur X, sa somme est une fonction continue sur X.
Démonstration : Hauchecorne, théorème 13.3p256
Exemple 7
Le résultat est faux si l’on remplace l’hypothèse de convergence uniforme par de la convergence
simple, comme le montre le contre-exemple suivant :
Soit (fn)une suite d’applications continues de [0,1] dans R, de terme général fn(x) = (1−x)xn.
Alors Pfnconverge simplement vers une fonction qui n’est pas continue.
Démonstration : Hauchecorne, 13.9p257
Théorème 7
Soit une série de fonctions Pfndéfinie sur [a, b]un intervalle compact de R. On suppose que
les fnsont de classe C1sur [a, b]et qu’il existe x0∈[a, b]tel que Pfn(x0)converge. Si la série