Leçon 241: Suites et séries de fonctions. Exemples

Leçon 241: Suites et séries de fonctions.
Exemples, contre-exemples.
Adrien Fontaine
14 novembre 2012
1
Table des matières
1 Modes de convergences, propriétés
1.1 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Continuité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
5
2 Intégrabilité de suites et séries de fonctions
2.1 Convergences dans un espace mesuré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Théorèmes principaux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R
P
2.3 Interversion et
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
8
3 Séries entières et fonctions holomorphes
3.1 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
11
4 Séries de Fourier
4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Théorèmes principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Théorie L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
12
15
2
1 MODES DE CONVERGENCES, PROPRIÉTÉS
3
On considère des fonctions à valeurs dans K = R ou C.
1
Modes de convergences, propriétés
1.1
Suites de fonctions
X désigne un ensemble quelconque, f une fonction de X dans K et (fn ) une suite de fonctions
de X dans K.
Définition 1
On dit que (fn ) converge simplement (sur X) vers f si pour tout x ∈ X, la suite fn (x) converge
vers f (x), en d’autres termes si
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, | fn (x) − f (x) |< ε
Définition 2
On dit que (fn ) converge uniformément sur X vers f si
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, ∀x ∈ X, | fn (x) − f (x) |< ε
Proposition 1
La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
La réciproque est fausse comme le montre le contre-exemple suivant :
Exemple 1
La suite de fonctions fn : [0, 1[→ R définie par fn (x) = xn converge simplement vers 0 sur
[0, 1[, mais pas uniformément car pour tout n ∈ N, il existe x ∈ [0, 1[ tel que | fn (x) − 0 |≥ 1/2
(la définition n’est plus vérifiée dès que ε < 1/2).
Proposition 2 (Critère de Cauchy uniforme)
(fn ) converge uniformément vers f sur X, si et seulement si,
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀p, q ≥ N, ∀x ∈ X, | fp (x) − fq (x) |< ε
Démonstration : Gourdon, proposition 1p221
1.2
Continuité et dérivabilité
On suppose désormais que X est muni d’une métrique d.
Théorème 1
Si (fn ) converge uniformément vers f sur X et si toutes les fonctions fn sont continues en
x0 ∈ X, alors f est continue en x0 .
Démonstration : Gourdon, théorème 2p222
1 MODES DE CONVERGENCES, PROPRIÉTÉS
4
Corollaire 1
Si (fn ) est continue sur X et si (fn ) converge uniformément vers f sur X, alors f est continue
sur X.
Exemple 2 (Limite simple d’une suite de fonctions continues qui est discontinue)
La suite de fonctions fn : [0, 1[→ R définie par fn (x) = xn est continue et converge simplement
vers la fonction égale à 0 sur [0, 1[ et à 1 en 1, qui n’est pas continue.
Démonstration : Hauchecorne, 12.1p231
On a cependant, une réciproque partielle :
Théorème 2 (Théorèmes de Dini)
1. Soit (fn ) une suite croissante de fonctions réelles continues et définies sur un segment
I = [a, b] de R. Si (fn ) converge simplement vers une fonction f continue sur I, alors la
convergence est en fait uniforme.
2. Soit (fn ) une suite de fonctions croissantes réelles, continues et définies sur un segment
I = [a, b] de R. Si (fn ) converge simplement vers une fonction f continue sur I, alors la
convergence est en fait uniforme.
Démonstration : Gourdon, exercice5p228
Exemple 3
La suite de fonctions (fn ) définie sur [0, 1] par fn (x) = (1 + nx )n est continue sur [0, 1], et
converge simplement vers ex sur [0, 1] qui est une fonction continue, donc la convergence est
en fait uniforme.
Théorème 3 (Dérivabilité et dérivée de la fonction limite)
Soit (fn ) une suite de fonctions de classe C 1 d’un segment [a, b] de R dans K. On suppose que
– il existe x0 ∈ [a, b] tel que la suite (fn (x0 )) converge.
– la suite de fonctions (fn0 ) converge uniformément sur [a, b] vers une fonction g.
Alors, fn converge uniformément sur [a, b] vers une fonction f de classe C 1 et vérifiant f 0 = g.
Démonstration : Gourdon, théorème 4p223
Corollaire 2
Soit p ∈ N∗ et (fn ) une suite de fonctions de classe C p d’un segment [a, b] de R à valeurs dans
K. On suppose que pour tout k ∈ {0, ..., p}, la suite de fonctions (fn )(k) converge uniformément
vers une fonction gk sur [a, b]. Alors la limite uniforme f = g0 de (fn ) est de classe C p et vérifie
f (k) = gk pour tout k ∈ {0, ..., p}.
Exemple 4
IL existe une suite de fonctions (fn ) de classe C 1 sur R ayant pour limite uniforme une fonction
dérivable, alors que la suite fn0 ) des fonctions dérivée ne converge pas.
√
On considère la suite de fonctions (fn )n≥1 de R dans R définie par fn (x) = sin(nx)
.
n
Démonstration : Hauchecorne, 12.14p240
5
1 MODES DE CONVERGENCES, PROPRIÉTÉS
1.3
Séries de fonctions
P
Comme pour les séries numériques, une série de fonctions gn est définie comme étant la
suite de fonctions (fn ) avec fn = g0 + ... + gn . On définit donc de manière analogue aux suites de
fonctions, la notion de série de fonctions simplement convergente et uniformément convergente.On
dispose par ailleurs du théorème suivant, pour caractériser la convergence uniforme des séries de
fonction :
Théorème 4
P
Si la série de fonctions fn converge simplement sur X et si sa somme est la fonction S, la
P
P
série fn converge uniformément sur X, si et seulement si, la suite de fonctions p≥n+1 fp
converge uniformément sur X vers la fonction nulle de X dans R.
Démonstration : Hauchecorne, théorème 13.1p251
Définition 3
On dit qu’une série de fonctions
P
fn converge normalement si
P
kfn k∞ converge.
Exemple 5
P
La série de fonction fn définie sur [0, 1] par fn (x) =
P
kfn k∞ = n12 donc kfn k∞ converge.
xn
n2
converge normalement sur [0, 1] car
Théorème 5
Une série de fonctions
P
fn qui converge normalement sur X converge uniformément sur X.
Démonstration : Gourdon, théorème 1p222
Exemple 6
x
La série de fonctions fn où fn est définie sur R+ par fn (x) = (−1)n n2 +x
2 , converge unifor+
+
mément sur R tout entier mais la convergence n’est pas normale sur R .
P
Théorème 6
Si (fn ) est une suite de fonctions définies et continues sur une partie X de R et si la série
converge uniformément sur X, sa somme est une fonction continue sur X.
P
fn
Démonstration : Hauchecorne, théorème 13.3p256
Exemple 7
Le résultat est faux si l’on remplace l’hypothèse de convergence uniforme par de la convergence
simple, comme le montre le contre-exemple suivant :
Soit (fn ) une suite d’applications continues de [0, 1] dans R, de terme général fn (x) = (1−x)xn .
P
Alors fn converge simplement vers une fonction qui n’est pas continue.
Démonstration : Hauchecorne, 13.9p257
Théorème 7
P
Soit une série de fonctions fn définie sur [a, b] un intervalle compact de R. On suppose que
P
les fn sont de classe C 1 sur [a, b] et qu’il existe x0 ∈ [a, b] tel que fn (x0 ) converge. Si la série
2 INTÉGRABILITÉ DE SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
de fonction fn0 converge normalement sur [a, b], alors
P
P
vers une fonction C 1 sur [a, b] et on a ( fn )0 = fn0 .
P
P
6
fn converge normalement sur [a, b]
Les séries de fonctions s’avèrent aussi extrêmement utiles pour fournir des exemples "pathologiques" de fonctions, comme par exemple une fonction continue partout dérivable nulle part 1
Exemple 8
On note ∆ la fonction définie sur R 1-périodique, dont la restriction à [−1/2, 1/2] vérifie
p
P
∆(x) =| x |. Alors la fonction p≥0 ∆(22p x) est continue partout dérivable nulle part.
Démonstration : Gourdon, exercice 9p84
2
Intégrabilité de suites et séries de fonctions
Cadre : (X, A, µ) désigne un espace mesuré.
2.1
Convergences dans un espace mesuré
Soient f : X → K et (fn ) une suite de fonctions de X dans K.
Définition 4
On dit que fn converge µ-presque partout (µ-pp) vers f sur X si il existe Y ⊂ X tel que
µ(X \ Y ) = 0 et fn converge simplement vers f sur Y .
Définition 5
On dit que (fn ) ∈ (Lp )N converge vers f dans LP si kfn − f kp → 0 quand n tend vers +∞.
Exemple 9
La convergence Lp n’implique pas la convergence µ-pp.
En effet, la suite de fonctions définie par
∀n ≥ 1, fn (x) = 1[

2N
k k+1
,
2N 2N
≤ n + 1 ≤ 2N +1
(x) avec 
k = n − 2N + 1
converge vers 0 dans Lp mais pas presque surement.
Exemple 10
La convergence µ-pp n’implique pas la convergence dans LP pour p < +∞.
En effet, la suite de fonctions définie par fn = n1/p 1[0, 1 ] converge µ-pp vers 0 mais kfn kp = 1
n
pour tout n.
1. En fait, ce n’est pas si pathologique que ça puisque l’on peut montrer que l’ensemble des fonctions continues
partout dérivables nulle part, est dense dans l’ensemble des fonctions continues
7
2 INTÉGRABILITÉ DE SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
2.2
Théorèmes principaux
Théorème 8 (Théorème de Beppo-Levi)
On suppose que la suite fn de fonctions est mesurable croissante, i.e ∀n ∈ Nfn ≤ fn+1 . Alors
lim fn est mesurable et
Z
X
lim
fn dµ = lim
n
n
Z
X
fn dµ
Démonstration : Briane et Pagès, théorème 8.1p131
Lemme 1 (Lemme de Fatou)
On suppose que les fn sont mesurables et positives. Alors :
0≤
Z
X
limninf fn dµ ≤ limninf
Z
fn dµ ≤ +∞
Démonstration : Briane et Pagès, théorème 8.2p132
Théorème 9 (Théorème de convergence dominée)
On suppose que (fn ) vérifie :
1. Pour tout n, fn ∈ L1 .
2. fn converge µ-pp vers f .
3. Il existe g ∈ L1 telle que pour tout n ≥ 1, | fn (x) |≤ g(x) µ-pp.
Alors f ∈ L1 et
lim
n
Z
X
fn dµ =
Z
f dµ et lim
X
n
Z
X
| fn − f | dµ = 0
Démonstration : Briane et Pagès, théorème 8.3p134
Application : Intégration d’une dérivée
Soit f une fonction partout dérivable sur [0, 1] de dérivée f 0 bornée. Alors f est l’intégrale de sa
dérivée au sens où
Z 1
f 0 (x)dx = f (1) − f (0)
0
Démonstration : Briane et Pagès, application 8.2p136
On a vu que la convergence, dans Lp n’entraînait pas la convergence µ-pp. On dispose cependant
d’une réciproque partielle :
Théorème 10
Soient (fn ) une suite de fonctions dans Lp et f ∈ Lp tels que kfn − f kp → 0. Alors il existe
une sous-suite extraite fnk telle que
1. fnk → f µ-pp
2. µ-pp, on a pour tout k, | fnk |≤ h avec h ∈ Lp .
Démonstration : Brezis, théorème IV.9p58
8
3 SÉRIES ENTIÈRES ET FONCTIONS HOLOMORPHES
De même, bien que l’on ne dispose pas de l’implication, convergence µ-pp ⇒ convergence dans
Lp , on dispose d’une réciproque partielle :
Théorème 11 (Théorème de Brezis-Lieb)
Soit 1 ≤ p < +∞ et (fn ) ∈ (Lp )N . On suppose que :
1. supn kfn kp < +∞
2. fn converge vers f sur µ-pp
Alors f ∈ Lp et limn kfn kpp − kfn − f kpp = kf kpp .
Démonstration : Willem, Analysé fonctionnelle élémentaire
Corollaire 3
Si (fn ) converge µ-pp vers f ∈ Lp et si kfn kp → kf kp alors fn → f dans Lp .
Remarque 1
On dispose ainsi d’une CNS pour que la convergence µ-pp implique la convergence dans Lp .
2.3
Interversion
R
et
P
Théorème 12 (Théorème de Fubini)
Soit (fn ) une suite de fonctions mesurables à valeurs R̄ ou C.
1. Si les fonctions fn sont positives pour tout n ≥ 1, alors :


Z
X
X

fn  dµ =
n≥1
XZ
n≥1 X
| fn | dµ < +∞, alors les fonctions fn ,
P
f
sont
intégrables. En outre,
n≥1 n
2. Si
P
R
n≥1 X
X
n≥1
| fn | et la fonction définie µ-pp


Z
P
fn dµ
X

fn  dµ
n≥1
=
XZ
n≥1 X
fn dµ
Démonstration : Briane et Pagès, théorème 8.4p137
3
Séries entières et fonctions holomorphes
Soit Ω un ouvert de C.
3.1
Séries entières
Théorème 13 (Lemme d’Abel)
Soient an z n une série entière et z0 ∈ C. On suppose que la suite an z0n est bornée. Alors, la
P
série an z n est normalement convergente dans le disque D(0, r) pour r <| z0 |.
P
9
3 SÉRIES ENTIÈRES ET FONCTIONS HOLOMORPHES
Démonstration : Tauvel, théorème 3.2.1p36
Définition 6
Soit f une fonction définie dans un voisinage de z0 ∈ C. On dit que f est développable en série
P
entière en z0 s’il existe une série entière an z n et une voisinage V de z0 dans C tels que, pour
tout z ∈ V ,
f (z) =
+∞
X
an (z − z0 )n
n+0
Proposition 3
Soit f une fonction définie dans un voisinage de 0 et admettant un développement en série
entière à l’origine. Alors :
1. Il existe un voisinage de 0 sur lequel f est indéfiniment dérivable.
2. Le développement en série entière de f à l’origine est donné par son développement de
(n)
Taylor, i.e an = f n!(0)
Démonstration : Tauvel, théorème 3.5.3p40
Exemple 11
Attention ! Le résultat est faux si l’on considère des fonctions de la variable réelle. Par exemple,
la fonction définie sur R par f (x) = 1R+ e−1/x est une fonction C ∞ de la variable réelle mais
n’est pas développable en série entière.
Développement :
Théorème 14 (Théorème Taubérien fort de Hardy-Littlewood)
Soit (an ) une suite de réels vérifiant an = ( n1 ) en +∞, telle que la série entière an z n ait
un rayon de convergence ≥ 1 et que sa somme F (x) vérifie limx→1− F (x) = s. Alors la série
P
an converge et vaut s.
P
Démonstration : Quitte à considérer a0 − s comme premier terme de la suite, on peut toujours
supposer que s = 0.
On note :
(P
an ϕ(xn ) converge
Φ = {ϕ : [0, 1] → R tel que
}
P
n
limx→1− +∞
n=0 an ϕ(x ) = 0
Soit g la fonction définie par :
g : [0, 1] →
(
x
7→
0
1
R
si 0 ≤ x < 21
si 12 ≤ x ≤ 1
ln(2)
Posons Nx = b −ln(x)
c. Alors pour x ∈ [0, 1[,
X
n≥0
n
an g(x ) =
Nx
X
an
n=0
De plus, Nx → +∞ quand x → 1− , donc si on arrive à montrer que q ∈ Φ, alors on aura montré
le théorème.
10
3 SÉRIES ENTIÈRES ET FONCTIONS HOLOMORPHES
Montrons que tout polynôme nul en 0 est un élément de Φ, i.e XR[X] ⊂ Φ.
Il est clair que Φ est stable par combinaison linéaire, donc il suffit de montrer que X k ∈ Φ pour
P
tout k ≥ 1. Soit k ≥ 1, on a n≥0 an xkn qui converge car si x < 1 alors xk < x < 1.
De plus,
X
∀x ∈ [0, 1[,
an xkn = F (xk ) → 0 quand x → 1−
n≥0
Donc, XR[X] ⊂ Φ.
On a maintenant besoin d’un lemme
Lemme 2
∀P ∈ R[X], (1 − x)
X
n
n
x P (x ) →
Z 1
P (t)dt quand x → 1−
0
n≥0
Là encore, par linéarité, il suffit de démontrer le résultat pour tous les monômes X k , k ≥ 0. On
a:
(1 − x)
X
xn xkn = (1 − x)
n≥0
X
(xk+1 )n
n≥0
1−x
1 − xk+1
1
=
1 + x + ... + xk
=
1
= 01 tk dt. D’où le résultat pour tout polynôme P .
donc, limx→1− (1 − x) n≥0 xn (xk )n = k+1
On va maintenant essayer de d’approcher g par des polynômes. Pour cela, on écrit g sous la forme
q(x) = x + x(1 − x)h(x). Ce qui revient à considérer la fonction
R
P
h(x) =
g(x) − x
x(1 − x)
Ainsi,
(
h(x) =
1
x−1
1
x
si 0 ≤ x < 12
si 21 ≤ x ≤ 1
Soit ε > 0. Il existe deux fonctions s1 et s2 continues telles que s1 ≤ h ≤ s2 et 01 s2 − s1 < ε
(faire un dessin pour s’en convaincre : prendre deux fonctions égales à h sur [0, 1]sauf sur un petit
voisinage de la discontinuité en x = 1/2, et joindre les extrémités dans la partie manquante par
une ligne continue qui reste toujours du même côté du graphe de h et qui reste bornée). Comme s1
et s2 sont continues, on peut trouver deux polynômes t1 et t2 tels que | t1 − s1 |< ε et | t2 − s2 |< ε
sur [0, 1] (théorème de Weierstrass). On pose alors U1 = t1 − ε et U2 = t2 + ε. On a U1 ≤ h ≤ U2
(vu qu’on s’est suffisamment éloigné de t1 et t2 ) et
R
Z 1
U2 − U1 =
0
Z 1
t2 − t1 + 2ε
0
≤
Z 1
t2 − s2 + s2 − s1 + s1 − t1 + 2ε
0
≤ε+
Z 1
0
< 5ε
s2 − s1 + 3ε
11
3 SÉRIES ENTIÈRES ET FONCTIONS HOLOMORPHES
Compte tenu de ce qui vient d’être fait, il est naturel de poser
P1 (x) = x + x(1 − x)U1 (x)
P2 (x) = x + x(1 − x)U2 (x)
P2 (x) − P1 (x)
Q(x) = U2 (x) − U1 (x) =
x(1 − x)
On a alors :


P1 (0) = P2 (0) = 0




P (1) = P (1) = 1
1
2

P 1 ≤ g ≤ P 2



R 1
0
Q ≤ 5ε
Il ne nous reste plus qu’à conclure.
Par hypothèse, il existe M > 0 tel que an ≤
X
|
M
n
pour tout n. Soit x ∈ [0, 1[. On a :
an g(xn ) −
n≥0
an P1 (xn ) |
n≥0
X
≤
X
| an | (P2 − P1 )(xn )
n≥0
≤M
X xn (1 − xn )
n≥0
n
Q(xn )
Or,
1 − xn = (1 − x)(1 + x + ... + xn−1 ) ≤ n(1 − x)
D’où,
|
X
an g(xn ) −
X
an P1 (xn ) |≤ M (1 − x)
n≥0
n≥0
X
xn Q(xn )
n≥0
donc,
| an g(xn ) |≤|
X
an P1 (xn ) | +M (1 − x)
n≥0
X
xn Q(xn )
n≥0
D’après le lemme, le deuxième terme de cette inégalité tend vers M 01 Q(t)dt ≤ 5M ε quand
x → 1− . Et le premier terme tend vers 0 car P1 ∈ Φ d’après la première étape de la démonstration.
D’où le résultat.
R
3.2
Fonctions holomorphes
Définition 7
Une fonction f : Ω → C est dite holomorphe sur Ω si elle est C-dérivable en tout point de Ω.
Théorème 15 (Formule de Cauchy)
Soit f : Ω → C une fonction holomorphe sur Ω, z0 ∈ Ω et r > 0 tel que D(z0 , r) ⊂ Ω. Alors
∀z ∈ Ω \ C(z0 , r), f (z) =
Démonstration : Tauvel, théorème 6.4.7p77
1 Z
f (ξ)
dξ
2iπ C(z0 ,r) ξ − z
12
4 SÉRIES DE FOURIER
Corollaire 4
Si f est holomorphe sur Ω alors f est développable en série entière en tout point de Ω.
Démonstration : Tauvel, théorème 6.5.2p77
Théorème 16
Soit f : Ω → C et fn : Ω → C une suite de fonctions holomorphes. On suppose que fn → f
uniformément sur tout compact de Ω. Alors f est holomorphe et fn0 → f 0 sur tout compact de
Ω.
Démonstration : Rudin, théorème 10.28p256
4
Séries de Fourier
4.1
Définitions
Définition 8
Si 1 ≤ p ≤ ∞, Lp désigne l’espace vectoriel des (classes de) fonctions f : R → C, 2π-périodiques
et Lebesgue-mesurables, telles que kf kp < ∞ avec
kf kp =
p
1 Z 2π
| f (t) |p dt
si 1 ≤ p < ∞
2π 0
et kf k∞ est la borne supérieure essentielle de f .
Définition 9
Si f ∈ L1 et n ∈ Z, on définit le n − ième coefficient de Fourier de f par la formule :
1 Z 2π
f (t)e−int dt
fˆ(n) =
2π 0
Théorème 17 (Lemme de Riemann-Lebesgue)
Si f ∈ L1 alors fˆ(n) → 0 quand | n |→ +∞.
Démonstration : Zuily-Queffelec, proposition I.6p73
4.2
Théorèmes principaux
On pose pour tout N ∈ N,
SN (f ) =
N
X
fˆ(n)eint et σN (f ) =
−N
PN −1
Sk (f )
N
k=0
Théorème 18 (Théorème de Dirichlet)
Soit f : R → C, 2π-périodique, mesurable, et intégrable sur [0, 2π]. Soit x0 ∈ R, on suppose
13
4 SÉRIES DE FOURIER
que les limites à gauche et à droite de f en x0 existent. Alors,
lim SN (f )(x0 ) =
N →+∞
−
f (x+
0 ) + f (x0 )
2
Démonstration : Zuily-Queffelec, théorème III.6p89
En particulier, si f est continue, SN (f ) converge simplement vers f . Application : Calcul de
2
à partir du développement en série de Fourier de f (x) = 1−x
.
n2
π
P 1
Théorème 19 (Théorème de Féjer)
1. Si f est continue et 2π-périodique, alors ∀N ≥ 1, kσN (f )k∞ ≤ kf k∞ et lim kσN (f )f k∞ =
0.
2. Si f ∈ Lp (1 ≤ p < ∞), alors ∀N ≥ 1, kσN (f )kp ≤ kf kp et lim kσN (f )f kp = 0.
Démonstration : Zuily-Queffelec, théorème III.2p84
Corollaire 5 (Théorème de Weierstrass)
Toute fonction continue sur un intervalle compact [a, b] est limite uniforme d’une suite de
polynômes algébriques.
Démonstration : Zuily-Queffelec, théorème III.3p86
Si f ∈ L1 , on pose γ(f ) = (cn (f ))n∈Z . On a alors la proposition suivante :
Proposition 4
Si f, g ∈ L1 , alors γ(f ) = γ(g)
Rightarrowf = g presque partout.
Démonstration : Zuily-Queffelec, théorème III.3p86
Proposition 5
Si f ∈ L1 et est telle que
continue.
P
| fˆ(n) | converge, alors f est égale à sa série de Fourier et est
Développement : Formule sommatoire de Poisson
Si f ∈ L1 (R), on définit sa transformée de Fourier par la formule
fˆ(x) =
Z +∞
e−2iπxt f (t)dt
−∞
La formule sommatoire de Poisson est une formule qui relie sous certaines hypothèses la somme
des valeurs prises par f aux points entiers, à la somme des valeurs prises par fˆ aux points entiers.
De façon plus précise, on a l’énoncé suivant :
Théorème 20 (Formule sommatoire de Poisson)
Soit f ∈ L1 (R) ∩ C(R). On suppose qu’il existe M > 0 et α > 1 tels que ∀x ∈ R, | f (x) |≤
P
M (1+ | x |)−α . On suppose également que n∈Z | fˆ(n) |< +∞. Alors :
X
X
fˆ(n) =
f (n)
n∈Z
n∈Z
14
4 SÉRIES DE FOURIER
P
Démonstration : Définissons la fonction F (x) = n∈Z f (x + n).
Alors F est bien définie et est continue sur R. En effet, montrons que cette série converge normalement sur tout compact de R.
Soit A > 0 et soit x ∈ [−A, A]. Alors, | x + n |≥ n− | x |≥ n − A. Pour tout n ≥ 2A, on a donc
| x + n |≥ n2 . Ainsi,
1
| f (x + n) |≤
(1 + n2 )α
majoration indépendante de x et dont la série converge puisque α > 1.
On remarque par ailleurs que F est clairement 1-périodique. On peut alors calculer son n-ème
coefficient de Fourier 2 .
Z 1
F (x)e
F̂ (n) =
−2iπnx
dx =
Z 1X
f (x + k)e−2iπnx dx
0 k∈Z
0
Or, la convergence de la série étant normale sur le compact [0, 1], on peut intervertir somme et
intégrale :
F̂ (n) =
XZ 1
X Z k+1
f (x + k)e−2iπnx dx =
f (u)e−2iπnu e2iπnk du =
k∈Z k
k∈Z 0
Z
f (u)e−2iπnu du = fˆ(n)
R
P
P
Enfin, comme F ∈ C(R) ∩ L1 (R), et que n∈Z | F̂ (n) |= n∈Z | fˆ(n) |< ∞, la série de Fourier
P
2iπnx converge normalement sur R, et F est égale à sa série de Fourier (par injectivité
n∈Z F̂ (n)e
de Fourier). On a alors :
F (x) =
X
F̂ (n)e2iπnx ==
n∈Z
X
fˆ(n)e2iπnx
n∈Z
D’où le résultat en évaluant en x = 0.
Voyons maintenant une application de la formule sommatoire de Poisson. On définit les foncP
2
tions Θ(z, τ ) = n∈Z eiπn τ e2iπnz (solutions de l’équation de la chaleur 3 ), où z, τ ∈ C avec
Im(z), Im(τ ) > 0.
P
2
On s’intéresse ici à la fonction θ définie par θ(t) = Θ(0, it) = n∈Z e−πn t , pour tout t > 0.
Proposition 6
Pour tout t > 0, la fonction θ vérifie :
1 1
θ(t) = √ θ( )
t t
2
Démonstration : Fixons t > 0. On considère la fonction G définie par G(x) = e−πtx . Calculons la
2
transformée de Fourier de G. Ce résultat est classique. Si Ga (x) = e−ax (a > 0), alors :
Z
Ĝa (ξ) =
e
R
−ax2 −2iπxξ
r
dx =
π −π2 ξ2
e a
a
Ce résultat peut se retrouver d’au moins deux façons. Soit on trouve une équation différentielle
d’ordre 1 vérifiée par Ĝa à l’aide du théorème de dérivation sous le signe intégrale. Soit on intègre
2. Attention ! La fonction F est 1-périodique et non 2π-périodique, comme on en a l’habitude. Il faut donc
adapter la formule pour les coefficient de Fourier
3. voir paragraphe 3 page 105 du Zuily-Queffelec
15
4 SÉRIES DE FOURIER
sur le plan complexe sur des rectangles de plus en plus grands, et on utilise la formule de Cauchy.
La forme sommatoire de Poissons permet maintenant d’écrire :
θ(t) =
X
2
e−πn t =
n∈Z
X
Ĝ(n) =
n∈Z
X 1
√ e
t
n∈Z
−πn2
t
1 1
= √ θ( )
t t
ce qui achève la démonstration.
4.3
Théorie L2
Soit f ∈ L2 .
Théorème 21
(eint )n∈Z est une base hilbertienne de L2 .
Démonstration : Zuily-Queffelc, théorème III.3p86
Corollaire 6
Si f ∈ L2 , alors
P
n∈Z
| fˆ(n) |2 = kf k22 et limN →∞ kSN (f ) − f k2 = 0.
Démonstration : Zuily-Queffelec, théorème III.3p86